高三第一次联考文数卷(考试版)

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第一次全国大联考【新课标卷I 】
文科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是
符合题目要求的）．
1．已知集合{}2
5A x x =∈<Z ，(){}
220B x x x =->，则()A
B =R （ ）
A ．{}2
B ．{}2,3
C ．{}0,2
D ．{}0,2,3 2．设()1i
a
z a =+
∈R ，若()2i z -为实数，则a =（ ） A ．2- B ．12-
C ．1
D ．2
3．在[]4,4-上任取实数a ，则()()32f x a x a =+-在()1,+∞上为增函数的概率是（ ） A ．
14 B ．
3
8 C ．
12 D ．5
8
4．若圆2
2
3450x y x y +---=关于直线0ax by -=()0,0a b >>对称，则双曲线22
221x y a b
-=的离心率
为（ ）
A ．
4
3 B ．
53 C ．
5
4
D ．74
5．已知()()
2ln e 1cos2x f x x x =++，则ππ33f f ⎛⎫⎛⎫
--
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
=（ ） A ．0 B ．
π3
C. π D ．
4π3
6．三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法.按照这样的思路，刘徽把圆内接正多边形的面积一直算到了正3072边形，并由此而求得了圆周率为3.1415和 3.1416这
两个近似数值.如图所示是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，若输出的n =24，则p 的值可以是（ ）
1.732=,sin150.2588≈,sin7.50.1305≈,sin3.750.0654≈）
A ．2.6
B ．3
C ．3.1
D ．3.14
7．如图，正方形网格中，粗实线画出的是某几何体的三视图，若该几何体的体积为7
，则该几何体的表面
积为（ ）
A ．18
B ．21
C ．24
D ．27
8．已知等差数列{}n a 满足57670,0a a a a +>+<，12323412n n n n T a a a a a a a a a ++=+++，若对任意正
整数n ,恒有n k T T ≤，则正整数k 的值是（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7
9．变量,x y 满足2
2390x y x y x +≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，若存在,x y 使得()0xy k k =>，则k 的最大值是（ ）
A
． B ．2 C
D ．1
10．如图，三棱锥ABC P -中，PB BA ⊥，PC CA ⊥，且22PC CA ==，则三棱锥ABC P -的外接
球表面积为（ ）
A ．3π
B ．5π
C ．12π
D ．20π 11
．已知点)A
，若动直线(0x t t t =>≠且与曲线4216x y =交于B ，C 两点，则△ABC 周长的
最小值为（ ）
A ．2
B ． 4
C
．2- D
．
12．已知()()2e 0x
f x a x a
=>+的两个极值点分别为()1212,x x x x <，则2ax 的取值范围是（ ）
A ．()0,1
B ．320,
27⎛⎤
⎥⎝⎦
C ．321,
27⎛⎤
⎥⎝⎦
D ．()0,2 第Ⅱ卷
本试卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知a 是单位向量，若()2⋅+=a a b ,()4⋅+=b a b ，则=b .
14．用系统抽样法从200名学生中抽取容量为20的样本，现将200名学生随机地从1～200编号，按编号
顺序平均分成20组（1～10号,11～20号，…，191～200号），若前3组抽出的号码之和为39，则抽
到的20个号码的中位数是 . 15．已知数列{}n a 中()
()()12
121n n n a n +=--，设{}n a 的前n 项和为n S ，则101S 的值为 ..
16．若函数()()2f x x x =-在[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，则332
2
a b a b -=- . 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）
四边形ABCD 中，1,2AB BC ==. （1）若B D =
，且CD DA ==
B ；
（2）若CD AD ⊥且CD AD =，求四边形ABCD 的面积S 的最大值. 18．（本小题满分12分）
第十二届全国人民代表大会第五次会议和政协第十二届全国委员会第五次会议(简称两会)将分别于3月5日和3月3日在北京开幕，某高校学生会为了解该校学生对全国两会的关注情况，随机调查了该
校200名学生，并将这200名学生分为对两会“比较关注”与“不太关注”两类，已知这200
名学生中男
生中男生比女生少5人.
（1）完成下面的22⨯列联表，并判断是否有0099的把握认为男生与女生对两会的关注有差异？
（2）该校学生会从对两会“比较关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取7人，再从这7人中随机选出2人参与两会宣传活动，求这2人全是男生的概率. 附：2
K
=
19．（本小题满分12分）
如图，在直角梯形ABCD 中AD BC ∥，=90ADC ∠︒，平面ABCD 外一点P 在平面ABCD 内的射影Q 恰在边AD 上， 22PA AD BC ===，CD =
.
（1）若平面PQB ⊥平面PAD ，求证：Q 为线段AD 中点；
（2）在（1）的条件下，若M 在线段PC 上，且PA ∥平面BMQ ，求点M 到平面PAB 的距离.
20．（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1x y C a b
+=()0a b >>的左、右焦点分别为12,F F ,设点(),A a b ,且212AF F F ==2.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）已知四边形MNPQ 的四个顶点均在曲线C 上，且MQ NP ∥，MQ x ⊥轴，若直线MN 和直
线QP 交于点()4,0S ．判断四边形MNPQ 两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由． 21．（本小题满分12分）
已知函数()2e x
f x x =．
（1）过点(
)4,0-作曲线()f x
的切线l ，求切线l 的方程；
（2）若实数a 满足()()
1e 10a a -->，求证：对任意()0,x ∈+∞,()(
)2e
10x
a f x a ⎡⎤--<⎣
⎦恒成立.
请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．
22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xOy 中，
直线l 的参数方程为5
3x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
(0a >,t 为参数)，以坐标原点O 为
极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为()
2213sin 4ρθ+=. （1）求曲线C 的参数方程；
（2）若点A 在直线l 上，点B 在曲线C 上，且AB a 的值. 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()2
2f x x a =-.
（1）若()()301a
f f a
+>
，求实数a 的取值范围； （2）对任意1x ≤,()1f x ≤恒成立，求实数a 的值.。