2013届高考数学总复习教学案：变量间的相关关系统计案例

变量间的相关关系
__统计案例
[知识能否忆起]
一、变量间的相关关系
1．常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
2．从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
二、两个变量的线性相关
1．从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
2．回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝
∑i ＝1
n
x i y i －n x y
∑i ＝1
n
x 2i －n x
2
，
a ^＝y －
b ^
x .
3．通过求Q ＝∑i ＝1n
(y i －bx i －a )2
的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到
回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
4．相关系数＝∑i ＝1
n
(x i －x )(y i －y )
∑i ＝1
n
(x i －x
)2∑i ＝1
n
(y i －y )2
，
当r ＞0时，表明两个变量正相关； 当r ＜0时，表明两个变量负相关．
r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
三、独立性检验
1．2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的值域分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为：
y1y2合计
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d
K2＝
n(ad－bc)2
(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)
(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．
2．用K2的大小可以决定是否拒绝原来的统计假设H0，若K2值较大，就拒绝H0，即拒绝事件A与B无关．
3．当K2＞3.841时，则有95%的把握说事件A与B有关；
当K2＞6.635时，则有99%的把握说事件A与B有关；
当K2＞2.706时，则有90%的把握说事件A与B有关．
[小题能否全取]
1．(教材习题改编)观察下列各图形
其中两个变量x、y具有相关关系的图是()
A．①②B．①④
C．③④D．②③
解析：选C由散点图知③④具有相关关系．
2．(教材习题改编)已知变量x，y之间具有线性相关关系，其回归方程为y
^
＝－3＋bx，
若∑
i＝1
10
x i＝17，∑
i＝1
10
y i＝4，则b的值为()
A．2 B．1
C．－2 D．－1
解析：选A依题意知，x＝
17
10＝1.7，y＝
4
10＝0.4，而直线y
^
＝－3＋bx一定经过点(x，y)，所以－3＋b×1.7＝0.4，解得b＝2.
3．在一次对性别与说谎是否相关的调查中，得到如下数据：
根据表中数据，得到如下结论中正确的一项是( ) A ．在此次调查中有95%的把握认为是否说谎与性别有关 B ．在此次调查中有99%的把握认为是否说谎与性别有关 C ．在此次调查中有99.5%的把握认为是否说谎与性别有关 D ．在此次调查中没有充分的证据显示说谎与性别有关 解析：选D 由于
K 2＝
30×(6×9－7×8)2
13×17×14×16
≈0.0024，由于K 2很小，因此，在此次调查
中没有充分的证据显示说谎与性别有关．故选D.
4．某考察团对全国10大城市的居民人均工资收入x (万元/年)与居民人均消费y (万元/年)进行统计调查，发现y 与x 具有相关关系，且y 对x 的回归方程为y ^
＝0.66x ＋1.562.若某城市居民人均消费为7.675(万元/年)，估计该城市人均消费占人均工资收入的百分比约为________．
解析：因为当y ^
＝7.675时，x ＝7.675－1.5620.66≈9.262，
则
7.675
9.262
≈0.829≈83%. 答案：83%
5．已知x ，y 之间的数据如表所示，则回归直线过点________.
解析：x ＝3，y ＝2.5，
∴样本点中心为(3,2.5)，回归直线过样本点中心． 答案：(3,2.5)
1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．
2．由回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．
3．使用K 2统计量作2×2列联表的独立性检验时，要求表中的4个数据都要大于5，在选取样本容量时一定要注意．
相关关系的判断
典题导入
[例1] (2012·新课标全国卷)在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n ≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )都在直线y ＝12x ＋1
上，则这组样本数据的样本相关系数为( )
A ．－1
B ．0 C.12
D ．1
[自主解答] 因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系，所以相关系数为1.
[答案] D
由题悟法
1．相关关系的判断方法一是利用散点图直观判断，二是利用相关系数作出判断． 2．对于由散点图作出相关性判断时，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性．
3．由相关系数r 判断时|r |越趋近于1相关性越强．
以题试法
1.已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )
A.y ^
＝1.5x ＋2 B.y ^
＝－1.5x ＋2 C.y ^
＝1.5x －2 D.y ^
＝－1.5x －2
解析：选B 设回归方程为y ^
＝bx ＋a .由散点图可知变量x 、y 之间负相关，回归直线在
y 轴上的截距为正数，所以b ＜0，a ＞0，因此其回归直线方程可能为y ^
＝－1.5x ＋2.
回归方程的求法及回归分析
典题导入
[例2] (2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
单价x (元) 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y (件)
90
84
83
80
75
68
(1)求回归直线方程y ^＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －－b x －；
(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)
[自主解答] (1)由于x ＝1
6(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6)＝8.5，
y ＝1
6
(y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＋y 6)＝80.
所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^
＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意得 L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250) ＝－20x 2＋330x －1 000 ＝－20⎝⎛⎭
⎫x －33
42＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．
故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．
由题悟法
1．最小二乘法估计的一般步骤： (1)作出散点图，判断是否线性相关； (2)如果是，则用公式求a ^，b ^
，写出回归方程； (3)根据方程进行估计．
2．回归直线方程必过定点(x ，y )．
以题试法
2．(2012·长春模拟)已知x 、y 取值如下表：
x 0 1 4 5 6 8 y
1.3
1.8
5.6
6.1
7.4
9.3
从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ^
＝0.95x ＋a ，则a ＝( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65
D ．1.80
解析：选B 依题意得，x ＝16×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，y ＝1
6×(1.3＋1.8＋5.6＋6.1
＋7.4＋9.3)＝5.25；又直线y ^
＝0.95x ＋a 必过中心点(x ，y )，即点(4,5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ，由此解得a ＝1.45.
独立性检验
典题导入
[例3] (2012·湖南衡阳第二次联考)衡阳市第一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取1人为优秀的概率为311
.
优秀 非优秀
合计 甲班 10 乙班 30 合计
110
(1)请完成上面的列联表；
(2)根据列表中的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”． 参考公式与临界值表：K 2＝
n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
P (K 2≥k 0)
0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
[自主解答] (1)列联表如下：
优秀
非优秀
合计
甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计
30
80
110
(2)根据列联表中的数据，得到K 2＝110×(10×30－20×50)2
60×50×30×80≈7.486＜10.828.
因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”．
由题悟法
1．独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表； (2)根据公式
K 2＝
n (ad －bc )2
(a ＋b )(a ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
计算K 2的值；
(3)查表比较K 2与临界值的大小关系，作统计判断．
2．在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误．
以题试法
3．(2012·嘉兴联考)为了判断高中三年级学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科 文科 合计 男 13 10 23 女 7 20 27 合计
20
30
50
已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K 2＝50×(13×20－10×7)2
23×27×20×30
≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为________．
解析：由K 2＝4.844＞3.841.
故认为选修文科与性别有关系出错的可能性约为5%. 答案：5%。