吉林省实验中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题 (word版含答案)

吉林省实验中学2017---2018学年度下学期
高二年级数学学科（文）期中考试试题
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
（1）P 为曲线2x y =上一点，且以P 为切点的切线倾斜角为
4
π
，则点P 的坐标是 （A ）（0，0） （B ）（2，4） （C ）)161,41( （D ）)4
1
,21(
（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，点P 的极坐标是），（6
52π，则它的直角坐标
是
（A ）)3,1(- （B ）)3,1(- （C ）)1,3(- （D ）)1,3(- （3）函数x x x f -=ln )(在区间(]0,e 上的最大值为
（A ）1－e （B ）－1
（C ）－e
（D ）0
（4）已知函数1()cos f x x x =
，则()()2
f f π
π'+= （A ）2
π
-
（B ）
3
π
（C ）3
π
-
（D ）1
π
-
（5）参数方程 ⎩
⎨⎧+=+-=θθsin 24,
cos 23y x （θ为参数）表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为
（A ）1 （B ）2
（C ）3
（D ）4
（6）函数，x e
x
x f -
=)(若1<<b a ，则 （A ）)()(b f a f > （B ）)()(b f a f < （C ）)()(b f a f = （D ）)(),(b f a f 的大小关系不能确定
（7）若函数a ax x x f +-=3)(3
在区间)2,1(上不单调，则实数a 的取值范围是
（A ）21<<a （B ）41<<a （C ）42<<a （D ）,1<a 或4>a
（8）若函数a x x x f +-=3)(3有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是
（A ）)2,2(-
（B ）]2,2[- （C ）)1,(--∞ （D ） ),1(+∞
（9）曲线1C 的参数方程⎩
⎨
⎧==θθ
sin cos 2y x （θ为参数）和曲线2C 的极坐标方程θρsin 6= 所表
示的图形分别是 （A ）圆和直线
（B ）直线和直线 （C ）椭圆和直线 （D ） 椭圆和圆
（10）函数)(x f 的图象如图所示，则下列不等关系正确的是
（A ） )2()3()3()2(0f f f f -<'<'<
（B ） )2()2()3()3(0f f f f '<-<'<（C ） )2()3()2()3(0f f f f -<'<'<（D ）)3()2()2()3(0f f f f '<'<-< （11）定义在R 上的函数()f x ，()g x ，且
()
()
x f x a g x =（0a >，且1a ≠），且0)(≠x g ， ()()()()f x g x f x g x ''>，
(1)(1)5
(1)(1)2
f f
g g -+=-，则a 的值为 （A ）
2
1 （B ）2
（C ）
35
（D ）
53
（12）已知函数)(x f 的定义域为R ，其导函数为()'f x ，满足()316f =，对任意R x ∈，
()'41f x x <-，则不等式()221f x x x <-+的解集为
（A ）{}|33x x -<<（B ）{}|3x x >- （C ）{}|3x x > （D ）{}
|3,3x x x <->或
第 Ⅱ 卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
（13）函数23)(2
3++=x ax x f ，若4)1(='f ，则a 的值等于 .
（14）若直线的参数方程为⎩⎨
⎧-=+=t
y t x 32,
21（t 为参数)，则直线的斜率为 .
（15）曲线2ln 1y x =-上的点到直线220x y -+=的距离的最小值是 .
x
（16）已知函数2ln )(x x x x f +=，且0x 是函数)(x f 的极值点，给出以下几个命题：
①e x 100<
<；②e
x 1
0>；③0)(00<+x x f ；④0)(00>+x x f . 其中正确的命题是 （填出所有正确命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共70分. (17)（本小题满分10分）
已知函数R a a x x x f ∈-=，)()(2，若7)1(='f ,求： （Ⅰ）a 的值；
（Ⅱ）曲线)(x f y =在点))1(,1(--f P 处的切线方程． (18)（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=α
αsin 42
cos 4y x (α为参数)，以O
为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6
R π
θρ=
∈．
（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求AB 的值． (19)（本小题满分12分）
已知函数()3
2
f x x ax bx c =-+++图象上的点()1,2P -处的切线方程为31y x =-+．
（Ⅰ）若函数()f x 在2x =-时有极值，求()f x 的表达式； （Ⅱ）函数()f x 在区间[]2,0-上单调递增，求实数b 的取值范围. (20)（本小题满分12分）
已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t m x 2
222
（t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
2
2
2
cos 3sin 12ρθρθ+=.直线l 过点
F -（）.
（Ⅰ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB ⋅的值；
（Ⅱ）求曲线C 的内接矩形周长的最大值.
(21)（本小题满分12分）
已知函数x ax x f ln )(-=(]0x e ∈，，，
.a R ∈ （Ⅰ）当1=a 时, 讨论()f x 的单调性，并求出()f x 的极值；
（Ⅱ）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
(22)（本小题满分12分）
已知函数0,)(≠=
a e
ax
x f x （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若1=a 时，对任意R x x ∈21,，当21x x <，有)()(21x f x f =，求证：
)2()(21x f x f ->.
林省实验中学2017---2018学年度下学期
高二年级数学学科（文）期中考试试题答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

（13）；（14）；（15）；（16）①③．
三、解答题：
（17）解：（Ⅰ）．因为，所以．（Ⅱ）当时，，
所以切线方程为：
（18）解: （Ⅰ）将方程消去参数得，∴曲线的普通方程为，
将代入上式可得，
∴曲线的极坐标方程为：． -
（Ⅱ）设两点的极坐标方程分别为,
由消去得，
根据题意可得是方程的两根，
∴，
∴．
(19) 解：，
因为函数在处的切线斜率为-3，
所以，即，
又得.
（Ⅰ）函数在时有极值，所以，
解得，所以．
（Ⅱ）因为函数在区间上单调递增，所以导函数
在区间上的值恒大于或等于零，
则，得，所以实数的取值范围为．
20．（Ⅰ）已知曲线的标准方程为，则其左焦点为，则，
将直线的参数方程与曲线的方程联立，得，则.
（Ⅱ）由曲线的方程为，可设曲线上的动点，则以
为顶点的内接矩形周长为，因此该内接矩形周长的最大值为.
21．（Ⅰ），
∴当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
∴的极小值为，无极大值.
（Ⅱ）假设存在实数，使（）有最小值3，
（1）当时，在上单调递减，，
（舍去），所以，此时无最小值.
（2）当时，由得，
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，满足条件.
②当时，在上单调递减，，（舍去），所以，此时无最小值.
综上，存在实数，使得当时有最小值3.
（22）解：（Ⅰ）
（1）时，由得：；由得
（2）时，由得：；由得
综上所述：时，增区间为，减区间为
时，增区间为，减区间为
（Ⅱ）当时，由（Ⅰ）可知，在处取得极大值，如果，且
则不能在同一个单调区间，所以
设，，当时，
即在递增，所以所以∴。