高考数学(文)课标版二轮习题：中档提升练 第七练

第七练
一、选择题
1.执行如图所示的程序框图,则输出的n 的值为( )
A.63
B.47
C.23
D.7
答案 C 执行程序框图,得n=7,i=1;n=15,i=2;n=11,i=3;n=23,i=4,此时满足i>3,结束循环,输出n=23,故选C.
2.在不等式组{x -y ≥0,
x +y -2≤0,y +1≥0所表示的平面区域内随机取一点P,则点P 到直线l:x=-1的距离小
于或等于1的概率为( ) A.1
2 B.1
4 C.1
8 D.116
答案 C 画出不等式组{x -y ≥0,
x +y -2≤0y +1≥0,所表示的平面区域如图中阴影部分所示,作出直线
l:x=-1.
易得A(-1,-1),B(3,-1),C(1,1),则阴影部分的面积为1
2×4×2=4.易知满足条件的点P 恰好落在△OAM 内(含该三角形的边界),且△OAM 的面积为12×1×1=1
2,∴点P 到直线l:x=-1的距离小于或等于1的概率为1
2
4=1
8.故选C.
3.在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c.p:B+C=2A,且b+c=2a;q:△ABC 是正三角形.则p 是q 的( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A 对于p,在△ABC 中,B+C=2A,所以π-A=2A,即A=π
3,又b+c=2a,所以由正弦定理得sin B+sin C=2sin A=√3,所以sin B+sin (2π
3-B)=√3,整理得√3sin (B +π
6)=√3,所以sin (B +π
6)=1,因为B ∈(0,
2π
3
),所以B=π3,所以C=π
3,即△ABC 是正三角形.所以p 是q 的充要条件,故选A. 4.已知F 1,F 2为椭圆C:x 2a +y 2
b =1(a>b>0)的左,右焦点,过原点O 且倾斜角为30°的直线l 与椭圆C 的一个交点为A,若AF 1⊥AF 2,则S △AF 1F 2=2,则椭圆C 的方程为( ) A.x 26+y 2
2=1 B.x 28+y 2
4=1 C.x 28+y 2
2=1 D.x 220+y 2
16=1
答案 A 因为点A 在椭圆上,所以|AF 1|+|AF 2|=2a,对其平方,得|AF 1|2+|AF 2|2+2|AF 1||AF 2|=4a 2,又AF 1⊥AF 2,所以|AF 1|2+|AF 2|2=4c 2,则2|AF 1||AF 2|=4a 2-4c 2=4b 2,即|AF 1||AF 2|=2b 2,所以S △AF 1F 2=1
2|AF 1||AF 2|=b 2=2.又△AF 1F 2是直角三角形,∠F 1AF 2=90°,且O 为F 1F 2的中点,所以|OA|=1
2|F 1F 2|=c,由已知不妨设A 在第一象限,则∠AOF 2=30°,所以A (√3
2c,1
2c),则
S △AF 1F 2=1
2|F 1F 2|·1
2c=1
2c 2=2,c 2=4,故a 2=b 2+c 2=6,所以椭圆
C 的方程为x 26+y 2
2=1,故选A.
二、填空题
5.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AB=BC=2AA 1,则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为 . 答案 1
5
解析 如图,连接A 1D,BD,因为A 1D ∥B 1C,所以∠BA 1D 或其补角即A 1B 与B 1C 所成的角.设A 1A=1,则AB=BC=2,在△A 1BD 中,A 1B=A 1D=√5,BD=2√2,所以cos ∠BA 1D=
A 1D 2+A 1
B 2-BD 22A 1D ·A 1B
=
5+5-82×5
=15
.
6.设S n 是数列{a n }的前n 项和,若a n +S n =2n ,2b n =2a n+2-a n+1,则1b 1
+12b 2
+…+1
100b
100
= .
答案
100101
解析 因为a n +S n =2n ①,所以a n+1+S n+1=2n+1②,②-①得2a n+1-a n =2n ,所以2a n+2-a n+1=2n+1,又2b n =2a n+2-a n+1=2n+1,所以b n =n+1,1nb n
=1n(n+1)=1n -1
n+1,则
1b 1
+12b 2
+…+1
100b
100
=1-12+12-13+…+1100-1101=1-1101=100
101.
三、解答题
7.已知函数f(x)=x 3+ax-2ln x. (1)当a=-1时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若f(x)≥0在定义域内恒成立,求实数a 的取值范围. 解析 (1)当a=-1时, f(x)=x 3
-x-2ln x(x>0), f '(x)=3x 2
-1-2x =
3x 3-x -2x
=
(x -1)(3x 2+3x+2)
x
.
∵3x 2+3x+2>0恒成立,
∴当x ∈(1,+∞)时, f '(x)>0,f(x)单调递增; 当x ∈(0,1)时, f '(x)<0, f(x)单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(0,1). (2)∵f(x)=x 3+ax-2ln x ≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴当x ∈(0,+∞)时,
f(x)x
=x 2+a-
2lnx x
≥0恒成立.令g(x)=x 2+a-2lnx x
,
g'(x)=2x-2×
(lnx)'·x -lnx ·x'
x =2×
x 3+lnx -1
x ,
令h(x)=x 3+ln x-1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增, 且h(1)=0,
∴当x ∈(0,1)时,h(x)<0,g'(x)<0,即g(x)单调递减; 当x ∈(1,+∞)时,h(x)>0,g'(x)>0,即g(x)单调递增. ∴g(x)min =g(1)=1+a ≥0,a ≥-1, 故实数a 的取值范围是[-1,+∞).
8.[选修4-4]在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为{
x =2+2cosφ,
y =2sinφ
(φ为参数),以原
点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sin θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程;
(2)已知曲线C 3是过原点且倾斜角为α的直线,点A 是曲线C 3与曲线C 1的交点,点B 是曲线C 3与曲线C 2的交点,点A,B 均异于原点O,|AB|=4√2,求α的值.
[选修4-5]已知f(x)=|ax-2|-|x+2|. (1)当a=2时,解不等式f(x)≤1;
(2)若关于x 的不等式-4≤f(x)≤4对x ∈R 恒成立,求实数a 的值. 解析 [选修4-4]
(1)由{x =2+2cosφ,y =2sinφ消去参数φ,得C 1的普通方程为(x-2)2+y 2=4.∵ρ=4sin θ,∴ρ2=4ρsin θ,
∴曲线C 2的直角坐标方程为x 2+(y-2)2=4.
(2)由(1)得曲线C 1:(x-2)2+y 2=4,其极坐标方程为ρ=4cos θ,由题意设A(ρ1,α),B(ρ2,α), 则|AB|=|ρ1-ρ2|=4|sin α-cos α|=4√2|sin (α-π
4)|=4√2,∴sin (α-π
4)=±1,∴α-π4=π
2+kπ(k ∈Z), ∵0<α<π,∴a=3π
4. [选修4-5]
(1)当a=2时, f(x)≤1即|2x-2|-|x+2|≤1. 当x ≥1时,(2x-2)-(x+2)≤1,∴1≤x ≤5; 当x ≤-2时,-(2x-2)+(x+2)≤1,x ≥3,∴无解; 当-2<x<1时,-(2x-2)-(x+2)≤1,x ≥-1
3,∴-1
3≤x<1.
≤x≤5}.
综上可知,不等式f(x)≤1的解集为{x|-1
3
(2)∵-4≤f(x)≤4对x∈R恒成立,则||x+2|-|ax-2||≤4恒成立,而||x+2|-|ax-2||≤|(1+a)x|,或||x+2|-|ax-2||≤|(1-a)x+4|,∴只需|(1+a)x|≤4恒成立或|(1-a)x+4|≤4恒成立,
∴a=-1或a=1.。