高二期中考试数学试题卷
四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
四川省成都市树德中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为AC 与BD 的交点，若11A B a = ，11A D b = ，1A A c =，则下列向量中与1B M相等的向量是（）．A ．1122a b c-++B ．1122++a b cC ．1122-+ a b cD ．1122--+ a b c2．若直线经过(1,0),A B 两点，则直线AB 的倾斜角是（）A ．135︒B ．120︒C ．60︒D ．45︒3．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为（）A B C ．5-D 4．某年1月25日至2月12日某旅游景区A 及其里面的特色景点a 累计参观人次的折线图如图所示，则下列判断正确的是（）A ．1月29日景区A 累计参观人次中特色景点a 占比超过了13．B ．2月4日至2月10日特色景点a 累计参观人次增加了9800人次．C ．2月4日至2月6日特色景点a 的累计参观人次的增长率和2月6日至2月8日特色景点a 累计参观人次的增长率相等．D ．2月8日至2月10日景区A 累计参观人次的增长率小于2月6日至2月8日的增长率．5．如图，修水坝时，为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与水平面成适当的角度．甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处，从A ，B 到直线（水库底面与水坝的交线）的距离AC 和B 分别为3m 和4m ，B 的长为2m ，则水库底面与水坝所成二面角的大小为（）．A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒6．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵111ABC A B C -中AC BC ⊥．过A 点分别作1AE A B ⊥于点E ，1AF AC ⊥于点F ．下列说法正确的是（）A ．四棱锥11C AB BA -为“阳马”B ．四面体111A CC B 为“鳖臑”C ．1EF AC ⊥D ．1EF A B⊥7．阅读下面材料：在空间直角坐标系Oxyz 中，过点()000,,P x y z 且一个法向量为(),,m a b c =的平面α的方程为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=，过点()000,,P x y z 且方向向量为()()0n u v w uvw =≠ ,,的直线l 的方程为000.x x y y z z uvw---==根据上述材料，解决下面问题：直线l 是两个平面220x y -+=与210x z -+=的交线，则（）是l 的一个方向向量．A ．()2,1,4B ．()1,3,5C ．()1,2,0-D ．()2,0,1-8．设直线系:cos sin 1m n M x y θθ+=（其中,,m n θ均为参数，{}02π,,1,2m n θ≤≤∈），则下列命题中是假命题．．．的是（）A ．当1m n ==时，存在一个点与直线系M 中所有直线的距离都相等．B ．当2m n ==时，直线系M 中所有直线恒过定点，且不过第三象限．C ．当m n =时，坐标原点到直线系M 中所有直线的距离最大值为1．D ．当2,1m n ==时，若0a ≤，则点(),0A a 到直线系M 中所有直线的距离不小于1．二、多选题9．我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准：用水量不超过a 的部分按照平价收费，超过a 的部分按照议价收费)．为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了40位居民某年的月均用水量(单位：吨)，按照分组[)[)[)0,0.50.5,13,3.5 ，，，，制作了频率分布直方图，下列命题正确的有（）．A ．设该市有60万居民，则全市居民中月均用水量不低于3吨的人数恰好有3万人．B ．如果希望86%的居民每月的用水量不超出标准，则月均用水量a (吨)的最低标准的估计值为2.7．C ．该市居民月均用水量的平均数的估计值为1.875吨．D ．在该样本中月均用水量少于1吨的居民中随机抽取两人，其中两人月均用水量都不低于0.5吨的概率为0.4．10．以下四个命题为真命题的是（）A ．过点(10,10)-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B ．已知直线10kx y --=和以(3,1)M -，(3,2)N 为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为213k -≤≤C ．直线10x y +-=与直线2210x y ++=D ．点P 在直线:10l x y --=上运动，(2,3),(2,0)A B ，则||||PA PB -11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为棱CD 的中点，N 为线段BM 上的动点（含端点），则下列选项正确的有（）A ．若直线1A M 与直线AN 所成角为α，则cos α的最大值为23．B ．若点N 到平面11ABCD 的距离为d ，则d CN +的最小值为5．C ．若在该正方体内放入一个半径为12的小球，则小球在正方体内不能达到的空间体积是π22-．D ．点T 从B 点出发匀速朝1D 移动，点S 从A 点出发匀速朝1A 移动．现,S T 同时出发，当S 到达1A 时，T 恰好在1BD 的中点处．则在此过程中，,S T ．三、填空题12．一条光线经过点(2,3)A 射到直线10x y ++=上，被反射后经过点(1,1)B ，则入射光线所在直线的一般式方程为.13．已知三棱锥P ABC -，如图所示，G 为ABC V 重心，点M ，F 为PG ，PC 中点，点D ，E 分别在PA ，PB 上，PD mPA= ，()0PE nPB mn =≠ ，若M D E F ，，，四点共面，则11m n+=．14．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下，其中编号为i 的方框表示第i 场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i 场比赛的胜者称为“i 的胜者”，负者称为“i 的负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军，已知甲每场比赛获胜的概率均为34，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．则乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为．四、解答题15．如图，已知平行六面体1111—ABCD A B C D 的底面ABCD 是菱形，1AB =，且11C CB C CD BCD ∠=∠=∠．(1)证明：1C C BD ⊥；(2)若1CA ⊥平面1C BD ，求1CC 的长．16．班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个，黄球2个．(1)如下两种方案，哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．方案一：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；方案二：依次有放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品．(2)还剩最后一个奖品时，甲乙两位同学都想获得．于是他们约定：轮流从纸箱中有放回地抽取一球，谁先抽到黄球，谁获得奖品；如果3轮之后都两人都没有抽到黄球，则后抽的同学获得奖品．如果甲先抽，求甲获得奖品的概率．17．已知，如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PG ⊥平面ABCD ，垂足为G ，G 在AD 上，且13AG GD =，BG GC ⊥，2GB GC ==，E 是BC 的中点，四面体P BCG -的体积为83．（1）求异面直线GE 与PC 所成角的余弦；（2）求点D 到平面PBG 的距离；（3）若F 点是棱PC 上一点，且DF GC ⊥，求PFFC的值．18．男子10米气步枪和女子10米气步枪在1984年被列为奥运会比赛项目．根据国际射联的要求，10米气步枪靶纸为总边长80毫米的正方形，直径最大的1环，直径为45.5mm ，而最高10.9环的靶心点，直径仅有0.5mm ．为了了解某校射击选手甲的训练水平，甲按照比赛要求进行了15次射击训练，命中的环数如下：射击序号123456789101112131415命中环数9.49.510.29.19.28.910.19.39.49.69.39.310.19.5 5.0(1)如果命中10环及以上的环数，我们称之为“命中靶心”．①用以上数据估计甲每次射击“命中靶心”的概率；②现发现一架小型无人机悬停在训练区域的上空（训练区域禁止无人机飞行），甲准备将其击落．假设甲每次射击能击中该无人机的概率为①中所求其“命中靶心”的概率，每次射击互不影响．则甲至少需要进行几次射击，才能有90%以上的概率能击落该无人机（该无人机被击中一次即被击落）？(2)经计算得甲这次训练命中环数的平均数15119.2015i i x x ===∑，标准差1.18s =，其中i x 为第i 次射击命中的环数，1i =，2，L ，15．第15次射击时，由于甲受到了明显的干扰，导致结果偏差较大．为了数据分析更加客观准确，教练剔除了这次的成绩．求剔除数据后，甲命中环数的平均数和方差(精确到0.01)．(参考数据lg20.3010=，lg30.4771=)19．如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点．(1)求证：//NC 平面PAM ；(2)若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；(3)设P AM D --的大小为θ，若π(0,]2θ∈，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值．。
高二数学期中考试试卷
高二数学期中考试试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x)=x^2-4x+3，则f(1)的值为：A. 0B. 1C. 2D. 32. 已知向量a=(3,-1)，向量b=(2,1)，则向量a与向量b的点积为：A. 4B. 3C. 2D. 13. 若方程x^2-6x+8=0的两个根为x1和x2，则x1+x2的值为：A. 4B. 6C. 8D. 104. 函数y=2^x的反函数为：A. y=log2xB. y=2^(1/x)C. y=1/(2^x)D. y=2^(-x)5. 已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，且a^2+b^2=c^2，该三角形为：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形6. 若函数f(x)=x^3-3x+1，则f'(x)的值为：A. 3x^2-3B. x^2-3xC. 3x^2-3x+1D. x^3-3x^2+17. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩B的元素个数为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 若直线l的方程为y=2x+1，则该直线的斜率为：A. 1B. 2C. 3D. 49. 函数y=sin(x)的周期为：A. πB. 2πC. 3πD. 4π10. 已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，则a3的值为：A. 6B. 18C. 54D. 162二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，则a5的值为______。
12. 若函数f(x)=x^2-6x+8，则f(x)的最小值为______。
13. 已知向量a=(1,2)，向量b=(3,-1)，则向量a与向量b的叉积为______。
14. 函数y=x^2+2x+1的顶点坐标为______。
15. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，则a和b的关系为______。
三、解答题（每题10分，共50分）16. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+2，求f(x)的导数f'(x)，并求出f'(x)=0的解。
2024高二数学期中考试题及答案
2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。
A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。
2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。
3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。
4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。
5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。
6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。
7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。
8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。
9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。
10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。
三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。
2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。
2023-2024学年北京通州区高二(上)期中数学试题和答案
2023北京通州高二（上）期中数 学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 直线20x y -+=的倾斜角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π42. 已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB =（ ）A. B. C. D. 123. 已知()2,3,1a =-，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，则()a b c ⋅+ 等于（ ）A. -4B. -6C. -7D. -84. 已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：()()222210x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含5. 设直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=.则“1a =”是“12l l //”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知ABCD 为矩形，4,1,AB AD ==点P 在线段CD 上，且满足AP BP ⊥，则满足条件的点P 有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个7. 如图，四面体ABCD 中，AB a=，AC b = ，AD c = ，M 为BD 的中点，N 为CM 的中点，则AN =（ ）A. 111444a b c ++B. 111442a b c ++C. 111222a b c ++ D. 111424a b c ++ 8. 在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A.23C.13D. 23-9. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，1AA =，60BAD ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O .则1OA 的长为（ ）B. 2C. D. 10. 过直线1y x =-上一点P 作圆()2252x y -+=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于1y x =-对称时，线段PA 的长为（ ）A. 4B. D. 2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB 的斜率为_____________.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则直线1AA 到平面11BB C C 的距离为_______13. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB = ，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = .则CD 与CB的夹角的余弦值为___________；CD 在CB的投影向量a = ___________.14. 若直线y x b =+与曲线y =恰有一个公共点，则实数b 的一个可能取值是_________.15. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈.给出下列四个结论：①所有满足条件的点P 组成的区域面积为1；②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值；③当1λ=时，点P 到1A B 距离的最小值为1；④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P .则所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知直线1:280l x y +-=，直线2:20l x y -+=，设直线1l 与2l 的交点为A ，点P 的坐标为()2,0.（1）求点A 的坐标；（2）求经过点P 且与直线1l 平行的直线方程；（3）求以AP 为直径的圆的方程.17. 已知直线10x y -+=，圆22:420C x y x y m +--+=.（1）若直线与圆相交，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于A ，B 两点.（i ）求线段AB 的垂直平分线的方程；（ii ）若AB =m 的值.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，平面ABFE 平面CDEF EF =，AD ED ⊥.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求证：//CD 平面ABFE ；（2）若1EF ED ==，2CD EF =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面ADE 与平面BCF 夹角的大小.条件①：CD EA ⊥；条件②：CF =.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值；（3）求点1B 到平面EFGH 的距离.20. 已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD ？若存在，求PG GB；若不存在，说明理由.21. 长度为6的线段PQ ，设线段中点为G ，线段PQ 的两个端点P 和Q 分别在x 轴和y 轴上滑动.（1）求点G 的轨迹方程；（2）设点G 的轨迹与x 轴交点分别为A ，B （A 点在左），与y 轴交点分别为C ，D （C 点在上），设H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，直线HB 与直线AD 交于点M ，直线CH 与直线=3y -交于点N .试判断直线MN 与BD 的位置关系，并证明你的结论.参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据解析式可得直线斜率为1k =，再由倾斜角与斜率之间的关系可得π4θ=.【详解】设直线的倾斜角为θ，将直线20x y -+=化为斜截式可得2y x =+，即直线斜率为1k =；所以tan 1k θ==，又[)0,πθ∈，所以π4θ=.故选：A 2. 【答案】D【分析】由空间向量模长的坐标表示代入计算即可求得结果.【详解】由()2,3,1A --，()6,5,3B -可得()8,8,4AB =-，所以12AB == .故选：D 3. 【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算法则进行运算即可.【详解】因为()2,3,1a =- ，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，所以(1,3,1)b c +=，则()21(3)3116a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯=-，故选：B 4. 【答案】C【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论.【详解】根据题意将1C 化为标准方程可得()()221425x y +++=，即圆心()11,4C --，半径15r =；由()()222210x y -+-=可知圆心()22,2C ，半径2r =；此时圆心距为12C C ==，121255r r r r +=+-=-；显然1212122r r C C r r -+<<，即两圆相交.故选：C 5. 【答案】C【分析】求出12l l //时a 的值，即可判定.【详解】因为直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=，故12l l //时，有(1)20a a +-=，解得1a =，或者2a =-，当1a =时，1l ：240x y +-=，2l ：220x y ++=，12l l //；当2a =-时，1l ：2240x y -+-=，即20x y -+=，2l ：20x y -+=，则两直线重合，故12l l //时，1a =，则“1a =”是“12l l //”的充要条件，故选：C.6. 【答案】C【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出P 点坐标，算出,AP BP 坐标，由AP BP ⊥得到0AP BP =，构建方程求解即可.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得()()0,0,4,0A B ,因为点P 在线段CD 上，所以可设()(),1,04P t t ≤≤，所以()(),1,4,1AP t BP t ==-,又AP BP ⊥，所以0AP BP =，可得4t =()410t t -+=，解得；2t =±，即满足条件的点P 有2个.故选：C.7. 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算，以,,a b c 为基底表示出向量AN即可.【详解】由题可知AN AM MN +=，由M 为BD 的中点，N 为CM 的中点可得()12AM MN AB AD NC +=++，即()()()111222AN AB AD NC AB AD NA AC a c NA b ++=+++=+=++，即()12AN a c NA b =+++ ，所以()122AN a c b =++，即111424AN a b c =++ .故选：D 8. 【答案】A【分析】根据正四面体性质取BN 的中点为P ，即可知AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角,计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接BN ，取BN 的中点为P ，连接,AP MP ，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又,M P 分别是,BC BN 的中点，所以//MP CN，且12MP CN ==所以AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角，又易知BN AN ⊥，且12PN BN ==AP ===因此337241616cos 3AMP +-∠==，即AM 和CN 夹角的余弦值为23.故选：A 9. 【答案】B【分析】把111122OA AA AB AD =--两边平方并展开，根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为1111122OA AA AO AA AB AD =-=--,所以221111||22OA AA AB AD =-- 22111111442AA AB AD AA AB AA AD AB AD=++-⋅-⋅+⋅11844444422=++--⨯⨯⨯4=,则12OA =，即1OA 的长为2,故选：B.10. 【答案】C【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P 的连线垂直于直线1y x =-，利用这一关系即可求得切线段的长.【详解】如图所示，圆心(5,0)C ,连接CP ,因为直线1l ，2l 关于直线1y x =-对称，所以CP 垂直于直线1y x =-，故CP而||AC =,则PA ==,故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】2-【详解】由两点间斜率计算公式可得42201k -==--，故答案为2-.12. 【分析】先作出直线1AA 上的点到平面11BB C C 的垂线段，然后利用勾股定理求出垂线段的长度即可.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，在底面ABC 内作AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥底面ABC ，平面11BB C C 底面ABC BC =，所以AD ⊥平面11BB C C ，因为11AA CC ∥，1AA ⊄平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1AA ∥平面11BB C C ，所以AD 即为直线1AA 到平面11BB C C 的距离，因为ABC 为等边三角形，且2AB =，所以直线1AA 到平面11BB C C 的距离为AD ==.13. 【答案】 ①. 12 ②. ()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出CD 与CB的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为()2,0,0AB =，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = ，所以()0,2,2CD AD AC =-=- ，()2,2,0CB AB AC =-=-，所以1cos ,2CD CB CD CB CD CB 〈〉===，CD 在CB的投影向量为()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB〈〉=-.故答案为：12；()1,1,0-.14. 【答案】1-（答案不唯一）【分析】画出图象，结合图象确定一个公共点时的位置，求出相应的b 的值，数形结合可得答案.【详解】曲线y =1的圆的上半部分，如图所示，有图可知，当直线y x b =+在2l 和3l 之间移动或与半圆相切，即处于1l 的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，当直线y x b =+在3l 时，经过点(1,0)，所以1b =-，当直线y x b =+在2l 时，经过点()1,0-，所以1b =，1=，所以b =，或者b =（舍），故b =或者11b -≤<.故答案为: 1.-15. 【答案】①②③【分析】对于①，根据条件得点P 在正方形11BCC B 内，即可判断；对于②，点P 在线段11B C 上，从而点P 到平面1A BC 的距离为定值，1A BC S △为定值，从而三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于③，点P 在线段1CC 上，当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，从而判断；对于④，由题点P 在线段EF 上，当1A B ⊥平面1AB P 时，可得1//AE AB ，与1AE AB A ⋂=矛盾，从而即可判断.【详解】如图所示，对于①，因为1BP BC BB λμ=+ ，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，所以点P 在正方形11BCC B 内（包括正方形），而正方形11BCC B 的面积为1，故①正确；对于②，1μ=时，1BP BC BB λ=+ ，所以1111,BP BB BC B P BC B C λλλ-=== ,故点P 在线段11B C 上，由题易得11//B C 平面1A BC ,所以11B C 上的点到平面1A BC 的距离都相等，又1112A BC S == 所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，故②正确；对于③，1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，所以111,BP BC BB CP BB CC μμμ-=== ,所以点P 在线段1CC 上，连接BP ,由题意可得，BC ⊥平面11ABB A ,1A B ⊂平面11ABB A ,1BC A B ⊥,当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，故③正确；对于④，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB 的中点E ,1CC 的中点F ,则点P 在线段EF 上，若1A B ⊥平面1AB P ，则AP ⊂平面1AB P ,必有1A B AP ⊥,因为PE ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以1PE A B ⊥,AP PE P ⋂=,所以1A B ⊥平面APE ，则有1A B AE ⊥,又11A B AB ⊥,所以1//AE AB ,与1AE AB A ⋂=矛盾，故不存在满足题意的点，④错误，故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）()2,4（2）240x y +-=（3）()()22224x y -+-=【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解；（2）求出直线1l 的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程；（3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程.【小问1详解】由28020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得24x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 与2l 的交点为()2,4A .【小问2详解】由1:280l x y +-=得直线1l 的斜率为2-，又点P 的坐标为()2,0，所以经过点P 且与直线1l 平行的直线方程为()22y x =--，即240x y +-=.【小问3详解】因为()2,4A ，()2,0P ，所以AP 的中点坐标为()2,2，22AP=，所以以AP 为直径的圆的方程为()()22224x y -+-=.17. 【答案】（1）(),3-∞（2）（i ）30x y +-= （ii ）52m =【分析】（1）由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列式求解即可；（2）（i ）由题意线段AB 的垂直平分线经过圆心，从而可直接求得直线方程；（ii ）由弦长AB =.【小问1详解】由22420x y x y m +--+=得()()22215x y m -+-=-，所以当5m <时，22420x y x y m +--+=表示以()2,1为半径的圆，由于直线10x y -+=与圆相交，所以圆心到直线的距离d =<所以3m <，即实数m 的取值范围为(),3-∞.【小问2详解】（i）由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心()2,1，斜率为1-，所以线段AB 的垂直平分线的方程为()12y x -=--，即30x y +-=.（ii ）由于圆心到直线的距离d ，AB =所以由AB ==解得52m =.18. 【答案】（1）证明见详解（2）选条件①π4；选条件②π4【分析】（1）根据条件知//AB CD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直接坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的余弦值即可求出夹角的大小.【小问1详解】因为在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，所以//AB CD ,又CD ⊄平面ABFE ，AB ⊂平面ABFE ,故//CD 平面ABFE ；【小问2详解】若选条件①：根据已知条件可得：CD AD ⊥,因为CD EA ⊥，EA AD A ⋂=,EA ⊂平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以CD ⊥平面ADE ,因为DE ⊂平面ADE ,所以CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,所以12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.4若选条件②：由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,过点F 作//FG ED ,交CD 于点G ,则四边形EFGD 为平行四边形，又1EF ED ==，2CD EF =，则1,1FG ED CG CD DG ===-=,又因为CF =则222CF FG CG =+,故π2FGC ∠=,即CG FG ⊥，则CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,又12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.419. 【答案】（1）证明见详解（2）13（3【分析】（1）取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ，先证,,,H M F G 四点共面，再证,,,H M G E 四点共面，又这两个平面重合，即可证明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面EFGH 的法向量，1DB 与法向量夹角的余弦值的绝对值即为所求；（3）利用点到平面距离的向量表示公式计算即可.【小问1详解】如图，取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ,因为,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点，易得11//HM B D ,11//GF B D ,所以//HM GF ,所以,,,H M F G 四点共面，又1111//,//,//EM AB HG DC AB DC ,所以//EM HG ，则,,,H M G E 四点共面，而过不共线的的三点,,H M G 的平面具有唯一性，则平面HMFG 与平面EMGH 重合，故,,,E F G H 四点共面.【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,0,,0,222a aaB a a a D E a F a a G a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，则1(,,),(,,0),(,0,)22a a DB a a a GF GE a a ===-，设(),,n x y z = 是平面EFGH 的法向量，则00022000aan GFx y x y x z n GE ax az ⎧⎧⋅=+=+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎪⎩-=⎩，取1x =,则1, 1.y z =-=所以(1,1,1)n =- ，所以1B D 与平面EFGH所成角的正弦值为11111sin ,cos ,3n DB n DB n DB n DB ⋅====⋅ 【小问3详解】由（2）知平面EFGH 的法向量(1,1,1)n =- ，又()11,0,0FB =因为1m FB m ⋅==即1B 到平面EFGH20. 【答案】（1）证明见解析（2）存在满足题意的点G ，且1PGGB =【分析】（1）由平面与平面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADG 与平面ABD 的法向量，然后根据求面面角的方法即可列式求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =-- ，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤< ，则()1,,1AG AP PG λλ=+=-- ，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z = ，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADG 与平面ABD，所以11cos ,n m n m n m λλ+-〈〉=== ，解得12λ=，所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD，且G 为棱PB 的中点，所以1PG GB=.21. 【答案】（1）229x y +=；（2）//MN BD ，证明见解析.【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG 的长度，进而判断出G 的轨迹，得到轨迹方程；（2）写出,,,A B C D 四点的坐标，联立直线HB 与直线AD 的方程求出点M 的坐标，联立直线CH 与直线=3y -的方程求出N 的坐标，再利用坐标求出MN k 并与BD k 进行比较即可.【小问1详解】在Rt POQ 中，因为G 是线段PQ 的中点，所以1||||32OG PQ ==，所以G 的轨迹为以O 为圆心，以3为半径的圆，所以G 的轨迹方程为229x y +=.【小问2详解】//MN BD ，证明如下：依题意，下列各点坐标为(3,0),(3,0),(0,3),(0,3)A B C D --，直线AD 的方程为3y x =--.因为H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，故设0000(,)(03,03)H x y x y <<<<，且22009x y +=.设直线HB 的方程为00(3)3y y x x =--，00(3)33y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=--⎩ ，解得0000000339363y x x x y y y x y -+⎧=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，即00000003396()33y x y M x y x y -+-+-+-，.试题21设直线CH 的方程为0033y y x x -=+，00333y y x x y -⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ ，解得00633x x y y -⎧=⎪-⎨⎪=-⎩，即006(3)3x N y ---.所以000000000633339633MN y x y k y x x x y y -++-=-+++-- 0000000000(23)(3)(3)(3)2(3)y x y y y x y x x y -++--=-+-++-20000220000039392x y y x x y y x x --+=-+++200002200000391392(9)x y y x x y y x y --+==+--+-，又03130BD MN k k +===-，所以//MN BD.。
2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题02(直线与圆 圆锥曲线)含解析
2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版（2019）选择性必修第一册第一章~第三章（空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）。
5．难度系数：0.65。
第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．5．如图，在平行六面体ABCD 则AC'的长为（）A．98562+B．【答案】A-'【解析】平行六面体ABCD A故选：A7．已知椭圆的方程为2 9 x+的周长的最小值为（）A．8B 【答案】C则由椭圆的中心对称性可知可知12AF BF 为平行四边形，则可得2ABF △的周长为2AF A ．0B ．【答案】D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．则21242||222y y m HC ++===12||4||22yy p AB HM ++===所以||2sin ||2(HC m HMN HM m ∠==因为20m ≥，所以212(1)m ∈三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．则11,22BN BA BD DM =+ 所以1122BN DM BA ⎛⋅=+ ⎝ 1144BA BC BD BC =⋅+⋅-uu r uu u r uu u r uu u r四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知两直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点为P ．(1)直线l 过点P 且与直线310x y ++=平行，求直线l 的一般式方程；(2)圆C 过点()1,0且与1l 相切于点P ，求圆C 的一般方程．【解析】（1）直线l 与直线310x y ++=平行，故设直线l 为130x y C ++=，（1分）联立方程组203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩，解得11x y =-⎧⎨=-⎩．（3分）∴直线1:20l x y ++=和2:3210l x y -+=的交点()11P --，．16．（15分）在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在线段1CC 上，且14CC CE = ，点F 为BD 中点.(1)求点1D 到直线EF 的距离；(2)求证：1A C ⊥面BDE .【解析】（1）如图,以D 为原点，以,DA DC 正四棱柱111ABCD A B C -()()(10,0,4,0,2,1,1,1,0D E F ∴则点1D 到直线EF 的距离为：17．（15分）18．（17分）如图，在四棱锥P ABCD -中，M 为棱PC 的中点.(1)证明：BM ∥平面PAD ；(2)若5PC =，1AB =，（2）1AB = ，2DC ∴=，又PD 222PC PD DC ∴=+，则PD DC ⊥又平面PDC ⊥平面ABCD ，平面PD ∴⊥平面ABCD ，（7分）19．（17分）416（2）（i ）由题意知直线l 的方程为联立221416x y ⎧-=⎪⎨，化简得(4m 2（ii ）1212232,41m y y y y m -+=-直线AD 的方程为11y y x =+。
高二期中考试_数学试卷
一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，若f(2) = a，则a的值为（）A. 1B. 3C. 5D. 72. 若a，b，c是等差数列，且a + b + c = 9，a^2 + b^2 + c^2 = 27，则ab + bc + ca的值为（）A. 9B. 15C. 18D. 213. 已知等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/44. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，若f(x)在x = 1处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -25. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 47. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/48. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -29. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 411. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/412. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -213. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 414. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 415. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 2，a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/416. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -217. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10 = 100，S20 = 300，则公差d的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 418. 已知函数f(x) = |x - 2| + |x + 1|，则f(x)的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 419. 若等比数列{an}的公比为q，若a1 = 1，a2 + a3 = 8，则q的值为（）A. 2B. 4C. 1/2D. 1/420. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，若f(x)在x = 2处取得极值，则该极值为（）A. 0B. 1C. -1D. -2二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）21. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则a，b，c的值分别为______。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
四川省成都市蓉城联盟2024-2025学年高二上学期期中考试
数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
二、多选题
9．2024年2月29日，国家统计局发布了我国2023年国民经济和社会发展统计公报，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合图一、图二所示统计图，下列说法正确的是（）
四、解答题
15．庚子新春，“新冠”肆虐，面对新冠肺炎的发生，某医疗小组提出了一种治疗的新方案.为测试该方案的治疗效果，此医疗小组选取了患病程度相同的12名病人志愿者，将他们随机分成两组，每组6人.第一组用新方案治疗，第二组用旧方案治疗.统计病人的痊愈时间（单位：天）如下表：
(1)求点C 到平面1
ABC 的距离(2)若1AC CC =，平面1ABC 1AM x AC =，11A N
y A B
=.①用x ，y 来表示线段MN 的长度
【点睛】关键点点睛：本题第（利用空间向量及题设进行求解。
四川省成都市第十二中学(四川大学附属中学)_2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
四川省成都市第十二中学（四川大学附属中学） 2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
四、解答题
15．某校高二年级举行了“学宪法、讲宪法”知识竞赛，为了了解本次竞赛的学生答题情况，从中抽取了200名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，
按照[)
50,60，[)
70,80，[)
60,70，[)
90,100的分组作出频率分布直方图如图所示.
80,90，[]
(1)求频率分布直方图中x的值，并估计该200名学生成绩的中位数和平均数；
(2)若在[)
70,80的样本成绩对应的学生中按分层抽样的方法抽取7人进行访谈，60,70和[)
再从这七人中随机抽取两人进行学习跟踪，求抽取的两人都来自[)
70,80组的概率.
16．如图，四边形
A ABB是圆柱的轴截面，C是下底面圆周上一点，点D是线段BC中点
11
则圆C有且仅有3个点,,
M N P
故选：BCD.
11．ABD
【分析】将二十四等边体补形为正方体，且二十四等边体根据题意易知正方体棱长为2，
uuu r uuu
根据向量的坐标，可得2
CE=。
四川省绵阳市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题（答案在最后）本测评题分试题卷和答题卷两部份，试题卷共4页，满分150分，时间120分钟.注意事项：1、答题前，请将本人的信息用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔填在答题卡的对应位置上；2、选择题的答案，必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑；3、请用0.5毫米的黑色墨水签字笔或黑色墨水钢笔将每个题目的答案答在答题卷上每题对应的位置上，答在试题卷上的无效.作图一律用2B 铅笔或0.5毫米黑色签字笔；第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.直线020233=+-y x 的倾斜角是（）A.︒30 B.︒60 C.︒120 D.︒1502.在ABC ∆中，,6),0,2(),0,2(=+-AC AB C B 则顶点A 的轨迹方程（）A.)3(15922±≠=+x y xB.)2(14922±≠=+x y x C.15922=+y x D.14922=+y x 3.已知B 为)1,2,1(-A 在坐标平面Oyz 内的射影，则=OB ()A.3B.5C.2D.64.直线1sin cos :-+θθy x l 与圆22:1O x y +=的位置关系为（）A ．相离B ．相交C ．相切D ．无法确定5.与椭圆13622=+y x 共焦点且过)1,2(P 的双曲线方程为（）A ．2214x y -=B ．2212y x -=C ．2212x y -=D ．2213x y -=6.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，,311MC AC =若,,,1c AA b AD a AB ===则1MD =（）A.c b a --31B.c b a 323231--C.c b a 3131-+D.a c b 323131-+7.已知四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥平面ABCD ，1==PA AB ，点E 是BC 的中2024年11月点，则点E 到直线PD 的距离是（）A ．45B ．25 C.423D ．228.在平面直角坐标系Oxy 中，点)1,0(),0,1(),0,4(C B A ，若点P 满足2PA PB =，则22PC PO +的最大值为（）A ．7B ．9C ．11D ．13二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错项得0分.9.下列关于空间向量的命题中，是真命题的有（）A.将空间所有的单位向量平移到一个起点，则它们的终点构成一个球面B.若非零向量c b a ,,，满足,//,//c b b a 则有c a //C.与一个平面法向量共线的非零向量都是该平面的法向量D.设OC OB OA ,,为空间的一组基底，且,2121OC OB OA OD ++=则D C B A ,,,四点共10.若方程11522=-+-m y m x 所表示的曲线为C ，则（）A ．曲线C 可能是圆B.当2=m 时，表示焦点在x 轴上的椭圆，焦距为2C ．若51<<m ，则C 为椭圆D ．若C 为椭圆，且焦点在x 轴上，则31<<m 11.过点()()0,R P t t ∈的直线与圆22:(2)3C x y -+=相切，切点分别为B A ,，则（）A ．当0t =时，3=AB B ．存在R t ∈，使得65π=∠APB C ．直线AB 经过点)0,21(D ．直线PC 与直线AB 的交点在定圆上三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请将答案填写在答题卷中的横线上.12.双曲线112422=-y x 的左右焦点分别是21,F F ，M 是双曲线左支上一点，且,51=MF 则=2MF .13.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为12,,F F 过2F 作x 轴垂线交椭圆于P ，若︒=∠3021PF F ，则该椭圆的离心率是.14.如图所示，在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2π=∠ADB ，则平面ABD 与平面ACD 夹角的最大值是.四、解答题：本题共5小题，满分77分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点)5,3(M ，AB 边所在直线的方程为,083=+-y x 点)6,0(N 在AD 边所在直线上．(Ⅰ)求AD 边所在直线的方程；(Ⅱ)求对角线AC 所在直线的方程．16.(15分)已知圆C 与y 轴相切，其圆心在x 轴的正半轴上，且圆C 被直线x y =截得的弦长为22.(Ⅰ)求圆C 的标准方程；(Ⅱ)若过点()0,3P 的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程.第14题图17.（15分）如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，1EG =,平面ABCD ABFE 平面⊥M 、N 分别为DG 、EF 的中点.(Ⅰ)求证：//MN 平面CFG ；(Ⅱ)求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．18．（17分）在平面直角坐标系Oxy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为)0,3(F ，短轴长为2.过点F 且不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的中点为M .(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值；(Ⅲ)求AOB ∆面积的最大值.19.(17分)定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记MN 的最大值为m ，MN 的最小值为n ，若2m n =，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“E F -”的“钻石点”.已知圆A ：()()221113x y +++=，P 为圆A 的“黄金点”(Ⅰ)求点P 的轨迹方程；(Ⅱ)已知圆B ：1)2()2(22=-+-y x ，P ，Q 均为圆“A B -”的“钻石点”.(ⅰ)求直线PQ 的方程；(ⅱ)若圆H 是以线段PQ 为直径的圆，直线31:+=kx y l 与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分IWJ ∠？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.绵阳2024年秋季高2023级半期考试数学试题参考答案一、选择题题号1234567891011选项AABCCDCDABCADACD三、填空题12.913.32-14.3π四、解答题15.解：(Ⅰ)法一：因为AB 边所在直线的方程为083=+-y x ，所以31=AB k ．又因为矩形ABCD 中，AB AD ⊥，所以3-=AD k ,所以由点斜式可得AD 边所在直线的方程为：)0(36--=-x y ，即063=-+y x ；法二：因为AB AD ⊥，设AD 边所在直线的方程为：03=++m y x 又因为直线AD 过点)6,0(N ，所以将点)6,0(N 代入上式得:6-=m ．所以AD 边所在直线的方程为：063=-+y x ；(Ⅱ)由⎩⎨⎧=-+=+-063083y x y x ，得：)3,1(A ，得AC 所在直线的方程：131353--=--x y ，即02=+-y x ．16.解：（Ⅰ）由题可设圆C 的方程为)0()(222>=+-a a y a x ，则有2222(2(a a =+，解得)(2舍负=a ；所以圆C 的标准方程为：4)2(22=+-y x ；（Ⅱ）因为43)20(22>+-，所以过P 的切线有两条，当l 斜率存在时，设切线方程为：3+=kx y 即03=+-y kx ，所以有：21322=++k k ，解得：125-=k ；所以l 的方程为：0036125==-+x y x 或。
高二期中考试(数学)试卷含答案解析
高二期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．2i12i-=+（）A．1 B．−1 C．i D．−i2.（5分）2．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+13.（5分）3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4.（5分）4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%5.（5分）5．设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．106.（5分）6．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A．10B．18C ．20D ．367.（5分）7．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．108.（5分）8．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种9.（5分）9．北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红､迎春黄､天霁蓝､长城灰､瑞雪白；间色包括天青､梅红､竹绿､冰蓝､吉柿；辅助色包括墨､金､银.若各赛事纪念品的色彩设计要求：主色至少一种､至多两种，间色两种､辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､冰蓝､银色这三种颜色的概率为（ ） A ．8225B ．245C ．115D ．21510.（5分）10．如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．1511.（5分）11．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名12.（5分）12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数()y f x =满足：()()x xf x f x xe '-=且(1)3f =-，(2)0f =．则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．14.（5分）14．262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15.（5分）15．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.16.（5分）16．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.18.（12分）18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.19.（12分）19．（12分）已知函数3()6ln f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅰ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； 20.（12分）20．（12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1、q 1和p 2、q 2；（2）求X 2的分布列和数学期望E (X 2) ．21.（12分）21．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22.（12分）22．（12分）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅰ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：（Ⅰ0x ≤≤； （Ⅰ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1D 2.（5分） 2B 3.（5分） 3 C 4.（5分） 4C 5.（5分） 5C 6.（5分）6B 7.（5分） 7C 8.（5分） 8 C 9.（5分） 9 B 10.（5分） 10C 11.（5分） 11 B 12.（5分） 12 A二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．1 14.（5分） 14． 24015.（5分） 15． 16.（5分） 16．45三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）【解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.……（5分）（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.……（10分）18.（12分）18．（12分）【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=……（4分） （2）样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑……（4分）（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. ……（4分）19.（12分）19．（12分） 【答案】（Ⅰ）98y x =-；（Ⅰ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；【解】(Ⅰ) ∵()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.…4分 （Ⅰ） 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值. ……（12分）20.（12分）20．（12分）【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）；详见解析【解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯.……（8分） （2）227(2)27P X p ===；2216(1)27P X q ===；22124(0)33327P X ==⨯⨯=；∴2X 的分布列为故210()9E X =.；……（12分） 21.（12分）21．（12分）【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；……（4分） （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. ……（12分）22.（12分）22．（12分）【答案】（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析. 【解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；……（4分） （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xex x e x x ∴--≤≤--≤≤（8分）（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--， 即只需证明224(2)(1)(1)ae e a -≥--， 令22()4(2)(1)(1),(12)as a e e a a =----<≤， 则22()8(2)(1)8(2)(1)0aas a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a≥--.……（12分）。
高二期中考试试卷数学
高二期中考试试卷数学一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 2x + 3，则f(-1)的值为：A. -1B. 1C. 5D. -52. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则a5的值为：A. 11B. 14C. 17D. 203. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. y = x^2B. y = x^3C. y = sin(x)D. y = cos(x)4. 一个圆的半径为5，圆心在原点，该圆的面积为：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 计算定积分∫(0到1) x^2 dx的值为：B. 1/2C. 2/3D. 16. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 6)，则向量a与向量b的数量积为：A. -10B. 0C. 10D. -207. 以下哪个不等式是正确的？A. |x| > xB. |x| ≥ xC. |x| < xD. |x| ≤ x8. 函数y = 2^x的反函数为：A. y = log2(x)B. y = 2^xC. y = log(x)D. y = x^(1/2)9. 已知抛物线y = x^2 - 4x + 4，其顶点坐标为：A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (2, 4)D. (-2, 4)10. 计算极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值为：B. 1C. π/2D. -1二、填空题（每题4分，共20分）11. 计算sin(π/6)的值为______。
12. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 8，求f(1)的值为______。
13. 计算定积分∫(-1到1) x dx的值为______。
14. 已知向量a = (1, 2)，向量b = (2, 1)，则向量a与向量b的夹角的余弦值为______。
15. 计算极限lim(x→∞) (1/x)的值为______。
三、解答题（每题10分，共40分）16. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求导数f'(x)，并求出f'(1)的值。
江苏省南京市2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题(无答案)
2024年高二年级上期中模拟测（数学）（时间：120分钟 满分：150分）命题人： 审卷人： 2024年10月28日一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若复数满足（为虚数单位），则的模（ ）A ．B ．1C D ．52．设，，若点在线段上，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知直线在轴、轴上的截距相等，则直线与直线间的距离为（ ）A ．BCD ．04．已知向量，，，满足，，，，则在方向上的投影向量为（ ）AB ．CD ．5．在中，角，，所对的边分别是，，，已知，，当取得最小值时，最大内角的余弦值是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为，深度为，则该抛物线顶点到焦点的距离为（ ）z ()13i 3i z -=-i z z =35()2,3A-()1,2B (),P x y AB 1y x +[]2,3-()2,3-][(),23,-∞-+∞ ()(),23,-∞-+∞ ()1:2400l mx y m m +--=>x y 1l 2:3310l x y +-=a b c 1a = 2b = 3c = ,,3a b a b c π=+= a b + c 143c 76c ABC A B C a b c 2b =()cos2cos 1cos B B A C +=--2a c +ABC 12-4m 0.5mA ．B ．C ．D ．7．已知直线，圆，若直线上存在两点，，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），圆与圆分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是：（ ）．A ．B ．C ．D ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
广东省部分学校2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
2024—2025学年度高二年级11月联考数学试题本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，，则（ ）A.11B.10C.9D.82.已知直线：，：，且，则（）A.1B.-2C.2D.33.经过，两点的直线的一个方向向量为，则（）A.-2B.1C.3D.44.已知，，三点不共线，点不在平面内，（，），若，，，四点共面，则的最大值为（ ）A.B.C.1D.25.已知集合，，则集合的非空真子集个数为（ ）A.32B.62C.64D.306.直三棱柱中，底面为等腰直角三角形，，，为线段的中点，为棱上靠近点的三等分点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）D.()1,1,3a = ()2,3,2b = a b ⋅=1l 220250x my +-=2l ()1320250m x y +++=12//l l m =()2,3A -()1,B m -()1,2-m =A B CO ABC 12OD OA xOB yOC =++x 0y >A B CD xy 18116{}31A x x =∈-≤N ()(){}120B x x x =∈+-<Z {}22,,C z z x y x A y B ==+∈∈111ABC ABC -14AA =6AB AC ==D BC E 11BC 1B DE 11ACC A 127.设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.8.棱长为2的正方体中，其内部和表面上存在一点满足，则的取值范围为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数（）的最小正周期为，则的零点可以为（ ）A. B.C.D.10.已知复数，则（ ）A.的虚部为B.C.在复平面内的对应点位于直线上D.为方程的一个根11.三棱锥中，，，，，平面与平面的夹角为，则的长度可以为（ ）A.5D.6三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.写出一个过和的直线的两点式方程______.13.已知平面的一个法向量为，，，，则点到平面的距离为______.14.中，角，，所对的边分别为，，，记的面积为，若，则的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）（1）已知点，，求线段垂直平分线的斜截式方程；212025x ax y -+=()4,7a (],4-∞(],8-∞[]4,8(],7-∞1111A B C D ABCD -P 10AP BP AP AP ⋅=⋅=ABP ∠ππ,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,64⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦()sin f x x x ωω=0ω>π()f x 2π3-π6-5π12π321iz =-z 2-z =z 0x y -=z 2220x x -+=A BCD -0AB BD CD BD ⋅=⋅=3AB =2BD =4CD =ABD BCD 3πAC ()3,1-()2,2-α()3,5,4m =- O α∈P α∉10,0,4OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ P αABC △A B C a b c ABC △S sin 2sin cos cos A BA B=2Sa ()1,3A()4,7B AB（2）已知倾斜角为的直线经过点，求的截距式方程.16.（本小题满分15分）已知，.（1）求在方向上投影向量的坐标；（2）求以，为邻边的平行四边形的面积.17.（本小题满分15分）如图，在棱长均为2的正四棱柱中，，，，，用空间向量法解决下列三个问题：（1）证明：；（2）求异面直线与夹角的余弦值；（3）求的长度.18.（本小题满分17分）现定义：在平面直角坐标系中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知，均为“正直点”.（1）求的取值范围；（2）求的面积取得最小值时对应的周长；（3）若，也为“整数点”，求直线的一般式方程.19.（本小题满分17分）在空间立体几何中，球面往往是重要的研究对象，同时，它与平面几何中的圆息息相关.而对于几何体的研究中，几何重心的选取显得尤为重要.古希腊著名数学家巴普斯（Pappus ）在研究过程中发现了一个性质：平面内任一面积为的区域沿着垂直于该区域的平面运动得到体积为的立体，若记为此区域的几何重心运动的轨迹长度，则有.（1）已知半圆面的几何重心在其对称轴上，求半径为3的半圆面的几何重心到圆心的距离（试着考虑绕直径旋转一周得到球体）；（2）建立空间直角坐标系，取球心为，且半径为1的球体，点为其表面上一点.π3l ()2,1l ()1,2AB =-()0,AC =A B A CAB AC 12DD DE = 2DB DF = 3C D C G =12GC GH = 1E F BC ⊥EF 1CG 1BH xOy ()52,0A a +520,1a B a +⎛⎫⎪+⎝⎭a AOB △A B AB S V l V Sl =Oxyz ()0,0,1P(),,Q a b c若、，，球体在点处的切面截坐标系的三轴组成平面三角形，求面积的最小值.提示：①球面方程：，其中点为球心坐标，为球的半径；②平面方程的点法式：，其中平面过点，其法向量.a 0b >1c >Q ABC ABC △()()()2222000x x y y z z r -+-+-=()000,,x y z r ()()()0000Ax x B y y C z z -+-+-=()0000,,P x y z (),,u A B C =2024—2025学年度高二年级11月联考数学参考答案及解析一、选择题1. A 【解析】.故选A.2. C 【解析】由题意可得，故，解得.故选C.3. C 【解析】由题干条件可得，解得 3.故选C.4. B 【解析】因为，，，四点共面，所以，所以，当且仅当时取“＝”.故选B.5. B 【解析】由题意可得，，故，故集合的非空真子集个数为.故选B.6. C 【解析】如图，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则，，故，因为轴平面，则可取平面的一个法向量为，则，即直线与平面.故选C.7. B 【解析】因为函数是实数集上的增函数，在区间上单调递增，所以函数在区间上也是单调递增，因为二次函数的对称轴为，所以有，即.故选B.8. B 【解析】建立如图所示空间直角坐标系，12133211a b ⋅=⨯+⨯+⨯=12//l l 21131m m -=≠+2m =32121m +-=--m =A B C D 112x y ++=21216x y xy +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭14x y =={}2,3,4A ={}0,1B ={}{}22,,4,6,9,11,16,18C z z x y x A y B ==+∈∈=C 62262-=A AB AC 1AA x y z ()3,3,0D ()4,2,4E ()1,1,4DE =-x ⊥11ACC A 11ACC A ()1,0,0n =cos ,DE n DE n DE n ⋅===DE 11ACC A 2025xy =212025x ax y -+=()4,721y x ax =-+()4,721y x ax =-+2a x =42a≤8a ≤设，、、，则有、、，设中点为，中点为，则有，即，又，同理可得，即，即，即，故有，且，，，，故由可得，故，故.故选B.二、选择题9. ABD 【解析】易知，其最小正周期为，所以，即，令（），解得（）.故选ABD.10. BCD 【解析】对于A ，，故，其虚部为，故A 错误；对于B ，，故B 正确；对于C，由复数的几何意义可知在复平面内的对应点位于直(),,Px y z x y []0,2z ∈()2,0,0A ()2,2,0B ()12,0,2A AB ()12,1,0O 1AA ()22,0,1O 11PO =()()222211x y z -+-+=10AP AP ⋅=21PO =()()222211x y z -++-=()()()()222222211211x y z x y z ⎧-+-+=⎪⎨-++-=⎪⎩22222242404240x y z x y x y z x z ⎧++--+=⎨++--+=⎩y z =2224240x y x y +--+=()2,2,BP x y z =-- ()0,2,0BA =-()()22222222244824BP x y z x y x y y =-+-+=+--+=-+ cos ,BP BA BP BA BP BA ⋅====()()222211x y z -++-=[]0,1y ∈cos ,BP BA ⎤⎥⎦π0,4ABP ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦()πsin 2sin 3f x x x x ωωω⎛⎫==+ ⎪⎝⎭2ππT ω==2ω=()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π2π3x k +=k ∈Z ππ26k x =-k ∈Z ()()()21i 21i 1i 1i 1i z +===+--+1i z =-1a -z ==z ()1,1线上，故C 正确；对于D ，易得，故D 正确.故选BCD.11. BC 【解析】三棱锥中，由可得，，则是二面角的平面角，如图，，而，，，，因为平面与平面的夹角为，则当时，，当时，，所以.故选BC.三、填空题12.（答案不唯一，四种形式写出一种即可）.【解析】经过点和点直线两点式方程是：.故答案为.【解析】由题可知平面的一个法向量为，又，故点到平面的距离为.14. 【解析】由，可得，即，所以，所以，0x y -=()()21i 21i 22i 22i 20+-++=--+=A BCD -0AB BD CD BD ⋅=⋅=AB BD ⊥CD BD⊥,BA DCA BD C --AC AB BD DC BA BD D C =++=-++ 3AB =2BD =4CD =22222AC BA BD DC BA DC=++-⋅9416234cos ,2924cos ,BA DC BA DC =++-⨯⨯=-ABD BCD π3π,3BA DC = AC = 2π,3BA DC =AC =AC 132123y x -+=--+()3,1-()2,2-132123y x -+=--+132123y x -+=--+α()3,5,4m =- 10,0,4OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ P αOP m d m⋅===38sin 2sin cos cos A B A B=222222222a b b c a a c b bcac=+-+-22233a b c =+2233b c a a ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111sin 222S bc A bc bc ===故令，，则，，所以，等号成立条件为.故答案为.四、解答题15.解：（1）由题意可得，，所以线段的中点为，，所以直线的垂直平分线的斜率为，故线段垂直平分线的斜截式方程为，即.（2）设直线的截距式方程为，则①，.由①②解得，，故直线.16.解：（1）因为，，所以，，所以在方向上投影向量为.（2）因为，，222S bc a a ==2b m a ⎛⎫= ⎪⎝⎭2c n a ⎛⎫= ⎪⎝⎭33m n +=2S a 238S a ≤=58m =38()1,3A()4,7B AB 5,52⎛⎫ ⎪⎝⎭734413AB k -==-AB 34-AB 35542y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭35548y x =-+l 1x ya b+=211a b +=tan 3b k a π-===2a =-1b =-l 1=()1,2AB =- ()0,AC =08210AB AC ⋅=++=3AC = A B A C 101099AB AC AC AC ACAC ⎛⎫⋅⋅== ⎪ ⎪⎝⎭()1,2AB =- ()0,AC = AB =所以，又，所以，故以，为邻边的平行四边形的面积为17.解：（1）证明：以为坐标原点，、、所在直线为、、轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意得，，，，，，因为，，所以，所以，所以.（2）由（1）可得，，所以cos ,AB AC AB AC AB AC ⋅==⋅()0,πCAB ∠∈sin CAB ∠==AB AC sin 3S AB AC CAB =∠== D DA DC 1D D x y z Dxyz ()0,0,1E()1,1,0F ()12,2,2B ()0,2,0C ()10,2,2C 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭50,,13H ⎛⎫⎪⎝⎭()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--()()11210120EF B C ⋅=⨯-+⨯-⨯-=1EF BC ⊥1E F BC ⊥()1,1,1EF =- 120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭111cos ,EF C G EF C G EF C G⋅==.故异面直线与（3）由（1）可得，故.18.解：（1）由题意可得，解得.（2）由（1），，则，当且仅当，即时等号成立，此时，，所以的周长为.（3）由题意可知，均为整数，所以均为整数，又因为，，，.所以，即.所以，，0或2，所以直线的一般式方程为或或或.19.解：（1）考虑提示：球体体积，半圆面积，==EF 1CG 112,,13B H ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭1B H ==5205201a a a +>⎧⎪+⎨>⎪+⎩1a >-10a +>()()152195*********AOBa S a a a a +⎡⎤=⨯+⨯=+++⎢⎥++⎣⎦△112122⎡⎤≥=⎢⎥⎣⎦()9411a a +=+12a =()6,0A()0,4B AOB △4610+=+52a +523211a a a +=+++352,1a a ++1a >-22a k =>-k ∈Z 3361212k a k ==+++21,2,3,6k +=1,0,1,4k =-12a =-12AB 280x y +-=23120x y +-=50x y +-=390x y +-=34π3r V =2π2r S =设几何重心到圆心的距离为，由于几何重心在对称轴上，则运动的轨迹长度为，运用巴普斯定理有：，解得，代入即.注：开始时代入计算也给分.（2）由题知：球面方程为，故.另一方面：.则切面方程为：：，代入得到：，于是，运用等体积法：设的面积为，（当且仅当取等）.x 2πx 23π4π2π23r r x V ⨯==43πr x =3r =4πx =()22211x y z ++-=()22211a b c ++-=(),,1PQ a b c =- L ()()()()1a x a b y b c z c -+-+--()()()222111ax by c z a b c c ⎡⎤=++--++---⎣⎦()10ax by c z c =++--=,0,00,,00,0,1c A a c B b c C a ⎧⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎪ ⎪+⎝⎭⎩()31131261C OAB c c c c V c a b ab c -⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪--⎝⎭ABC △A B C S △333C OAB C OAB C OAB ABC O L V V V S cd c---→===△()()()()()222222211111c c c ab c a b c c c =≥=-⎡⎤+----⎣⎦()()213221323cc c c c c c c ===≥=+---+-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭a b ==c =。
高二数学期中考试试题
高二数学期中考试试题一、选择题：（每题5分共60分）1.已知a，b，c是△abc三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角c的大小为()a．60°b．90°c．120°d．150°2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于()a.12b.22c.2d.323.在△abc中，已知sinacosb＝sinc，那么△abc一定是()a．直角三角形b．等腰三角形c．等腰直角三角形d．正三角形4.如果,那么下列不等式成立的是（）a．b．c．d．5.目标函数，变量满足，则有（）a．b．无最小值c．无最大值d．既无最大值，也无最小值6.下列有关命题的说法正确的是a．命题“若，则”的否命题为：“若，则”；b．命题“使得”的否定是：“均有”；c．在中，“”是“”的充要条件；d．“或”是“”的非充分非必要条件.7..设f(n)＝2＋24＋27＋210＋…＋23n＋1(n∈n*)，则f(n)等于（）a.27(8n－1)b.27(8n＋1－1)c.27(8n＋3－1)d.27(8n＋4－1)8.已知等差数列的前项和为，，，取得最小值时的值为（）a．b．c．d．10.若点o和点f分别为椭圆x24＋y23＝1的中心和左焦点，点p 为椭圆上的任意一点，则op→fp→的最大值为()a．2b．3c．6d．8二.填空题（每题5分共20分）13.不等式的解集是，则a＋b的值是14.已知数列满足，，则的最小值为____.15.已知椭圆的焦点是,Ｐ为椭圆上一点，且是和的等差中项.若点p在第三象限，且∠＝120°，则.16.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左，右焦点分别为f1(－c,0)，f2(c,0)，若椭圆上存在点p使asin∠pf1f2＝csin∠pf2f1成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．三、解答题(每题12分)17.命题p：关于x的不等式对于一切恒成立，命题q：若为真，为假，求实数a的取值范围。
高二数学期中考试试卷
高二数学期中试卷1、设b a ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）A 、若βα⊥⊥a a ,，则αβ B 、若αα⊥⊥b a ,，则a bC 、若a α，α⊥b ，则b a ⊥D 、若a α，b α，则a b2、在数列{}n a 中，3a 与10a 是方程0532=--x x 的两根，若{}n a 是等差数列，则76a a +等于（ ）A 、-5B 、5C 、-3D 、33、记数列{}n a 的前n 项和为n S ，且)1(2-=n n a S ，则2a 等于（ ）A 、4B 、2C 、1D 、-24、在ABC ∆中，060,3,2===B b a ，则A 等于（ ）A 、0013545或B 、0015030或C 、090D 、0455、若ABC ∆的角A ，B ，C 的对边分别c b a ,,，且2,45,10===∆ABC S B a ,则b 等于（ ）A 、5B 、25C 、41D 、256、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，0852=+a a ，则25S S 等于（ ） A 、11 B 、5 C 、-8 D 、-117、已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A 、61B 、31C 、21D 、22 8、在A B C ∆中，若cc b A 22cos 2+=，则A B C ∆的形状为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、等腰或直角三角形9、在数列{}n a 中，nn n a a a a -+=-=+11,211，则2010a 等于（ ） A 、2- B 、31- C 、21- D 、3 10、在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别c b a ,,，若c a B b c a ⋅=-+3tan 222）（则角B 的值为（ ）A 、6πB 、3πC 、656ππ或D 、323ππ或 11、数列{}n a 中，前n 项和)(3为常数b b S n n +=，若{}n a 是等比数列，那么 b =12、若{}n a ，{}n b 满足2312++==⋅n n a b a n n n 且，则{}n b 的前10项和为13、在A B C ∆中，c b a ,,成等差数列，C B A sin ,sin ,sin 成等比数列，则ABC ∆的形状为14、在ABC ∆中，若36020===∆ABC S C c 且，,则=b a log15、下列命题中正确的是 （把正确命题的序号填在横线上） ○1若平面α平面β ，则平面α内任意一条直线都与平面β平行 ○2若平面α有三点A ，B ，C 到平面β距离相等，则αβ○3垂直于同一个平面的的两条直线平行 ○4若一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直 16、（本题满分12分）在ABC ∆中，设bb c B A -=2tan tan ，求A 的值。
高二期中考试试卷数学
高二期中考试试卷数学一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，则\( f(-1) \)的值为：A. 6B. 4C. 2D. -22. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项的值：A. 37B. 38C. 39D. 403. 圆的方程为\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)，求圆心坐标：A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)4. 若\( \sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2} \)，求\( \tan \alpha \)的值：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定5. 已知\( \log_{10} 100 = 2 \)，求\( \log_{10} 0.01 \)的值：A. -1B. -2C. 1D. 26. 函数\( y = \ln(x) \)的图像在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. 1C. 2D. -17. 已知\( \cos \theta = \frac{1}{3} \)，求\( \sin \theta \)的值（假设\( \theta \)在第一象限）：A. \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \)B. \( \frac{2\sqrt{2}}{9} \)C. \( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \)D. \( -\frac{2\sqrt{2}}{9} \)8. 抛物线\( y^2 = 4x \)的焦点坐标是：A. (1, 0)B. (2, 0)C. (0, 2)D. (0, -2)9. 根据题目所给的二元一次方程组\( \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \)，求\( x \)的值：A. 1B. 2C. 3D. 无法确定10. 已知\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \)，且\( xy = 6 \)，求\( x + y \)的值：A. 3B. 6C. 8D. 10二、填空题（每题3分，共15分）11. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)成等差数列，且\( a + b + c = 6 \)，则\( b \)的值为______。
2024-2025学年湖北省“金太阳联考”高二(上)期中考试数学试题(含答案)
2024-2025学年湖北省“金太阳联考”高二（上）期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.(8+i)(1−i)=( )A. 7−9iB. 9−9iC. 7−7iD. 9−7i2.已知角α的终边不在坐标轴上，且2sin 2α=sin α，则cos 2α=( )A. −78B. 78C. −78或1D. −15163.一艘轮船北偏西65∘方向上有一灯塔，此时二者之间的距离为16海里，该轮船以20海里/时的速度沿南偏西55∘的方向直线航行，行驶半小时后，轮船与灯塔之间的距离为( )A. 18海里B. 16海里C. 14海里D. 12海里4.已知某圆台的上、下底面半径分别为2和5，母线长为5，则该圆台的体积为( )A. 63πB. 39πC. 52πD. 42π5.设函数f(x)={ax−2,x⩽1ln x,x >1.若f(x)在R 上单调递增，则a 的取值范围为( )A. (0,+∞)B. (0,2]C. (−∞,2]D. (0,3]6.已知点P(2,1)，Q(1,0)，H 在直线x−y +1=0上，则|HP|+|HQ|的最小值为( )A. 2 3B. 11C. 10D. 37.金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件A =“甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件B =“甲、乙两人所选项目完全不同”，事件C =“甲、乙两人所选项目完全相同”，事件D =“甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则( )A. A 与C 是对立事件B. C 与D 相互独立C. A 与D 相互独立D. B 与D 不互斥8.已知A(2,0)，B(10,0)，若直线tx−4y +2=0上存在点P ，使得PA ⋅PB =0，则t 的取值范围为( )A. [−3,215]B. [−215.3]C. (−∞,−215]∪[3,+∞) D. (−∞,−7]∪[95,+∞)二、多选题：本题共3小题，共18分。
宁波镇海中学2024-2025学年高二上学期期中测试数学试卷
镇海中学2024学年第一学期期中考试高二数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.在等差数列{}n a 中，已知12a =，315S =，则4a 等于（ ） A.11 B.13 C.15 D.162.若椭圆2212x y m +=的右焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则m 的值为（ ） A.1 B.3 C.4 D.53.若点P 到直线1x =−和它到点(1,0)的距离相等，则点P 的轨迹方程为（ ）A.2x y =B.2y x =C.24x y =D.24y x =4.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1421→→→.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）.已知数列{}n a 满足：11a =，1,231,n n n n n a a a a a + = + 当为偶数当为奇数，则2024S =（ ） A.4720B.4722C.4723D.4725 5.已知函数()f x 是奇函数，函数)g x 是偶函数，且当0x >时，()0f x ′>，()0g x ′>，则0x <时，以下说法正确的是（ ） A.()()0f x g x ′+>′ B.()()0f x g x ′−>′C.()()0f x g x ′′>D.()()0f x g x ′′> 6.若函数()211kx f x x +=+在[)2,+∞上单调递增，则k 的取值范围为（ ） A.43k ≥− B.1k ≤− C.1k ≤ D.43k ≤− 7.已知2023log 2024a =，2024log 2025b =，2025log 2026c =，则（ ）A.a b c >>B.a c b >>C.c b a >>D.c a b >>8.已知椭圆22:13627x y C +=，左焦点为F ，在椭圆C 上取三个不同点P ，Q ，R ，且23FFQ QFR RFP π∠∠∠===，则123FP FQ FR ++的最小值为（ ）A.43B.43C.43D.43 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列选项正确的是（ ） A.1y x=，21y x ′=− B.2x y =，2ln2x y ′= C.ln y x =，1y x ′= D.cos2y x =，sin2y x =−′10.已知抛物线2:4C y x =，F 为其焦点，直线l 与抛物线交C 于()11,M x y ，()22,N x y 两点，则下列说法正确的是（ ） A.若点A 为抛物线上的一点，点B 坐标为(3,1)，则AF AB+的最小值为3 B.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与1x =−相切C.若直线l 过焦点F ，当MN OF ⊥时，则5OM ON ⋅= D.设直线MN 的中点坐标为()()000,0x y y ≠，则该直线的斜率与0x 无关，与0y 有关 11.数列{}n a 满足11a =，22a =，21n n n a a a ++>+，则下列结论中一定正确的是（ ） A.1050a >B.20500a <C.10100a <D.20500a > 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知1n a +=11a =，则100a =__________.13.已知双曲线22221x y a b −=与直线1y x =−相交于A ，B 两点，其中AB 中点的横坐标为23−，则该双曲线的离心率为_____.14.已知函数()()()5ln 155x f x e a x a x =++−+−，若()0f x ≥在()0,+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数()x f x xe =. （1）求()f x 的最小值；（2）求()f x 在点()1,e 处的切线方程.16.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =−，122n n n S S S ++=+. （1）求数列{}n a 的通项公式.（2）求数列()1n n n a −⋅的前n 项和n T . 17.已知双曲线22:13y C x −= （1）求双曲线C 的渐近线方程；（2）已知点()0,4P ，()2,0Q ，直线PQ 与双曲线C 交于A ，B 两点，1PQ QA λ= ，2PQ QB λ=，求12λλ+的值.18.已知函数()()21ln f x mx x m R x =+−∈，()211x g x xe x x =−−−，其中()f x 在1x = （1）求m 的值；（2）求函数()f x 的单调区间； （3）若()()nx g x f x ≤−恒成立，求实数n 的取值范围.19.在必修一中，我们曾经学习过用二分法来求方程的近似解，而牛顿（Issac Newton ，1643-1727）在《流数法》一书中给出了“牛顿切线法”求方程的近似解.具体步骤如下：设r 是函数()yf x =的一个零点，任意选取0x 作为r 的初始近似值，曲线()y f x =在点()()00,x f x 处的切线为1l ，设1l 与x 轴交点的横坐标为1x ，并称1x 为r 的1次近似值；曲线()y f x =在点()()11,x f x 处的切线为2l ，设2l 与x 轴交点的横坐标为2x ，称2x 为r 的2次近似值.一般地，曲线()yf x =在点()()(),n n x f x n ∈N 处的切线为1n l +，记1n l +与x 轴交点的横坐标为1n x +，并称1n x +为r 的1n +次近似值.不断重复以上操作，在一定精确度下，就可取n x 为方程()0f x =的近似解.现在用这种方法求函数()22f x x =−的大于零的零点r 的近似值，取02x =.（1）求1x 和2x ；（2）求n x 和1n x −的关系并证明()*n N ∈；（3()*11n i i x n N =<<+∈∑.。
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天心区第一中学2016年下学期数学学科期中考试试题卷
(时间：120分钟，满分：100分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．以下语句是命题的是( )
A.2不是无理数 B ．现在考试吗？
C ．x ＋5>0
D ．这道题真容易呀！
2.下列给出的算法语句正确的是 （ ）. Ａ．3A =
Ｂ．1+=x x
Ｃ．INPUT y x +
Ｄ． PRINT 1+=x x
3.F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|=6，动点M 满足|MF 1|+|MF 2|=6，则点M 的轨迹方程是( )
(A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
4.已知ABC ∆的周长是16，)0,3(-A ，B )0,3(, 则动点C 的轨迹方程是( )
(A) )0(1162522≠=+y y x (B) 1162522=+y x (C)1251622=+y x (D))0(125162
2≠=+y y x
5．下列说法正确的是( )
A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为：“若x 2＝1，则x ≠1”
B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件
C ．命题“存在x ∈R ，使x 2＋x ＋1＜0”的否定是：“对任意x ∈R, 均有x 2＋x ＋1>0”
D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题
6．用秦九韶算法求多项式f(x)＝0.5x 5＋4x 4－3x 2＋x －1当x ＝3的值时，先算的是( )
A ．3×3＝9
B ．0.5×35＝121.5
C ．0.5×3＋4＝5.5
D ．(0.5×3＋4)×3＝16.5
7．运行如图的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素α，则函数y ＝x α ,x ∈[0，＋∞)是增函数的概率为( )
A.37
B.45
C.35
D.34
8．某中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1，2，…，270，并在使用系统抽样时，将整个编号依次分为10段．
如果抽得号码有下列四种情况：
①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250；
②5，9，100，107，111，121，180，195，200，265； ③11，38，65，92，119，146，173，200，227，254； ④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270；
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A ．②③都不能为系统抽样
B ．②④都不能为分层抽样
C ．①④都可能为系统抽样
D ．①③都可能为分层抽样
9．输入8251=m ，6105=n ，执行下面一段程序输出的结果是( )
A ．17
B ．41
C ．37
D ．29
10．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是C 上的点，且
PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为( )
A.36
B.13
C.12
D.33
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上)
11．把七进制数305(7)化为五进制数，则305(7)＝______(5)． 12．假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30至7:30之间把报纸送到你家,而你上学的时间在早上7:00到8:00之间.那么你在离开家之前能拿到报纸的概率是________．
13．经过点P (22，0)，Q (0，－5)的椭圆的标准方程为________．
14．某人为估算如图中阴影部分的面积，将其放置在边长
为2的正方形内，然后借助计算机随机向正方形内抛掷1000个点，统计落在阴影部分的点为250个，则阴影部分的面积为 .
15．已知椭圆14
162
2=+y x ， 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，则此弦所在直线的方程为________．
天心区第一中学2016年下学期数学学科期中考试答卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．)
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分．)
11. 12.
13. 14.
15.
三、解答题：本大题共5小题，满分50分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．(本题满分
(1)求x 的值；
(2)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？ (3)已知y ≥245，z ≥245，求初三年级中女生比男生多的概率．
班级 姓名 考场号 座位号
17．(本题满分10分)某中学团委组织了“弘扬奥运精神，爱我中华”的知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名学生，将其成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如下部分频率分布直方图．观察图形给出的信息，回答下列问题：
(1)求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图； (2)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和平均分；
(3)从成绩是[40,50)和[90,100]的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率．
18．(本题满分10分)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入i x (单位:千元)与月储蓄i y (单位:千元)的数据资料,算得
10
1
80i
i x
==∑,101
20i i y ==∑,101
184i i i x y ==∑,10
21
720i i x ==∑.
(Ⅰ)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y bx a =+; (Ⅱ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关;
(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
附:线性回归方程y bx a =+中,1
2
21
n
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx
==-=
-∑∑,a y bx =-,
19．(本题满分10分)
设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.
(1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)p ⌝是⌝q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
20．(本题满分10分)
如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别是F 1(－
c ，0)，F 2(c ，0)，离心率
为12，椭圆上的动点P 到直线l ：x ＝a 2c 的最小距离为2，延长F 2P 至Q 使得|F 2Q →
|＝2a ，线段F 1Q 上存在异于F 1的点T 满足PT →·TF 1→
＝0.
(1)求椭圆的方程；
(2)求点T 的轨迹C 的方程；。