专升本向量运算练习题

专升本向量运算练习题
一、选择题
1. 向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的加法运算结果为
\(\vec{c}\)，若 \(\vec{a} = \langle 3, 2 \rangle\) 且
\(\vec{b} = \langle 1, -1 \rangle\)，则 \(\vec{c}\) 是：
A. \(\langle 4, 1 \rangle\)
B. \(\langle 2, 3 \rangle\)
C. \(\langle 2, 1 \rangle\)
D. \(\langle 3, 1 \rangle\)
2. 向量 \(\vec{d}\) 与向量 \(\vec{e}\) 的数量积（点积）为
\(\vec{d} \cdot \vec{e} = 10\)，若 \(\vec{d} = \langle 2, 3 \rangle\) 且 \(\vec{e} = \langle x, y \rangle\)，求 \(x + y\) 的值：
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
3. 向量 \(\vec{f}\) 和 \(\vec{g}\) 的向量积（叉积）的模长为
\(|\vec{f} \times \vec{g}| = 12\)，若 \(\vec{f} = \langle 2, 4, 1 \rangle\) 且 \(\vec{g} = \langle 3, -1, 2 \rangle\)，求\(\vec{f} \times \vec{g}\)：
A. \(\langle 5, 1, 7 \rangle\)
B. \(\langle 7, 1, 5 \rangle\)
C. \(\langle 7, 5, 1 \rangle\)
D. \(\langle 1, 5, 7 \rangle\)
二、计算题
4. 已知向量 \(\vec{h} = \langle 4, -1, 3 \rangle\) 和
\(\vec{i} = \langle 2, 5, -1 \rangle\)，求向量 \(\vec{h}\) 与
\(\vec{i}\) 的加法结果。

5. 若向量 \(\vec{j} = \langle 1, 0, 0 \rangle\) 和 \(\vec{k}
= \langle 0, 1, 0 \rangle\)，求向量 \(\vec{j}\) 与 \(\vec{k}\) 的点积。

6. 给定向量 \(\vec{l} = \langle 3, 2, -1 \rangle\) 和
\(\vec{m} = \langle -1, 2, 3 \rangle\)，求向量 \(\vec{l}\) 与
\(\vec{m}\) 的叉积。

三、解答题
7. 解释向量加法的几何意义，并用一个具体的例子来说明。

8. 描述向量点积和叉积的区别，并各给出一个应用场景。

9. 给定一个三维空间中的点 \(A(1, 2, 3)\) 和 \(B(4, -1, 6)\)，
求从点 \(A\) 到点 \(B\) 的向量，并计算这个向量的长度。

四、应用题
10. 在一个平面直角坐标系中，点 \(P(2, 3)\) 和点 \(Q(-1, 4)\)
确定了一个向量。

如果这个向量绕原点 \(O(0, 0)\) 旋转
\(90^\circ\)，求旋转后的向量坐标。

11. 假设有一个力 \(\vec{F}\) 作用在物体上，其大小为 \(5\
\text{N}\)，方向与 \(x\) 轴正方向成 \(30^\circ\) 角。

如果这个力被分解为沿 \(x\) 轴和 \(y\) 轴的两个分力，求这两个分力的大小。

五、附加题
12. 给定两个三维向量 \(\vec{n} = \langle 1, 1, 1 \rangle\) 和\(\vec{o} = \langle 2, 2, 2 \rangle\)，求这两个向量的夹角余弦值。