辽宁省大连市2019届高三下学期第一次(3月)双基测试数学(理)试题(含答案)

大连市2019届高三双基测试卷
数学（理科）
2019、3
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分、 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求、 1、已知集合A ＝｛x ｜0＜x ＜2｝，B ＝｛x ｜一1＜x ＜1｝，则A ∩B ＝（ ） （A ）｛x ｜一1＜x ＜2｝ （B ） ｛x ｜0＜x ＜1｝ (C ）｛x ｜0＜x ＜2｝ （D ）｛x ｜一1＜x ＜1｝
2、
11i
i
+-＝（ ） (A ）i （B ）－i （C ）2i · （D ）－2i
3、已知直线l 和平面α、β，且l ⊂α，则“l ⊥β”是“α⊥β”的（ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充要条件 （D)既不充分也不必要条件
4、函数y ＝tan(
123x π
+）的最小正周期为（ ） （A ）4π （B ）2
π
（C ）π （D) 2π
5、已知某高中的一次测验中，甲、乙两个班级的九科平均分的雷达图如图所示，下列判
断错误的是（ ）
（A ）乙班的理科综合成绩强于甲班 （B ）甲班的文科综合成绩强于乙班 （C ）两班的英语平均分分差最大 （D ）两班的语文平均分分差最小 6、已知向量AB ＝(1，2)，AC ＝(－3，1)，则AB BC ∙＝（ ） （A ） 6 （B ）一6 （C ）一1 （D ） 1
7、函数2()21
x
x
y x R =∈+的值域为 （A ）(0，＋∞) （B ）(0，1) （C ） (1，+∞) （D ） (0，
12
)
8、已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，且满足3a tanA ＝bcosC+ccosB ，则 ∠A ＝（ ） （A ）
6π （B ）56π （C ）3
π
（D) 23π
9、已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝
12
()ab ，则a b 的最小值为，
（ ）
（A ） 1 （B ）2 （C ） 2 （D ）4‘
10、我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺。

问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为（ ） （A ）40 （B)43 （C) 46 （D ）
47
11、已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 在抛物线上，以PF 为边作一个等边三角形PFQ ，若点Q 在抛物线的准线上，则｜PF ｜＝（ ）
（A ） 1 （B ） 2 （C ）22 （D ） 23
12、若x ＝0是函数f (x) ＝ln(x+
12）＋2221
x ax x --的极大值点，则实数a 的取值集合为（ ） (A ）｛16｝ （B ）｛一1
2｝
（C ）［－12，＋∞） （D ）（一∞，1
2
］
第II 卷（非选择题共90分），‘
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须 作答．第22题一第23题为选考题，考生根据要求作答、 二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分、
13、4
2x x ⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中的常数项为
14、若x ，y 满足约束条件30
1020x y x y y +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪-≤⎩
，则z ＝2x+y 的最大值为
15、已知定义在R 上的函数f(x)，若函数f (x ＋1)为偶函数，函数f (x+2)为奇函数，则
2019
1
()i f i =∑＝
16、已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为F 1、F 2，C 上存在一点P
满足∠F 1PF 2＝
3
π
，且P 到坐标原点的距离等于双曲线C 的虚轴长，则双曲线C 的渐 近线方程为 ．
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个考生都必须
作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（本小题满分 12分）
已知数列｛n a ｝的前n 项和Sn ＝n 2－5n (n ∈N +）． （I ）求数列｛n a ｝的通项公式； （II ）求数列｛
1
2
n
n a +｝的前n 项和Tn . 18、（本小题满分12分）
随着电子阅读的普及，传统纸质媒体遭受到了强烈的冲击．某杂志社近9年来的纸质 广告收入如下表所示：
根据这9年
的数据，对t 和y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.243；
根据后5年的数据，对t 和y 作线性相关性检验，求得样本相关系数的绝对值为0.984。

（I ）如果要用线性回归方程预测该杂志社2019年的纸质广告收入，现在有两个方案， 方案一：选取这9年数据进行预测，方案二：选取后5年数据进行预测． 从实际生活背景以及线性相关性检验的角度分析，你觉得哪个方案更合适？ 附：相关性检验的临界值表：
（B ）某购物网站同时销售某本畅销书籍的纸质版本和电子书，据统计，在该网站购买 该书籍的大量读者中，只购买电子书的读者比例为50％，纸质版本和电子书同时购买 的读者比例为10％，现用此统计结果作为概率，若从上述读者中随机调查了3位，求
购买电子书人数多于只购买纸质版本人数的概率．
19．（本小题满分12分）
已知圆O 经过椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点以及两个顶点，且点1(,)b a
在
椭圆C 上．
（I ）求椭圆C 的方程，
（II ）若直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于M ，N 两点，且｜MN ｜＝4
3
，求直线l 的倾斜角．
20、（本小超满分12分）
如图，三棱柱ABC 一A 1 B 1 C 1，中，AB ＝AA 1＝2，AC ＝2， ∠BAC ＝45o ，∠BAA 1＝60o ，且平面ACC 1A 1⊥平面ABC. （I ）求三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积，
（II ）点E 在棱BB 1上，且A 1 E 与平面BCC 1 B 1所成角的余弦值为
7
7
（BE >EB 1），求BE 的长．
21．（本小题满分12分）
已知函数f (x)＝lnx+2
(0,)ax x x a R ->∈．
（I ）讨论函数f (x)的单调性；
（II ）若曲线y ＝f (x)上存在唯一的点M ，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个 公共点M ，求实数a 的取值范围．
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与今致方程 在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为cos sin x t y t αα=⎧⎨
=⎩
(t 为参数且t ＞0，(0,)2π
α∈），
曲线C 2的参数方程为cos (1sin x y βββ
=⎧⎨
=+⎩为参数，且(,)22ππ
β∈-）
，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为：1cos ((0,))2
π
ρθθ=+∈ ，曲线C 4的极坐标方程为cos 1ρθ=。

（I ）求C 3与C 4的交点到极点的距离；
．‘（II ）设C 1与C 2交于P 点，C 1与C 3交于Q 点，当α在(0，
)2
π
上变化时，求｜OP ｜＋｜OQ ｜
的最大值． 23、（本小题满分10分）选修4一5：不等式选讲 设函数f (x)＝｜2x+a ｜一｜x －2｜(x ∈R ，a ∈R)、 （I ）当a ＝一1时，求不等式f (x)>0的解集，
（B ）若f (x) ≥－1在x ∈R 上恒成立，求实数a 的取值范围．
2019年大连市高三双基测试
数学（理科）参考答案与评分标准
说明：
一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一．选择题
1、B
2、A
3、A
4、D
5、D
6、B
7、B
8、A
9、C 10、C 11、B 12、A 二．填空题
13、24 14、 8 15、0 16、y x =± 三．解答题 17、 解：（Ⅰ） 因为11,1
,1
n n n S n a S S n -=⎧
=⎨
->⎩，
所以+22
4,14,1
26(N )5(1)5(1),126,1n n n a n n n n n n n n n -=-=⎧⎧===-∈⎨⎨---+->->⎩⎩……………4分 （Ⅱ）因为13
22n n n a n +-=
， 所以1212143
2222
n n n n n T -----=++⋅⋅⋅++
2311214322222
n n n n n T +----=++⋅⋅⋅++ 两式作差得：12112113
22222n n n n T +--=++⋅⋅⋅+-…………………………………………………8分
化简得1111222
n n n T +-=--，
所以1
12
n n n T -=--、………………………………………………………………………………12分
18、
（Ⅰ）选取方案二更合适，理由如下：
(1)题中介绍了，随着电子阅读的普及，传统纸媒受到了强烈的冲击，从表格中的数据中可以看出从2014年开始，广告收入呈现逐年下降的趋势，可以预见，2019年的纸质广告收入会接着下跌，前四年的增长趋势已经不能作为预测后续数据的依据、
(2) 相关系数||r 越接近1，线性相关性越强，因为根据9年的数据得到的相关系数的绝对值0.2430.666<，我们没有理由认为y 与t 具有线性相关关系；而后5年的数据得到的相关系数的绝对值0.9840.959>，所以有
99%的把握认为y 与t 具有线性相关关系、 ………………………6分
（仅用（1）解释得3分，仅用（2）解释或者用（1）（2）解释得6分） (Ⅱ)从该网站购买该书籍的大量读者中任取一位，购买电子书的概率为
3
5
，只购买纸质书的概率为2
5
，…………………………………………………………………………………………………8分 购买电子书人数多于只购买纸质书人数有两种情况：3人购买电子书，2人购买电子书一人只购买纸质书、
概率为：3
322333
3281
()()555125
C C +⨯
=
、……………………………………………………………12分 19、
解：（Ⅰ）由题可知圆O 只能经过椭圆的上下顶点，所以椭圆焦距等于短轴长，即222a b =， …………………………………………………………………………………………………………2分
又点1(,)b a
在椭圆C 上，所以222211b a a b +=，解得22
2,1a b ==，
即椭圆C 的方程为2
212
x y +=、……………………………………………………………………4分
（Ⅱ）圆O 的方程为221x y +=，当直线l 不存在斜率时，解得||2MN =
，不符合题意；
…………………………………………………………………………………………………………5分 当直线l 存在斜率时，设其方程为y kx m =+，因为直线l 与圆O 相切，所以
2
||11
m k =+，即
221m k =+、…………………………………………………………………………………………6分
将直线l 与椭圆C 的方程联立，得：
222(12)4220k x kmx m +++-=，判别式222881680m k k ∆=-++=>，即0k ≠，
………………………………………………………………………………………………………7分 设1122(,),(,)M x y N x y ，
所以22
2
2
2
121212284
||()()1||1123
k MN x x y y k x x k k =-+-=+-=+⨯=+，
解得1k =±，………………………………………………………………………………………11分
所以直线l 的倾斜角为4
π或34π、…………………………………………………………………12分
20、 解（Ⅰ）
法一：如图，在平面11ACC A 内过1A 作1
AO AC ⊥与AC 交于点O ，
因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，且平面11
ACC A 平面
ABC AC =，1
AO ⊂平面11ACC A ， 所以1A O ⊥平面ABC ，所以1A AC ∠为1AA 与平面ABC 所成
角， ……………………………1分
由公式11cos cos cos BAA A AC BAC ∠=∠⋅∠，解得12
cos 2
A AC ∠=
，………………………3分 所以145A AC ∠=︒，1
1sin 451AO AA =︒=， 又ABC ∆的面积为
1222122
⨯⨯⨯=，所以三棱柱111ABC A B C -的体积为111⨯=、………4分 法二：如图，在平面11ACC A 和平面ABC 内，分别过A 作AC 的垂线，由面面垂直性质，可以以这两条垂线以及AC 为坐标轴建立
空间直角坐标
系，………………………2分
则可得(0,0,0),(1,1,0)A B ，(0,2,0)C ，设1(0,,)A b c ，则
1(1,1,0),(0,,),
A B A A b c ==由
160,
BAA ∠=得
2212
2()
b b
c =
+，又22
2b c +=，解得1b c ==，即三棱柱的高为1，又ABC ∆的面积为1222122⨯⨯⨯
=，所以三棱柱111ABC A B C -的体积为111⨯=、……………………………4分 （Ⅱ）
接（Ⅰ）法一：
由（Ⅰ）得在ABC ∆中，O 为AC 中点，连接OB ，
得2BC =，
由余弦定理得222
2cos452BC AB AC AB AC =+-
⋅
︒=，解
所以AB BC BO AC =⊥，，（或者利用余弦定理求OB ）
O
B
C
A 1
C 1
B 1
A E
以O 为坐标原点，以1OB OC OA ，，分别为x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系， …………………………………………………………………………………………………………5分 则1(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,0)A B A C -， 所以11=(0,1
,1),AA BB =C=(1,1,0),B - 设1=(0,,),BE BB λλλ=[0,1]λ∈，设平面11BCC B 的法向量为(,,)n x y z =，
则100
n BB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y z x y +=⎧⎨-+=⎩，不妨令1x =，则1,1y z ==-，即(1,1,1)n =-、
111(1,,1)A E A B BB λλλ=+=-，…………………………………………………………7分
又因为1A E 与平面11BCC B 所成角的余弦值为
7
7
， 所以122
|11|42|cos ,|7
31(1)A E n λλλλ++-<>==
⋅++-， 解得13λ=
或2
3
λ=，………………………………………………………………………………11分 又因为1BE B E >，所以22
3
BE =、………………………………………………… …………12分 21、
解：（Ⅰ）2121
'()21(0)ax x f x ax x x x
-+=+-=>，设2()21(0)g x ax x x =-+>
(1)当1
08
a <<
时，()g x 在118118(0,
)(,)44a a a a --+-+∞上大于零，在118118()44a a a a --+-，上小于零，所以()f x 在118118(0,
),(,)44a a a a --+-+∞上单调递增，在118118()44a a a a
--+-，单调递
减；…………………………………………………………1分 (2) 当18a ≥
时，()0g x ≥(当且仅当1
,28
a x ==时()0g x =)，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；……………………………………………………………………………………………………2分
(3) 当0a =时，()g x 在(0,1)上大于零，在(1)+∞，上小于零，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1)+∞，单调递减；………………………………………………………………………………3分 (4)当0a <时，()g x 在118(0,
)4a a --上大于零，在118(,)4a a --+∞上小于零，所以()f x 在118(0,)4a
a
--
上单调递增，在118(
,)4a
a
--+∞上单调递减、 ………………………………4分
（Ⅱ）曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程为21
(21)()ln y at x t t at t t
=+--++-，切线方程和
()y f x =联立可得：221
ln (2)ln 10x ax at x t at t
+-+-++=，现讨论该方程根的个数：
设221
()ln (2)ln 1(0)h x x ax at x t at x t =+-+-++>， 所以()0h t =、
法一： 11()(21)
'()2(2)x t atx h x ax at x t xt
--=+-+=，
(1) 当0a ≤时，'()h x 在(0,)t 上大于零，在(,)t +∞上小于零，所以()h x 在(0,)t 上单调递增，在(,)t +∞上单调递减、
又()0h t =，所以()h x 只有唯一的零点t ，由t 的任意性，所以不符合题意；
…………………………………………………………………………………………………………6分
(2) 当0a >时， ①当22a t a =
时，可得'()0h x ≥，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以其只有唯一的零点22a a
； …………………………………………………………………………………………………………7分 ②当22a t a <
时，'()h x 在(0,)t 和1(,)2at +∞上大于零，在1(,)2t at 上小于零，所以()h x 在(0,)t 和1
(,)2at
+∞上单调递增，在1(,
)2t at 上单调递减，所以()h x 在1
(0,)2at 上小于或等于零，且有唯一的零点t 、 函数221(2)1y ax at x at t =-+++的两个零点为t 和1t at +，所以11
()ln()ln 0h t t t at at +=+->，所以函数
()h x 在区间11
(,)2t at at
+上存在零点，综上()h x 的零点不唯一；
（或者这么说明：当x →+∞时，ln x →+∞且221
(2)ln 1ax at x t at t
-+-++→+∞，所以()h x →+∞，所
以()h x 在1
(,)2at
+∞上存在零点，酌情给分）
…………………………………………………………………………………………………………9分 ③当22a t a >
时，'()h x 在1(0,)2at 和(,)t +∞上大于零，在1()2t at ，上小于零，所以()h x 在1(0,)2at
和(,)t +∞上单调递增，在1()2t at ，上单调递减，所以()h x 在1
(,)2at
+∞上大于或等于零，且有唯一的零点t 、
函数221(2)1y ax at x at t
=-+++在区间[0,]t 上最大值为2
1at +，当2
1
0at x te
-+<<时，()0h x <，所以在区
间1
(0,
)2at
上，()h x 存在零点，综上()h x 的零点不唯一、
（或者这么说明：当0x →时，ln x →-∞且2221(2)ln 1ln 1ax at x t at t at t
-+-++→-++，是个常数，所以()h x →-∞，所以()h x 在1
(0,
)2at
上存在零点，酌情给分） …………………………………………………………………………………………………………11分 综上，当a ∈(0,)+∞时，曲线()y f x =上存在唯一的点22(
,())22a a M f a a
，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点M 、…………………………………………………………………12分
法二：11
'()2(2)h x ax at x t
=+-+，设'()()h x p x =，则22
21'()ax p x x -=、 (1)当0a ≤时，'()0p x <，所以'()h x 在(0,)+∞上单调递减，
又'()0h t =，所以'()h x 在(0,)t 上大于零，在(,)t +∞上小于零，所以()h x 在(0,)t 上单调递增，在(,)t +∞上单调递减，
又()0h t =，所以()h x 只有唯一的零点t ，由t 的任意性，所以不符合题意；
…………………………………………………………………………………………………………6分 (2) 当0a >时，'()p x 在2(0,
)2a a 上小于零，在2(,)2a a +∞上大于零，所以'()h x 在2(0,)2a
a
上单调递减，在2(
,)2a
a
+∞上单调递增， ①当22a
t a
<
时，'()h x 在(0,)t 上大于零，在2(,)2a t a 上小于零，所以()h x 在(0,)t 上单调递增，在2(,)2a t a 上单调递减，所以()h x 在2(0,
)2a
a
上小于或等于零，且有唯一的零点t 、 函数221(2)ln 1y ax at x t at t
=-+-++开口向上，若其判别式不大于零，则对任意01x >，有0()0h x >；若其判别式大于零，设其右侧的零点为m ，则对任意的0max{,1}x m >，有0()0h x >，所以在区间2(,)2a
a
+∞上，存在零点，综上()h x 的零点不唯一；
（或者这么说明：当x →+∞时，ln x →+∞且221(2)ln 1ax at x t at t
-+-++→+∞，所以()h x →+∞，所
以()h x 在2(
,)2a
a
+∞上存在零点，酌情给分） ………………………………………………………………………………………………………8分
②当22a t a
=时，可得'()'()0h x h t ≥=，所以()h x 在(0,)+∞上单调递增，所以其只有唯一的零点22a a
；……………………………………………………………………………………………9分 ③当22a t a
>时，'()h x 在(,)t +∞上大于零，在2(,)2a t a 上小于零，所以()h x 在(,)t +∞上单调递增，在2(,)2a t a 上单调递减，所以()h x 在2(,)2a a
+∞上大于或等于零，且有唯一的零点t 、 函数221
(2)ln 1y ax at x t at t
=-+-++在区间[0,1]上一定存在最大值，设为n ，若0n ≤，则()h x 在(0,1)上小于零、若0n >，当00n x e -<<时，0()0h x <，所以在区间02(,)2a x a
上，()h x 存在零点，综上()h x 的零点不唯一、
（或者这么说明：当0x →时，ln x →-∞且2221
(2)ln 1ln 1ax at x t at t at t
-+-++→-++，是个常数，所以()h x →-∞，所以()h x 在2(0,)2a a
上存在零点，酌情给分） …………………………………………………………………………………………………………11分
综上，当a ∈(0,)+∞时，曲线()y f x =上存在唯一的点22(,())22a a M f a a
，使得曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点M 、…………………………………………………………………12分
22、
解(Ⅰ)联立曲线34,C C 的极坐标方程1cos ,((0,))2cos 1πρθθρθ⎧=+∈⎪⎨⎪=⎩
得: 210ρρ--=，解得152ρ+=，即交点到极点的距离为152
+、………………………………………………………4分 (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为,(0,
),02πθααρ⎛⎫=∈> ⎪⎝⎭， 曲线2C 的极坐标方程为2sin ,(0,
)2πρθθ=∈联立得2sin ,(0,)2πραα=∈ 即||2sin ,(0,)2OP π
αα=∈
曲线1C 与曲线3C 的极坐标方程联立得1cos ,(0,
)2πραα=+∈， 即||1cos ,(0,)2OQ π
αα=+∈，…………………………………………………………………6分 所以||||12sin cos 15sin()OP OQ αααϕ+=++=++，其中ϕ的终边经过点(2,1)， 当2,Z 2k k π
αϕπ+=+∈，即25arcsin 5
α=时，||||OP OQ +取得最大值为15+、 ………………………………………………………………………………………………………10分 23、
解：（Ⅰ）1a =-时，()0f x >可得|21||2|x x ->-，即22(21)(2)x x ->-，
化简得：(33)(1)0x x -+>，所以不等式()0f x >的解集为(,1)(1,)-∞-+∞、
………………………………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）
(1) 当4a <-时，2,2()32,222,2
x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪---<⎪⎪=--+≤≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩，由函数单调性可得 min ()()2122
a a f x f =-=+≥-，解得64a -≤<-；……………………………………………5分 (2) 当4a =-时，()|2|f x x =-， min ()01f x =≥-，所以4a =-符合题意；……………7分
(3) 当4a >-时，2,2()32,222,2a x a x a f x x a x x a x ⎧---<-⎪⎪⎪=+--≤≤⎨⎪++>⎪⎪⎩，由函数单调性可得，min ()()2122a a f x f =-=--≥-，解得42a -<≤-；………………………………………9分
综上，实数a 的取值范围为[6,2]--、………………………………………………………………10分。