江苏省无锡市宜兴外国语学校2016-2017学年八年级(上)期中数学试卷(解析版)

2016-2017学年江苏省无锡市宜兴外国语学校八年级（上）期中数学试卷
一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在以下四个银行标志中，属于轴对称图形的是（）
．B．C．D．
2．二次根式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
3．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5
C．D．a=15，b=8，c=17
4．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF 6．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC=12，DF=2，AC=3，则AB的长是（）
A．2 B．4 C．7 D．9
7．如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以较长边BC
为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长不超过（）
A．3m B．4m C．5m D．6m
8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）
A．x2+y2=49 B．x﹣y=2 C．2xy+4=49 D．x+y=9
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）
9．16的平方根是．
10．用四舍五入法对162520取近似数，162520（精确到千位）≈．
11．若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，则BC= ．
12．已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是．
13．若+（b+2）2=0，则a+b= ．
14．如图，在△ABC中，AB=AC=9cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC 于D、E两点．若BC=6cm，则△BCE的周长是cm．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，∠ADB=100°，则∠DAC的度数为．
16．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则∠BDE= °．
17．我国古代数学中有一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高20尺，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕5周到达树顶，则这条树藤有尺．
（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是圆柱底面周长为3尺）
18．如图，正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按
A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按
B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
19．计算： +|1﹣|﹣（π﹣1）0；
（2）解方程：3x2﹣75=0．
20．已知3x+1的平方根为±2，2y﹣1的立方根为3，求2x+y的平方根．
21．如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
22．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
23．中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
24．小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
（1）如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
（2）如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
25．正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在图1正方形网格如图，△ABC中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t= 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P、Q两点之间的距离为？
2016-2017学年江苏省无锡市宜兴外国语学校八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在以下四个银行标志中，属于轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项正确；
D、不是轴对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分折叠后可重合．
2．二次根式有意义，则x的取值范围是（）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≥2 D．x≤2
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得2﹣x≥0，
解得，x≤2，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
3．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（）
A．a=7，b=24，c=25 B．a=1.5，b=2，c=2.5
C．D．a=15，b=8，c=17
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解答】解：A、满足勾股定理：72+242=252，故A选项不符合题意；
B、满足勾股定理：1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；
C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；
D、满足勾股定理：152+82=172，故D选项不符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．
4．等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边为（）
A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．8cm
【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．
【分析】已知的边可能是腰，也可能是底边，应分两种情况进行讨论．
【解答】解：当腰是3cm时，则另两边是3cm，7cm．而3+3＜7，不满足三边关系定理，因而应舍去．
当底边是3cm时，另两边长是5cm，5cm．则该等腰三角形的底边为3cm．
故选：B．
【点评】本题从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．
5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，AB=DE，BC=EF，要使△ABC≌△DEF，还需要添加一个条件是（）
A．∠BCA=∠F B．∠B=∠E C．BC∥EF D．∠A=∠EDF 【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定方法SAS是指有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形全等，已知AB=DE，BC=EF，其两边的夹角是∠B和∠E，只要求出∠B=∠E即可．
【解答】解：A、根据AB=DE，BC=EF和∠BCA=∠F不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
B、∵在△ABC和△DEF中
，
∴△ABC≌△DEF（SAS），故本选项正确；
C、∵BC∥EF，
∴∠F=∠BCA，根据AB=DE，BC=EF和∠F=∠BCA不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误；
D、根据AB=DE，BC=EF和∠A=∠EDF不能推出△ABC≌△DEF，故本选项错误．
故选B．
【点评】本题考查了对平行线的性质和全等三角形的判定的应用，注意：有两边对应相等，且这两边的夹角相等的两三角形才全等，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．
6．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC=12，DF=2，AC=3，则AB的长是（）
A．2 B．4 C．7 D．9
【考点】角平分线的性质．
【分析】求出DE的值，代入面积公式得出关于AB的方程，求出即可．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF=2，
∵S
△ABC =S
△ABD
+S
△ACD
，
∴12=×AB×DE+×AC×DF，
∴24=AB×2+3×2，
∴AB=9，
故选D．
【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．
7．如图，王大伯家屋后有一块长12m、宽8m的长方形空地，他在以较长边BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长最长不超过（）
A．3m B．4m C．5m D．6m
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】为了不让羊吃到菜，必须≤点A到圆的最小距离．要确定最小距离，连接OA交半圆于点E，即AE是最短距离．在直角三角形AOB中，因为OB=6m，BA=8m，所以根据勾股定理得OA=10m．那么AE的长即可解答．
【解答】解：连接OA，交⊙O于E点，
在Rt△OAB中，OB=6m，BA=8m，
所以OA==10m；
又因为OE=OB=6m，
所以AE=OA﹣OE=4m．
因此拴羊的绳长最长不超过4m．
故选：B．
【点评】此题考查了点与圆的位置关系，此题确定点到半圆的最短距离是难点．熟练运用勾股定理．
8．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（）
A．x2+y2=49 B．x﹣y=2 C．2xy+4=49 D．x+y=9
【考点】勾股定理的证明．
【分析】由题意，①﹣②可得2xy=45记为③，①+③得到（x+y）2=94由此即可判断．
【解答】解：由题意，
①﹣②可得2xy=45 ③，
∴2xy+4=49，
①+③得x2+2xy+y2=94，
∴x+y=，
∴①②③正确，④错误．
故选D．
【点评】本题考查勾股定理，二元二次方程组等知识，解题的关键学会利用方程的思想解决问题，学会整体恒等变形的思想，属于中考常考题型．
二、填空题（本大题共10小题，每题2分，共20分）
9．16的平方根是±4 ．
【考点】平方根．
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】解：∵（±4）2=16，
∴16的平方根是±4．
故答案为：±4．
【点评】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
10．用四舍五入法对162520取近似数，162520（精确到千位）≈1.63×105．
【考点】近似数和有效数字．
【分析】先利用科学记数法表示，然后把百位上的数子5进行四舍五入即可．
【解答】解：162520≈1.63×105（精确到千位）．
故答案为1.63×105．
【点评】本题考查了近似数和有效数字：近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．从一个数的左边第一个不是0的数字起到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字．
11．若Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，则BC= ．
【考点】勾股定理．
【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，即BC2+AC2=AB2，结合AC=3，AB=4，可求出另一条直角边BC的长度．
【解答】解：在直角△ABC中，
∵∠C=90°，
∴AB为斜边，
则BC2+AC2=AB2，
又∵AB=4，AC=3，
则BC==．
故答案为：．
【点评】本题考查了勾股定理的知识，属于基础题目，像这类直接考查定义的题目，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
12．已知等腰三角形的一个内角是30°，那么这个等腰三角形顶角的度数是30°或120°．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】分情况讨论：当30°是等腰三角形的顶角时或当30°是等腰三角形的底角时．再结合三角形的内角和是180°进行计算．
【解答】解：当30°是等腰三角形的顶角时，顶角就是30°；
当30°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣30°×2=120°．
则该等腰三角形的顶角是30°或120°．
故填30°或120°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
13．若+（b+2）2=0，则a+b= 1 ．
【考点】非负数的性质：算术平方根；非负数的性质：偶次方．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵ +（b+2）2=0，
∴a﹣3=0，b+2=0，
解得a=3，b=﹣2，
∴a+b=3﹣2=1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14．如图，在△ABC中，AB=AC=9cm，DE是AB的垂直平分线，分别交AB、AC 于D、E两点．若BC=6cm，则△BCE的周长是15 cm．
【考点】等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】证明EA=EB，EB+EC=AC，即可解决问题．
【解答】解：如图，∵MN⊥AB，且平分AB，
∴EA=EB，EB+EC=AC；
∴△BCE的周长
=AC+BC=9+6=15；
故答案为：15．
【点评】该题主要考查了线段垂直平分线的性质及其应用问题；应牢固掌握等腰三角形、线段垂直平分线等几何知识点的内容，并能灵活运用．
15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD，∠ADB=100°，则∠DAC的度数为60°．
【考点】等腰三角形的性质．
【分析】根据等边对等角可得∠B=∠BAD，∠B=∠C，再根据三角形的内角和等于180°列式计算即可得解．
【解答】解：∵AD=BD，∠ADB=100°，
∴∠B=∠BAD=40°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=40°，
在△ABC中，∠DAC=180°﹣40°×3=60°．
故答案为：60°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，主要利用了等边对等角的性质，熟记性质是解题的关键．
16．如图，已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD，连接DE，则∠BDE= 120 °．
【考点】等边三角形的性质；等腰三角形的性质．
【分析】由△ABC为等边三角形，可求出∠BDC=90°，由△DCE是等腰三角形求出∠CDE=∠CED=30°，即可求出∠BDE的度数．
【解答】解：∵△ABC为等边三角形，BD为中线，
∴∠BDC=90°，∠ACB=60°
∴∠ACE=180°﹣∠ACB=180°﹣60°=120°，
∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED=30°，
∴∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°+30°=120°，
故答案为：120．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的性质，解题的关键是熟记等边三角形的性质及等腰三角形的性质．
17．我国古代数学中有一道数学题：如图，有一棵枯树直立在地上，树高20尺，粗3尺，有一根藤条从树根处缠绕而上，缠绕5周到达树顶，则这条树藤有25 尺．
（注：枯树可以看成圆柱；树粗3尺，指的是圆柱底面周长为3尺）
【考点】平面展开﹣最短路径问题．
【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，
∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，
∴AB==25（尺）．
答：葛藤长为25尺．
故答案为：25．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
18．如图，正方形ABCD的边长为4，将长为4的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按
A→B→C→D→A滑动到A止，同时点R从点B出发，沿图中所示方向按
B→C→D→A→B滑动到B止，在这个过程中，线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为16﹣4π．
【考点】轨迹；正方形的性质．
【分析】根据直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，可知：点M 到正方形各顶点的距离都为2，故点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD 的面积减去4个扇形的面积．
【解答】解：根据题意得点M到正方形各顶点的距离都为2，点M所走的运动轨迹为以正方形各顶点为圆心，以2为半径的四个扇形，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为正方形ABCD的面积减去4个扇形的面积．
而正方形ABCD的面积为4×4=16，4个扇形的面积为4×=4π，
∴点M所经过的路线围成的图形的面积为16﹣4π．
故答案为16﹣4π
【点评】本题考查轨迹问题，关键是根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正方形的性质以及扇形面积的计算解答．
三、解答题（本大题共8小题，共56分）
19．（1）计算： +|1﹣|﹣（π﹣1）0；
（2）解方程：3x2﹣75=0．
【考点】实数的运算；零指数幂．
【分析】（1）原式利用二次根式性质，绝对值的代数意义，以及零指数幂法则计算即可得到结果；
（2）方程整理后，利用平方根定义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=3+﹣1﹣1=1+；
（2）方程整理得：x2=25，
解得：x=±5．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．已知3x+1的平方根为±2，2y﹣1的立方根为3，求2x+y的平方根．
【考点】立方根；平方根．
【分析】首先依据平方根和立方根的定义求得x、y的值，从而可求得代数式2x+y 的值．
【解答】解：∵3x+1的平方根为±2，2y﹣1的立方根为3，
∴3x+1=4，2y﹣1=27，
∴x=1，y=14，
∴2x+y=16，
∴2x+y的平方根为±4．
【点评】本题主要考查的是平方根和立方根的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键．
21．如图，已知：△ABC中，AB=AC，M是BC的中点，D、E分别是AB、AC边上的点，且BD=CE．求证：MD=ME．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM，可证△BDM≌△CEM，可得MD=ME，即可解题．
【解答】证明：△ABC中，
∵AB=AC，
∴∠DBM=∠ECM，
∵M是BC的中点，
∴BM=CM，
在△BDM和△CEM中，
，
∴△BDM≌△CEM（SAS），
∴MD=ME．
【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质．
22．在等边△ABC中，点D，E分别在边BC、AC上，若CD=2，过点D作DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，求EF的长．
【考点】等边三角形的性质．
【分析】先证明△DEC是等边三角形，再在RT△DEC中求出EF即可解决问题．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=60°，
∵DE∥AB，
∴∠EDC=∠B=60°，
∴△EDC是等边三角形，
∴DE=DC=2，
在RT△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=2，
∴DF=2DE=4，
∴EF===2．
【点评】不同考查等边三角形的性质、直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理等知识，解题的关键是利用特殊三角形解决问题，属于中考常考题型．
23．中日钓鱼岛争端持续，我海监船加大钓鱼岛海域的巡航维权力度．如图，OA⊥OB，OA=45海里，OB=15海里，钓鱼岛位于O点，我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船，自A点出发沿着AO方向匀速驶向钓鱼岛所在地点O，我国海监船立即从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船，结果在点C 处截住了渔船．
（1）请用直尺和圆规作出C处的位置；
（2）求我国海监船行驶的航程BC的长．
【考点】勾股定理的应用．
【分析】（1）由题意得，我渔政船与不明船只行驶距离相等，即在OA上找到一点，使其到A点与B点的距离相等，所以连接AB，作AB的垂直平分线即可．
（2）利用第（1）题中的BC=AC设BC=x海里，则AC=x海里．在直角三角形BOC 中，BC=x海里、OC=（45﹣x）海里，利用勾股定理列出方程152+（45﹣x）2=x2，解得即可．
【解答】解：（1）作AB的垂直平分线与OA交于点C；
（2）设BC为x海里，则CA也为x海里，
∵∠O=90°，
∴在Rt△OBC中，BO2+OC2=BC2，
即：152+（45﹣x）2=x2，
解得：x=25，
答：我国渔政船行驶的航程BC的长为25海里．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质以及勾股定理的应用，利用勾股定理不仅仅能求直角三角形的边长，而且它也是直角三角形中一个重要的等量关系．
24．小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：
（1）如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
（2）如图2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC=6cm，BC=8cm，求CD的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
【分析】（1）利用对称找准相等的量：BD=AD，∠BAD=∠B，然后利用周长求得答案；
（2）利用折叠找着AC=AE，利用勾股定理列式求出AB，设CD=x，表示出BD，AE，在Rt△BDE中，利用勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）由折叠可知，AD=BD，设CD=x，则AD=BD=8﹣x，
∵∠C=90°，AC=6，
∴62+x2=（8﹣x）2，
∴x=，
∴CD=；
（2）在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，∴AB==10，
由折叠可知，AE=AC=6，CD=ED，∠ADE=∠C=90°，
∴BE=10﹣6=4，设CD=x，则DE=x，BD=8﹣x，
∴x2+42=（8﹣x）2，
∴x=3，
∴CD=3．
【点评】本题考查了直角三角形中的勾股定理的应用及图形的翻折问题；解决翻折问题时一般要找着相等的量，然后结合有关的知识列出方程进行解答．
25．（1）正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在图1正方形网格（2016秋宜兴市校级期中）如图，△ABC 中，AB=5cm，BC=3cm，AC=4cm，若动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，且速度为每秒2cm，设出发的时间为t秒．
（1）请判断△ABC的形状，说明理由．
（2）当t= 1.5或2.7或3 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，P、Q两点之间的距离为？
【考点】三角形综合题；等腰三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．
【分析】（1）直接利用勾股定的逆定理得出△ABC是直角三角形；
（2）由于动点P从点C开始，按C→A→B的路径运动，故应分点P在AC上与
AB上两种情况进行讨论；
（3）当P、Q两点之间的距离为时，分三种情况讨论：点P在AC上，点Q 在BC上；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧；点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧，分别求得t的值并检验即可．
【解答】解：（1）△ABC是直角三角形．
∵AB=5，BC=3，AC=4，
∴AC2+BC2=25=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
（2）如图，当点P在AC上时，CP=CB=3，则t=3÷2=1.5秒；
如图，当点P在AB上时，分两种情况：
若BP=BC=3，则AP=2，
故t=（4+2）÷2=3秒；
若CP=CB=3，作CM⊥AB于M，则
×AB×MC=×BC×AC，
×5×MC=×3×4，
解得CM=2.4，
∴由勾股定理可得PM=BM=1.8，即BP=3.6，
∴AP=1.4，
故t=（4+1.4）÷2=2.7秒．
综上所述，当t=1.5、3或2.7 时，△BCP是以BC为腰的等腰三角形．
故答案为：t=1.5或2.7或3；
（3）①如图，当点P在AC上，点Q在BC上运动时（0≤t≤2），
由勾股定理可得：（2t）2+t2=5，
解得t=1；
②如图，当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的左侧时（3≤t＜4），
由题可得：12﹣2t﹣t=，
解得t=；
③当点P、Q均在AB上运动，且点P在点Q的右侧时（4＜t≤4.5），
由题可得：2t+t﹣12=，
解得t=，
∵t=＞4.5，
∴不成立，舍去．
综上所述，当t为1秒或秒时，P、Q两点之间的距离为．
【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了勾股定理及其逆定理的应用以及等腰三角形的判定与性质的运用，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．。