三角函数不同题型最值问题求解的常用方法解析
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解题技巧与方法
JIET I JIQ IAO YU FANGFA
三角函数不同题型最值问题求解的常用方法解析
q 张卫斌 (江苏省宜兴职业教育中心校 214206 ) =摘要 >三 角函 数 的最 值问 题是 近些 年高 考 的热 点之 一 , 本文主要讨论了 三角函 数最 值问 题中不 同题 型的 解题 思路和常用方法 , 并 且每种 题型 都结 合例题 进行 了比 较详 细的介绍 . =关键词 >三角函数 ; 最 值 三角函数的最值问题求解是 对三角函 数基础知 识的综 合应用 , 求解这些题目具有非常大的 灵活性 , 要根据 问题的 特点采用特定的 方法 来进行 求解 . 本 文将根 据常 见的 题型 特点进行分类总结 , 探讨不同类型的求解技巧和方法 . 一、 y = a sinx + b cosx + c 型 在这种题型中 , 含有正弦 和余弦 函数 , 且函数 都是一 次 项 , 属于加减关系 . 这种情 况下需要 将其化 为仅含 有一个 角 的三角函数 , 以便于求解最值 . 使用的方法是 引进辅助角 U , b 令 sinU = , 这样可以将这种题型转变为如下的形式: a2 + b2 y= a 2 + b2 ( co sU sinx + sinU co sx ) + c, 即 例 3 求 y = 2sin2 x + 6s inx co sx + 3 的最大值和最小值 . 解 由 三 角 函 数 的 常 用 公 式 cos2x = 2cos2 x - 1 及 sin2x = 2sinx co sx 便可以将上述函数进行降次 , 由此可得 y = 3s in2x - cos2x + 4. 由此便可以 采用题 型 1 的 方式 加入 辅助 角 U 后转化为一个角的三角函数进行求解得到最值 , 即 y = 10sin ( 2x + U ) + 4, 其 中 sinU = 10 . 由此可以得到 10
ym ax = 4+ 10 , ym in = 410. 四、 y = a sinx co sx + b ( sinx ? cosx ) + c 型 在这种题型中 , 含有正弦函数与余弦函数 的乘积以及正 余弦函数的加减项 . 在这种情况 下 , 我 们知道 正余弦 函数经 平方后可以出现正余弦函数的乘积项 , 这样我 们可以通过这 个特点对这种题型进行求解 . 解题方法是令 t = sinx ? co sx, 那 a 2 么 t2 = 1 ? 2sinx cosx, 这样就转 变为 y = ? ( t - 1 ) + bt + c 2 在 tI [ - 2, 2 ] 区间上的最值 . 例 4 求 函 数 y = 2sinx cosx + 4 ( sinx + cosx ) + 1 的 最值 . 解 令 t = sinx + cosx, 那 么等 式两 边平 方 后可 以得 到 1 2 sinx cosx = ( t - 1), 上式就可以转变为 y = t2 + 4t = ( t + 2) 2 2 4, 而 tI [ - 2, 2 ], 那么 ym in = 2- 4 2 , ymax = 2+ 4 2 . a s inx ? b a cosx ? b 五、 y= 或 y= 型 c sinx ? d c cosx ? d 这种题型的特点 是属于 三角 函数 的商 求解 最值 , 且 在 分子和分母上的三角函数相同 , 要么是都 是正弦 函数 , 要么 都余弦函数 . 对于 这类 函数 的求解 方法 总体思 路是 进行 反 解 , 然后利用正余弦函数的 有界性进行求解最值 . 2cosx + 3 例 5 求 y= 的最值 . co sx - 1 y+ 3 解 首先需要 反解 出 cosx, 得 到 cosx = , 而 - 1[ y- 2 1 cosx[ 1, 由此可以计算出 ym ax = . 2 a sinx ? b a cosx ? b 六、 y= 或 y= 型 c cosx ? d c sinx ? d 在这种题型中, 也属于正余弦函数的商求解最值, 不过和 题型 5 不同的是, 在其分子和分母上的三角函数不同 . 这种函 数的求解方法是将上述函数首先转变为 A sinx + B cosx + C = 0 的形式, 然后按照题型 1 及题型 5 的解题方式进行求解 . sinx + 2 例 6 求函数 y = 的最值 . cosx 解 首先将上述函数转变为 y cosx - sinx - 2= 0 , 然后将之 引入辅助角 U , 将函数转 变为 y2 + 1s in ( x + U ) = - 2 , 其中 y sinU = , 然后反解出 sin ( x + U ), 得到 sin ( x + U ) = y2 + 1
数学学习与 s in ( x + U) + c. 经过这种转变后 , 便可以依据正、 余弦函 数的有 界性进 行求解了 . 例 1 求函数 y = 3s inx - 4cosx + 5 的最值 . 32 + ( - 4 ) 2 -4 s inUcosx ) + 5, 其中 sinU = = 32 + ( - 4 ) 2 5sin ( x + U ) + 5, 再 令 t = sin ( x + U ), y = 5 t + 解 将 上 式转 变 为 y = ( cosU sinx + 4 , 那么 y = 5 5, 其 中 , tI
2 , 求解 cosx + cosy 的最 大值 2
和最小值 . 解 首先令 u = cosx + cosy, 将已知函数和待求函数等 式 两边平方 后相 加 , 可以 得 到 如下 函 数 sinx siny + cosx co sy = u2 3 u2 3 - , 即 cos( x - y ) = - . 这样根据余弦 函数的有 界 2 4 2 4 性可得 - 1[ u2 3 [ 1 , 求解得 2 4 14 [ u[ 2 14 . 2 14 . 即所求 解 2
三角函数的最值 问题是 学习 中的 一个 难点 , 变 化比 较 多 . 同学们如果想 要解 好这 类题目 需要 对上述 解题 方法 进 行综合运用 , 同时 对于 三角 函数之 间基 本的转 换公 式务 必 烂熟于胸 , 最后要 对这 类题型 进行 反复 操练 , 融 会贯 通 , 熟 能生巧 .
函数的最大值和最小值分别为
14 和2
(上接 69 页 ) 就可以了 . 化归的目的是归纳出一种 类型的数 学题的 解法 , 它在解题过程中更具魅力 , 是方向性的等价转化 . 例 3 比较下列各组数的大 小 . ( 1 ) 321 1与 321 11; ( 2 ) log3 11 1 与 log3 11 11 . 解决这两个小题 , 具体办法不太一 样 , 但 总的思 路是一 样的 , 第 ( 1) 小题 要通过 指数 函数 y = ax 的 单调性 来解 决 , 第 ( 2 )小题要通过对数函数 y = loga x 的单 调性来解决 , 这时 我们就说它们可以化归为函数的单调 性问题 . 再如 , 在直三棱 柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中 , v ABC 是以 N A = 120b 为顶角的等 腰三角形 , AA 1 = BC. ( 1 )求异曲直线 AB 1 与 A 1 C 所成角的 余弦值 . ( 2 )求直线 AB 1 与平面 AA 1 C 1 C 所成的角的 正弦值 . ( 3 )求二面角 A 1 - A C - B 的平面角 H的余弦值 . ( 4 )求点 C 1 到平面 A CB 1 的距离 . 这样的几何问题 , 可建立适当的空 间直角 坐标系 , 用解 析几何的方法来解 (解题 过程从 略 ). 本例 反映 了四种 最具 代表性的立体几何问题 , 我们应用解 析几何的 方法来 解 , 用 化归的思想来剖析 , 可以得到四个成果 : 第一 , 在确定两条 异曲直线 AB 与 CD 所成 的角 H的大 小有困难时 , 可以通过求两直线的方 向向量的 夹角来 实现 , 即 cosH= cos3AB, CD 4 . 第二 , 设直线 m 是平面 A的 一条斜线 , n 是平面 A 的法 向量 , 确定直线 m 与平面 A所成的角 H的大小有困难 时 , 可 以通过公式 sinH= | co s3 m, n4 |来完成 . 第三 , 计算二面角的大小 , 可以 通过计算 两平面 法向量
1 , 当 t = 1 时 , yma x = 3. 2 三、 y = a sin2 x + b sinx cosx + c cos2 x + d 型 这种题型 的主 要特 点 是 其中 含 有正 弦 函 数和 余 弦函
数 , 且都属于二次项 , 没 有一次 项 . 这种 题型 的解 法思 路一 般都要考虑降次 , 使其转变为一次项后求解 .
[ - 1, 1 ], 那 么很容易就可以求得 ym in = 0 , ym ax = 0. 二、 y = a sin2 x + b sinx + c 或 y = a cos2 x + b cosx + c 型 这种三角函数类型的主要特 点是其结 构中含有 正弦或 余弦函数 , 且正余弦函数中含有二次 项和一次 项 . 对 于这类 题型 , 可以考虑采用配方法 . 求解过程如下 : 令 t = sinx 或 t = cosx, 将其 转 变为 二次 函 数 y = at2 + bt + c, 然后在闭区间上进行求解最值 . P 例 2 求 y = 2cos2 x + 4co sx - 3 0[ x[ 的最值 . 3 1 P 解 令 t= cosx, 则由 0[ x [ 可知 , tI , 1 , 上式 3 2 可以转变为 y = 2 t2 + 4 t- 3, 即 y = 2 ( t + 1 ) 2 - 5, 当 t = ym in = 1 时, 2
数值相 乘 后 , 可 以 得 到如 下 等 式
1 sin2x s in2y, 由正弦函 数的 有 界性 可知 - 1[ sin2x sin2y [ 4 1, 那么可 以得到 值和最小值分别为 3 [ u[ 6 3 3 和- . 6 6 3 . 由此 可知求 解函 数的 最大 6
例 7 已知 sinx + siny =
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, 由此可知, 当 y < 0时 , ym ax = 1 ; 当 y > 0 时, ym in = 1 . y +1 七、 条件最值问题 条件最值问题 和上述 情况 的主 要差 别 , 是在 解题 过程 中具有先决条件 , 在此基础上进行求 解 . 在 解题过程 中要紧 扣这个条件 , 充分灵 活利用 三角 函数 之间相 互转 变公 式进 行求解 . 下面主要介绍两类条件最值问题的求解方法 . 11 已知 sinx + siny = m, 求解 cosx + cosy 的 最大值 和最 小值 这种问题的求解需要认真分 析已知条 件和求解 函数之 间的相关性 , 然后采用正余弦函数的 有界性进 行求解 , 在上 述已知和求解函 数中 都是正 余弦 函数的 加减 法 , 另外 常数 项均相同 , 这样我们就可以将等式两 边平方后 相加 , 很容易 就得到答案 . 2
2
21 已知 s inx co sy = m, 求解 cosx siny 的最大值和最小 值 这种函数的特点是已知条件和 求解函数均 是正余 弦函 数的乘积 , 均属于 二次 项 . 在这种 情况 下 , 可以 考虑 将已 知 函数和求解函数的 三角 函数进 行相 乘 , 然后采 用三 角函 数 之间的转换公式进 行整 理 , 最后采 用正 余弦函 数的 有界 性 求解 . 例 8 小值 . 解 令 u = sinx cosy, 将求解 函数 和已 知函 数的 三角 函 3 u = cosx siny s inx co sy = 2 已 知 cosx siny = 3 , 求 s inx co sy 的 最 大 值 和 最 2
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三角函数不同题型最值问题求解的常用方法解析
q 张卫斌 (江苏省宜兴职业教育中心校 214206 ) =摘要 >三 角函 数 的最 值问 题是 近些 年高 考 的热 点之 一 , 本文主要讨论了 三角函 数最 值问 题中不 同题 型的 解题 思路和常用方法 , 并 且每种 题型 都结 合例题 进行 了比 较详 细的介绍 . =关键词 >三角函数 ; 最 值 三角函数的最值问题求解是 对三角函 数基础知 识的综 合应用 , 求解这些题目具有非常大的 灵活性 , 要根据 问题的 特点采用特定的 方法 来进行 求解 . 本 文将根 据常 见的 题型 特点进行分类总结 , 探讨不同类型的求解技巧和方法 . 一、 y = a sinx + b cosx + c 型 在这种题型中 , 含有正弦 和余弦 函数 , 且函数 都是一 次 项 , 属于加减关系 . 这种情 况下需要 将其化 为仅含 有一个 角 的三角函数 , 以便于求解最值 . 使用的方法是 引进辅助角 U , b 令 sinU = , 这样可以将这种题型转变为如下的形式: a2 + b2 y= a 2 + b2 ( co sU sinx + sinU co sx ) + c, 即 例 3 求 y = 2sin2 x + 6s inx co sx + 3 的最大值和最小值 . 解 由 三 角 函 数 的 常 用 公 式 cos2x = 2cos2 x - 1 及 sin2x = 2sinx co sx 便可以将上述函数进行降次 , 由此可得 y = 3s in2x - cos2x + 4. 由此便可以 采用题 型 1 的 方式 加入 辅助 角 U 后转化为一个角的三角函数进行求解得到最值 , 即 y = 10sin ( 2x + U ) + 4, 其 中 sinU = 10 . 由此可以得到 10
ym ax = 4+ 10 , ym in = 410. 四、 y = a sinx co sx + b ( sinx ? cosx ) + c 型 在这种题型中 , 含有正弦函数与余弦函数 的乘积以及正 余弦函数的加减项 . 在这种情况 下 , 我 们知道 正余弦 函数经 平方后可以出现正余弦函数的乘积项 , 这样我 们可以通过这 个特点对这种题型进行求解 . 解题方法是令 t = sinx ? co sx, 那 a 2 么 t2 = 1 ? 2sinx cosx, 这样就转 变为 y = ? ( t - 1 ) + bt + c 2 在 tI [ - 2, 2 ] 区间上的最值 . 例 4 求 函 数 y = 2sinx cosx + 4 ( sinx + cosx ) + 1 的 最值 . 解 令 t = sinx + cosx, 那 么等 式两 边平 方 后可 以得 到 1 2 sinx cosx = ( t - 1), 上式就可以转变为 y = t2 + 4t = ( t + 2) 2 2 4, 而 tI [ - 2, 2 ], 那么 ym in = 2- 4 2 , ymax = 2+ 4 2 . a s inx ? b a cosx ? b 五、 y= 或 y= 型 c sinx ? d c cosx ? d 这种题型的特点 是属于 三角 函数 的商 求解 最值 , 且 在 分子和分母上的三角函数相同 , 要么是都 是正弦 函数 , 要么 都余弦函数 . 对于 这类 函数 的求解 方法 总体思 路是 进行 反 解 , 然后利用正余弦函数的 有界性进行求解最值 . 2cosx + 3 例 5 求 y= 的最值 . co sx - 1 y+ 3 解 首先需要 反解 出 cosx, 得 到 cosx = , 而 - 1[ y- 2 1 cosx[ 1, 由此可以计算出 ym ax = . 2 a sinx ? b a cosx ? b 六、 y= 或 y= 型 c cosx ? d c sinx ? d 在这种题型中, 也属于正余弦函数的商求解最值, 不过和 题型 5 不同的是, 在其分子和分母上的三角函数不同 . 这种函 数的求解方法是将上述函数首先转变为 A sinx + B cosx + C = 0 的形式, 然后按照题型 1 及题型 5 的解题方式进行求解 . sinx + 2 例 6 求函数 y = 的最值 . cosx 解 首先将上述函数转变为 y cosx - sinx - 2= 0 , 然后将之 引入辅助角 U , 将函数转 变为 y2 + 1s in ( x + U ) = - 2 , 其中 y sinU = , 然后反解出 sin ( x + U ), 得到 sin ( x + U ) = y2 + 1
数学学习与 s in ( x + U) + c. 经过这种转变后 , 便可以依据正、 余弦函 数的有 界性进 行求解了 . 例 1 求函数 y = 3s inx - 4cosx + 5 的最值 . 32 + ( - 4 ) 2 -4 s inUcosx ) + 5, 其中 sinU = = 32 + ( - 4 ) 2 5sin ( x + U ) + 5, 再 令 t = sin ( x + U ), y = 5 t + 解 将 上 式转 变 为 y = ( cosU sinx + 4 , 那么 y = 5 5, 其 中 , tI
2 , 求解 cosx + cosy 的最 大值 2
和最小值 . 解 首先令 u = cosx + cosy, 将已知函数和待求函数等 式 两边平方 后相 加 , 可以 得 到 如下 函 数 sinx siny + cosx co sy = u2 3 u2 3 - , 即 cos( x - y ) = - . 这样根据余弦 函数的有 界 2 4 2 4 性可得 - 1[ u2 3 [ 1 , 求解得 2 4 14 [ u[ 2 14 . 2 14 . 即所求 解 2
三角函数的最值 问题是 学习 中的 一个 难点 , 变 化比 较 多 . 同学们如果想 要解 好这 类题目 需要 对上述 解题 方法 进 行综合运用 , 同时 对于 三角 函数之 间基 本的转 换公 式务 必 烂熟于胸 , 最后要 对这 类题型 进行 反复 操练 , 融 会贯 通 , 熟 能生巧 .
函数的最大值和最小值分别为
14 和2
(上接 69 页 ) 就可以了 . 化归的目的是归纳出一种 类型的数 学题的 解法 , 它在解题过程中更具魅力 , 是方向性的等价转化 . 例 3 比较下列各组数的大 小 . ( 1 ) 321 1与 321 11; ( 2 ) log3 11 1 与 log3 11 11 . 解决这两个小题 , 具体办法不太一 样 , 但 总的思 路是一 样的 , 第 ( 1) 小题 要通过 指数 函数 y = ax 的 单调性 来解 决 , 第 ( 2 )小题要通过对数函数 y = loga x 的单 调性来解决 , 这时 我们就说它们可以化归为函数的单调 性问题 . 再如 , 在直三棱 柱 ABC - A 1 B 1 C 1 中 , v ABC 是以 N A = 120b 为顶角的等 腰三角形 , AA 1 = BC. ( 1 )求异曲直线 AB 1 与 A 1 C 所成角的 余弦值 . ( 2 )求直线 AB 1 与平面 AA 1 C 1 C 所成的角的 正弦值 . ( 3 )求二面角 A 1 - A C - B 的平面角 H的余弦值 . ( 4 )求点 C 1 到平面 A CB 1 的距离 . 这样的几何问题 , 可建立适当的空 间直角 坐标系 , 用解 析几何的方法来解 (解题 过程从 略 ). 本例 反映 了四种 最具 代表性的立体几何问题 , 我们应用解 析几何的 方法来 解 , 用 化归的思想来剖析 , 可以得到四个成果 : 第一 , 在确定两条 异曲直线 AB 与 CD 所成 的角 H的大 小有困难时 , 可以通过求两直线的方 向向量的 夹角来 实现 , 即 cosH= cos3AB, CD 4 . 第二 , 设直线 m 是平面 A的 一条斜线 , n 是平面 A 的法 向量 , 确定直线 m 与平面 A所成的角 H的大小有困难 时 , 可 以通过公式 sinH= | co s3 m, n4 |来完成 . 第三 , 计算二面角的大小 , 可以 通过计算 两平面 法向量
1 , 当 t = 1 时 , yma x = 3. 2 三、 y = a sin2 x + b sinx cosx + c cos2 x + d 型 这种题型 的主 要特 点 是 其中 含 有正 弦 函 数和 余 弦函
数 , 且都属于二次项 , 没 有一次 项 . 这种 题型 的解 法思 路一 般都要考虑降次 , 使其转变为一次项后求解 .
[ - 1, 1 ], 那 么很容易就可以求得 ym in = 0 , ym ax = 0. 二、 y = a sin2 x + b sinx + c 或 y = a cos2 x + b cosx + c 型 这种三角函数类型的主要特 点是其结 构中含有 正弦或 余弦函数 , 且正余弦函数中含有二次 项和一次 项 . 对 于这类 题型 , 可以考虑采用配方法 . 求解过程如下 : 令 t = sinx 或 t = cosx, 将其 转 变为 二次 函 数 y = at2 + bt + c, 然后在闭区间上进行求解最值 . P 例 2 求 y = 2cos2 x + 4co sx - 3 0[ x[ 的最值 . 3 1 P 解 令 t= cosx, 则由 0[ x [ 可知 , tI , 1 , 上式 3 2 可以转变为 y = 2 t2 + 4 t- 3, 即 y = 2 ( t + 1 ) 2 - 5, 当 t = ym in = 1 时, 2
数值相 乘 后 , 可 以 得 到如 下 等 式
1 sin2x s in2y, 由正弦函 数的 有 界性 可知 - 1[ sin2x sin2y [ 4 1, 那么可 以得到 值和最小值分别为 3 [ u[ 6 3 3 和- . 6 6 3 . 由此 可知求 解函 数的 最大 6
例 7 已知 sinx + siny =
解题技巧与方法
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, 由此可知, 当 y < 0时 , ym ax = 1 ; 当 y > 0 时, ym in = 1 . y +1 七、 条件最值问题 条件最值问题 和上述 情况 的主 要差 别 , 是在 解题 过程 中具有先决条件 , 在此基础上进行求 解 . 在 解题过程 中要紧 扣这个条件 , 充分灵 活利用 三角 函数 之间相 互转 变公 式进 行求解 . 下面主要介绍两类条件最值问题的求解方法 . 11 已知 sinx + siny = m, 求解 cosx + cosy 的 最大值 和最 小值 这种问题的求解需要认真分 析已知条 件和求解 函数之 间的相关性 , 然后采用正余弦函数的 有界性进 行求解 , 在上 述已知和求解函 数中 都是正 余弦 函数的 加减 法 , 另外 常数 项均相同 , 这样我们就可以将等式两 边平方后 相加 , 很容易 就得到答案 . 2
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21 已知 s inx co sy = m, 求解 cosx siny 的最大值和最小 值 这种函数的特点是已知条件和 求解函数均 是正余 弦函 数的乘积 , 均属于 二次 项 . 在这种 情况 下 , 可以 考虑 将已 知 函数和求解函数的 三角 函数进 行相 乘 , 然后采 用三 角函 数 之间的转换公式进 行整 理 , 最后采 用正 余弦函 数的 有界 性 求解 . 例 8 小值 . 解 令 u = sinx cosy, 将求解 函数 和已 知函 数的 三角 函 3 u = cosx siny s inx co sy = 2 已 知 cosx siny = 3 , 求 s inx co sy 的 最 大 值 和 最 2