2020最新高二下册期中考试数学试题(理)有答案

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2020年高二下册期中考试数学试题(理)有答案

第二学期其中考试试卷高二数学理科第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、计算复数2(ii i-是虚数单位） A ．12i + B ．12i -+ C ．12i -- D ．12i -2、函数21y x =-的图象上一点(1,0)处的切线的斜率为A ．1B ．2C ．0D ．-13、由①上行的对角线互相垂直；②菱形的对角线互相垂直；③正方形是菱形，写出一个“三段论”形式的推理，则作为大前提、小前提和结论的分别为A ．②①③B ．③①②C ．①②③D ．②③① 4、设()ln f x x x =，若0(3)f x '=，则0x = A ．2e B ．e C ．ln 22D ．ln 2 5、20cos xdx π⎰等于A ．3-B ．12C ．3D ．12- 6、若()sin cos f x x α=-，则()f α'等于A ．sin αB ．cos αC ．sin cos αα+D ．2sin α 7、函数()(3)x f x x e =-的单调区间是A ．(,2)-∞B ．(2,)+∞C ．()1,4D ．()0,38、设函数()f x '是函数()f x 的导函数，()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是9、函数3239(04)y x x x x =--<<有A ．极大值5，极小值-27B ．极大值5，极小值-11C ．极大值5，无极小值D ．极小值-27，无极大值 10、已知函数()f x 在R 上满足()122(2)x f x f x e x -=-++，则()1f '=A ．2B ．3C ．-1D ．1第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。

. 11、核黄素()sin 2f x x =，则函数的导函数为()f x '= 12、复数12,z i z =-=13、在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立，猜想在n 边形12n A A A L 中，有不等式成立。

2020新高二下册期中考试数学试题(理)有答案

2019-2020学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含解析

2019—2020学年第二学期南昌市八一中学高二理科数学期中考试试卷第Ⅰ卷（选择题：共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数z 满足1i 1i z +=-，则||z =（） A. 2iB. 2C. iD. 1 【★答案★】D【解析】【分析】根据复数的运算法则，求得复数zi ，即可得到复数的模，得到★答案★．【详解】由题意，复数11i i z +=-，解得()()()()111111i i i z i i i i +++===--+，所以1z =，故选D ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的模的求解，其中解答中熟记复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2. 已知平面α内一条直线l 及平面β，则“l β⊥”是“αβ⊥”的（）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【★答案★】B【解析】【分析】根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】解：由面面垂直的定义知，当“l ⊥β”时，“α⊥β”成立，当αβ⊥时，l β⊥不一定成立，即“l β⊥”是“αβ⊥”的充分不必要条件，故选：B ．【点睛】本题考查命题充分性和必要性的判断，涉及线面垂直和面面垂直的判定，属基础题.3. 已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC的面积是( )A. 3B. 22C.32D.34【★答案★】A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC的高为AO＝3，再求原△ABC的面积. 【详解】由题图可知原△ABC的高为AO＝3，∴S△ABC＝12×BC×OA＝12×2×3＝3，故★答案★为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4. 某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（）A. 4B. 6C. 8D. 12【★答案★】A【解析】由三视图复原几何体，是如图所示的四棱锥，它的底面是直角梯形，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，棱锥的一条侧棱垂直底面高为2，所以这个几何体的体积：12422432V+=⨯⨯⨯=，故选A．【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.5. 下列命题中，正确的是（）A. 经过不同的三点有且只有一个平面B. 分别在两个平面的两条直线一定是异面直线C. 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线D. 垂直于同一个平面的两个平面平行【★答案★】C【解析】【分析】根据不在一条直线上的三点确定一个平面，来判断A是否正确；根据分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，来判断B是否正确；根据垂直于同一平面的两直线平行，来判断C是否正确；根据垂直于同一条直线的两条直线的位置关系是平行、相交或异面，来判断D是否正确．【详解】解：对A，当三点在一条直线上时，平面不唯一，∴A错误；对B，分别在两个平面内的两条直线的位置关系不确定，∴B错误；对C，根据垂直于同一平面的两直线平行，∴C正确；对D，垂直于同一平面的两平面的位置关系是平行、相交，∴D错误．故选C．【点睛】本题考查了空间直线与直线的位置关系及线面垂直的判定与性质，考查了学生的空间想象能力.6. 实数a 使得复数1a i i +-是纯虚数，10b xdx =⎰，1201c x dx =-⎰则a ，b ，c 的大小关系是（） A. a b c <<B. a c b <<C. b c a <<D. c b a <<【★答案★】C【解析】【分析】利用复数的乘除运算求出a ，再利用微积分基本定理以及定积分的定义即可求出b ，c ，从而比较其大小关系. 【详解】()()()()11111122a i i a i a a i i i i +++-+==+--+， 1a i i +-是纯虚数， 102a -∴=，1a ， 121001122b xdx x ⎛⎫===⎪⎝⎭⎰， 1201c x dx =-⎰表示是以()0,0为圆心，以1为半径的圆在第一象限的部分与坐标轴围成的14个圆的面积， 21144c ππ∴=⨯⨯=，所以b c a <<. 故选：C【点睛】本题考查了复数的乘除运算、微积分基本定理求定积分、定积分的定义，考查了基本运算求解能力，属于基础题.7. 已知正四棱柱''''ABCD A B C D -的底面是边长为1的正方形，若平面ABCD 内有且仅有1个点到顶点A '的距离为1，则异面直线,AA BC '' 所成的角为 ( ) A. 6π B. 4π C. 3π D. 512π 【★答案★】B【解析】由题意可知，只有点A 到'A 距离为1，即高为1，所以该几何体是个正方体，异面直线11,AA BC 所成的角是4π，故选B.8. 函数3xeyx=的部分图象可能是（）A. B.C. D.【★答案★】C【解析】分析：根据函数的奇偶性，及x=1和x=2处的函数值进行排除即可得解.详解：易知函数3xeyx=为奇函数，图象关于原点对称，排除B，当x=1时，y=＜1，排除A，当x=4时，4112ey=>，排除D，故选C．点睛：已知函数的解析式判断函数的图象时，可从以下几个方面考虑：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．9. 如图所示，三棱锥P ABC -的底面在平面α内，且AC PC ⊥，平面PAC ⊥平面PBC ，点P A B ，，是定点，则动点C 的轨迹是（）A. 一条线段B. 一条直线C. 一个圆D. 一个圆，但要去掉两个点【★答案★】D【解析】因为平面PAC⊥平面PBC ，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC=PC ，AC ⊂平面PAC ，所以AC⊥平面PBC.又因为BC ⊂平面PBC ，所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点.选D.点睛：求轨迹实质是研究线面关系，本题根据面面垂直转化得到线线垂直，再根据圆的定义可得轨迹，注意轨迹纯粹性.10. 如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ；②△BAC 等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥；④平面ADC ⊥平面AB C.其中正确的是（）A. ①②④B. ①②③C. ②③④D. ①③④【★答案★】B【解析】【分析】根据翻折后垂直关系得BD ⊥平面ADC ，即得BD ⊥AC ，再根据计算得△BAC 是等边三角形，最后可确定选项.【详解】由题意知，BD ⊥平面ADC ，故BD ⊥AC ，①正确；AD 为等腰直角三角形斜边BC 上的高，平面ABD ⊥平面ACD ，所以AB ＝AC ＝BC ，△BAC 是等边三角形，②正确；易知DA ＝DB ＝DC ，又由②知③正确；由①知④错．故选B .【点睛】本题考查线面垂直判定与性质，考查推理论证求解能力，属中档题.11. 如图所示，在正三棱锥S —ABC 中，M 、N 分别是SC ．BC 的中点，且MN AM ⊥，若侧棱23SA =，则正三棱锥S —ABC 外接球的表面积是（）A. 12πB. 32πC. 36πD. 48π【★答案★】C【解析】分析】根据题目条件可得∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘，以SA ，SB ，SC 为棱构造正方体，即为球的内接正方体，正方体对角线即为球的直径，即可求出球的表面积.【详解】∵M ,N 分别为棱SC ,BC 的中点,∴MN ∥SB∵三棱锥S −ABC 为正棱锥，∴SB ⊥AC (对棱互相垂直)∴MN ⊥AC又∵MN ⊥AM ，而AM ∩AC =A ，∴MN ⊥平面SAC ，∴SB ⊥平面SAC∴∠ASB =∠BSC =∠ASC =90∘以SA ，SB ，SC 为从同一定点S 出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径. ∴236R SA ==，∴R =3，∴V =36π.故选：C【点睛】本题主要考查了三棱锥的外接球的表面积，考查空间想象能力，由三棱锥构造正方体，它的对角线长就是外接球的直径,是解决本题的关键. 12. 已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆离心率e 的取值范围为（） A. 2,312⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭C. 23,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 36,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【★答案★】A【解析】【分析】根据直角三角形性质得A 在圆上，解得A 点横坐标，再根据条件确定A 横坐标满足条件，解得离心率.【详解】由题意得OA OB OF c ===，所以A 在圆222=x y c +上，与22221x y a b +=联立解得22222()Aa cb xc -=，因为ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以22sin 22sin ()2sin [,]A A a a c a c a c AF c e x c x c e e eααα---=∴-=∴=∈因此2222222()()()a c a c b a c e c e---≤≤，解得22222222(2)()(2)2()a c c b a c a c c a a c -≤-≤--≤-≤-，，即222,20a c a c ac ≤--≥，即2212,120312e e e e ≤--≥∴≤≤-，选A. 【点睛】本题考查椭圆离心率，考查基本分析化简求解能力，属中档题.第Ⅱ卷（非选择题：共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将★答案★填在答题卡的相应位置.13. ()ππsin cos x x dx -+=⎰__________. 【★答案★】0【解析】【分析】求出被积函数的原函数，然后分别代入积分上限和积分下限作差得出★答案★.【详解】()()ππsin cos cos sin x x dx x x ππ--+=-+⎰()()()cos sin cos sin 110ππππ=-+---+-=-=⎡⎤⎣⎦.故★答案★为：0【点睛】本题主要考查了定积分的计算，解题的关键是确定原函数，属于基础题.14. 在三棱锥P ABC -中，6,3PB AC ==，G 为PAC ∆的重心，过点G 作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB 和AC ，则截面的周长为_________.【★答案★】8【解析】【分析】如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F ．过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N ．可得四点EFMN 共面，进而得到23EF MN AC AC ==，根据比例可求出截面各边长度，进而得到周长．【详解】解：如图所示，过点G 作EF ∥AC ，分别交PA ，PC 于点E ，F过点F 作FM ∥PB 交BC 于点M ，过点E 作EN ∥PB 交AB 于点N .由作图可知：EN ∥FM ，∴四点EFMN 共面可得MN ∥AC ∥EF ，EN ∥PB ∥FM . ∴23EF MN AC AC == 可得EF =MN =2.同理可得：EN =FM =2.∴截面的周长为8.故★答案★为：8.【点睛】本题考查了三角形重心的性质、线面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理，属于中档题．15. 已知一个正三棱柱，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个正三棱柱的表面积是______. 【★答案★】183【解析】【分析】由球的体积可以求出半径，从而得到棱柱的高；由球体与棱柱的所有面均相切，得出球的半径和棱柱底面正三角形边长的关系，求出边长，即求出底面正三角形的面积，得出棱柱的表面积.【详解】由球的体积公式可得24433R ππ=，1R ∴=， ∴正三棱柱的高22h R ==，设正三棱柱的底面边长为a ，则其内切圆的半径为：13132a ⋅=，23a ∴=，∴该正三棱柱的表面积为：21333226183222a R a a a a ⋅+⨯⨯=+=. 故★答案★为：183【点睛】本题考查了球的体积公式、多面体的表面积求法，属于基础题.16. 如图，在矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆.若M 为线段1A C 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，正确的命题是______.（填序号）①BM 是定值；②点M 在圆上运动；③一定存在某个位置，使1DE A C ⊥；④一定存在某个位置，使MB平面1A DE .【★答案★】①②④【解析】【分析】取DC 中点N 再根据直线与平面的平行垂直关系判断即可.【详解】对①, 取DC 中点N ,连接,MN BN ,则1//MN A D ,//NB DE .因为MN NB N ⋂=,1A D DE D ⋂=,故平面1//MNB A DE .易得1MNB A DE ∠=∠为定值,故在ADE ∆翻转过程中MNB ∆的形状不变.故BM 是定值.故①正确.对②,由①得, 在ADE ∆翻转过程中MNB ∆沿着NB 翻折,作MO NB ⊥交NB 于O ,则点M 在以O 为圆心,半径为MO 的圆上运动.故②正确.对③,在DE 上取一点P 使得AP DE ⊥,则1A P DE ⊥,若1DE A C ⊥则因为111A P A C A ⋂=,故DE ⊥面1A CP ,故DE PC ⊥,不一定成立.故③错误.对④,由①有1//MNB A DE ,故MB平面1A DE 成立.综上所述,①②④正确.故★答案★为：①②④ 【点睛】本题主要考查了翻折中线面垂直平行的判定,需要画出对应的辅助线分析平行垂直关系,属于中等题型.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，E ，F 分别是PA ，BD 上的点且PE ∶EA ＝BF ∶FD ，求证：EF ∥平面PBC .【★答案★】见解析【解析】试题分析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM ，因为AD ∥BC ，∴BF MF FD FA =，又BF PE FD EA =，∴PE MF EA FA=，所以EF ∥PM ，从而得证.试题解析：连接AF 并延长交BC 于M .连接PM .因为AD ∥BC ，所以＝. 又由已知＝，所以＝. 由平面几何知识可得EF ∥PM ，又EF ⊄平面PBC ，PM ⊂平面PBC ，所以EF ∥平面PBC .18. 如图所示，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝1，AA 1＝2，M 是棱CC 1的中点．证明：平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【★答案★】证明见解析【解析】【分析】通过长方体的几何性质证得11BM A B ⊥，通过计算证明证得1BM B M ⊥，由此证得BM ⊥平面11A B M ，从而证得平面ABM ⊥平面11A B M .【详解】由长方体的性质可知A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，又BM ⊂平面BCC 1B 1，∴A 1B 1⊥BM ．又CC 1＝2，M 为CC 1的中点，∴C 1M ＝CM ＝1．在Rt△B 1C 1M 中，B 1M 2212C M CM =+=，同理BM 222BC CM =+=，又B 1B ＝2， ∴B 1M 2+BM 2＝B 1B 2，从而BM ⊥B 1M ．又A 1B 1∩B 1M ＝B 1，∴BM ⊥平面A 1B 1M ，∵BM ⊂平面ABM ，∴平面ABM ⊥平面A 1B 1M ．【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19. 以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为()1,0，若直线l 的极坐标方程为2cos 104ρθπ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数).（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB +. 【★答案★】（1）10x y --=，24y x =；（2）1【解析】【试题分析】(1) 2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭展开后利用公式直接转化为直角坐标方程.对C 消去m 后得到直角坐标方程.(2)求出直线l 的参数方程,代入抛物线,利用直线参数的几何意义求得11MA MB+的值. 【试题解析】（1）由2cos 104πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，得cos sin 10ρθρθ--=，令cos x ρθ=，sin y ρθ=，得10x y --=.因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =.（2）点M 的直角坐标为()1,0，点M 在直线l 上. 设直线l 的参数方程为21222t x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），代入24y x =，得24280t t --=.设点,A B 对应的参数分别为1t ，2t ，则1242t t +=，128t t =-，所以121211t t MA MB t t -+== ()21212224323218t t t t t t +-+==. 20. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，090ADC ∠=，平面PAD ⊥底面ABCD ，为AD 中点，M 是棱PC 上的点，．（1）求证：平面POB ⊥平面PAD ；（2）若点M 是棱的中点，求证：//PA 平面．【★答案★】（1）见解析；（2）见解析【解析】【详解】（1）证明： ∵AD 中点，且，∴DO BC =又//AD BC ，090ADC ∠=，∴ 四边形BCDO 是矩形，∴BO OD ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD 平面ABCD OD =，BO ⊂平面ABCD ，∴BO ⊥平面PAD ，又BO ⊂平面POB ，∴ 平面POB ⊥平面PAD ．（2）如下图，连接AC 交BO 于点E ，连接EM ，由（1）知四边形BCDO 是矩形，∴//OB CD ，又为AD 中点，∴E 为AC 中点，又是棱AC 的中点，∴//EM PA ，又EM ⊂平面，平面， ∴//PA 平面21. 如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，223AB DC ==,AC BD F ⋂=.且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形,E 为AD 的中点，G 为PAD ∆重心.(1)求证：//GF 平面PDC ；(2)求异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值.【★答案★】(1)证明见解析；（2）33952. 【解析】试题分析：（1）连接AG 交PD 于H ，连接GH ，由重心性质推导出GFHC ，根据线面平行的判定定理可得GF 平面PDC ；（2）取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，可证GFQ ∠ 即是异面直线GF 与BC 的夹角，由余弦定理可得结果.试题解析：（1）方法一：连AG 交PD 于H ,连接CH .由梯形ABCD ，//AB CD 且2AB DC =，知21AF FC = 又E 为AD 的中点，G 为PAD ∆的重心，∴21AG GH =，在AFC ∆中，21AG AF GH FC ==,故GF //HC . 又HC ⊆平面PCD ,GF ⊄ 平面PCD ,∴GF //平面PDC .方法二：过G 作//GN AD 交PD 于N ,过F 作//FM AD 交CD 于M ,连接MN ,G 为PAD ∆的重心，23GN PG ED PE ==,22333GN ED ∴==,又ABCD 为梯形，//AB CD ,12CD AB =,12CF AF ∴=13MF AD ∴=,233MF ∴= ∴GN FM = 又由所作，//FM AD 得GN //FM ，GNMF ∴为平行四边形.//GN AD //,GF MN GF PCD MN PCD ⊄⊆面，面,∴ //GF 面PDC(2) 取线段AB 上一点Q ，使得13BQ AB =，连FQ ,则223FQ BC ==, 1013,33EF GF ==,1316,33EQ GQ == ,在GFQ ∆中 222339cos 2?52GF FQ GQ GFQ GF FQ +-∠== ，则异面直线GF 与BC 的夹角的余弦值为33952. 角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.22. 已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a R x=+-+∈.(Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围. 【★答案★】(1) 见解析(2) 1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭【解析】【详解】（Ⅰ）因为()()1ln 21,(,0).f x a x a a R x x ⎛⎫=+-+∈> ⎪⎝⎭所以()()2211.ax a a a f x x x x'-++=-= ①若10a -≤≤，则()0f x '<，即()f x 在区间∞（0，+）上单调递减； ②若0a >，则当10a x a +<<时，()0f x '< ；当1a x a +>时，()0f x '>；所以()f x 在区间10,a a +⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增； ③若1a <-，则当10a x a +<<时，()0f x '>；当1a x a+>时，()0f x '<；所以函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．综上所述，若10a -≤≤，函数在区间上单调递减；；若，函数在区间上单调递减，在区间1,a a +⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；若1a <-，函数在区间上单调递增，在区间1,a a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减．（Ⅱ）依题意得()()()1ln 210x x f x a x e ae a x ⎛⎫≥-⇔+-+≥ ⎪⎝⎭，令()()121x h x ae a x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.因为()10h ≥，则()11a e -≥，即101a e ≥>-．于是，由()1210x ae a x ⎛⎫+-+≥ ⎪⎝⎭，得1201x a e a x +-≥+，即211x a x a xe-≥+对任意0x >恒成立. 设函数()21(0)x x F x x xe -=>，则()()()2211x x x F x x e +-='-. 当01x <<时，()0F x '>；当1x >时，()0F x '<；所以函数()F x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减；所以()()max 11F x F e ⎡⎤==⎣⎦. 于，可知11a a e ≥+，解得11a e ≥-.故a 的取值范围是1,1e ⎡⎫+∞⎪⎢-⎣⎭感谢您的下载!快乐分享，知识无限！不积跬步无以至千里，不积小流无以成江海！。

2019-2020学年黑龙江大庆实验中学高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2019-2020学年黑龙江大庆实验中学高二下学期期中考试数学（理）试题一、单选题 1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1 D【答案】C【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，然后求解复数的模. 详解：()()()()1i 1i 1i2i 2i 1i 1i 1i z ---=+=++-+ i 2i i =-+=，则1z =，故选c.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=表示的曲线是（） A ．一个圆 B ．两个圆 C ．两条直线 D ．一个圆和一条直线【答案】D【解析】分析：2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，然后化为直角坐标方程即可得结论.详解：2cos 3cos 30ρθρθρ-+-=化为()()cos 130ρθρ+-=，因为cos 10ρθ+=表示一条直线1x =-30ρ-=表示圆229x y +=，所以，极坐标方程2cos 3cos 30ρθρθρ-+-= 表示的曲线是一个圆和一条直线，故选D.点睛：本题主要考查极坐标方程的应用，属于中档题. 极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．3．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112【答案】B【解析】求得基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，基本事件的总数为222422226C C n A A =⨯=，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为2222222m C C A ==,所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为13m p n ==，故选B. 【点睛】本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.4．根据最小二乘法由一组样本点(),i i x y （其中1,2,,300i =L ），求得的回归方程是ˆˆˆybx a =+，则下列说法正确的是( ) A ．至少有一个样本点落在回归直线ˆˆˆybx a =+上 B ．若所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量同的相关系数为1 C ．对所有的解释变量i x （1,2,,300i =L ），ˆˆibx a +的值一定与i y 有误差 D ．若回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率ˆ0b >，则变量x 与y 正相关【答案】D【解析】对每一个选项逐一分析判断得解. 【详解】回归直线必过样本数据中心点，但样本点可能全部不在回归直线上﹐故A 错误；所有样本点都在回归直线ˆˆˆybx a =+上，则变量间的相关系数为1±，故B 错误；若所有的样本点都在回归直线ˆˆˆy bx a =+上，则ˆˆbx a +的值与y i 相等，故C 错误；相关系数r 与ˆb符号相同，若回归直线ˆˆˆy bx a =+的斜率ˆ0b >，则0r >，样本点分布应从左到右是上升的，则变量x 与y 正相关，故D 正确．故选D ．【点睛】本题主要考查线性回归方程的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，则他第2次，第3次两次均命中的概率是( ) A ．310B ．25C ．12D ．35【答案】A【解析】基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，由此能求出他第2次，第3次两次均命中的概率，得到答案．【详解】由题意某人连续投篮5次，其中3次命中，2次未命中，因为基本事件总数3252n C C 10==，他第2次，第3次两次均命中包含的基本事件个数212232m C C C 3==，所以他第2次，第3次两次均命中的概率是m 3p n 10==．故选：A ．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及排列、组合等知识的应用，其中解答中根据排列、组合求得基本事件的总数和第2次、第3次两次均命中所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．6．某班上午有五节课，分別安排语文，数学，英语，物理，化学各一节课．要求语文与化学相邻，数学与物理不相邻，且数学课不排第一节，则不同排课法的种数是A ．24B ．16C ．8D ．12【答案】B【解析】根据题意，可分三步进行分析：（1）要求语文与化学相邻，将语文与化学看成一个整体，考虑其顺序；（2）将这个整体与英语全排列，排好后，有3个空位；（3）数学课不排第一行，有2个空位可选，在剩下的2个空位中任选1个，得数学、物理的安排方法，最后利用分步计数原理，即可求解。

2020-2021学年高二第二学期理科数学期中考试卷(有答案)

2020-2021学年度第二学期高二理科数学期中考试卷第I卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共60分）.1．如果复数2+bii(b∈R)的实部与虚部相等，那么b=（）A．2 B．1C．2D．42．某公司将180个产品，按编号为001，002，003，…，180从小到大的顺序均匀的分成若干组，采用系统抽样方法抽取一个样本进行检测，若第一组抽取的编号是003，第二组抽取的编号是018，则样本中最大的编号应该是（）A．168B．167C．153D．1353．小明同学从9种有氧运动和3种无氧运动中选4种运动进行体育锻炼，则他至少选中1种无氧运动的选法有（）A．261种B．360种C．369种D．372种4．一车间为规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了4次试验，测得的数据如下根据上表可得回归方程ŷ=9.4x+9.1，则实数a的值为（）A．37.3B．38C．39D．39.55．某人午睡醒来，发现表停了，他打开收音机，想听电台整点报时，他等待的时间不多于15分钟的概率是（）A．12B．13C．14D．166．如图是某高三学生14次模考数学成绩的茎叶图，第1次到第14次的考试成绩依次记为A1，2A，…，A14.将14次成绩输入程序框图，则输出的结果是（）本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

A．8B．9C．10D．117．已知(1−2x)7=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a7x7，则（）A．a0=0B．a3=−280C．a1+a2+⋅⋅⋅+a7=−3D．a1+2a2+⋅⋅⋅+7a7=−7 8．从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（）A．51个B．54个C．12个D．45个9．武威创建“全国卫生文明城市”活动中，大力加强垃圾分类投放宣传.某居民小区设有“厨余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三种不同的垃圾桶.一天，居民小贤提着上述分好类的垃圾各一袋，随机每桶投一袋，则恰好有一袋垃圾投对的概率为（）A．19B．16C．13D．1210．若m,n,l为空间三条不同的直线，α,β,γ为空间三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若m⊥l,n⊥l，则m//n B．若m⊥β,m//α，则α⊥βC．若α⊥γ,β⊥γ,则α//βD．若α∩β=m,β∩γ=n,m//n,则α//β11．已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点在直线x+y−1=0上，又经过抛物线C的焦点且倾斜角为60°的直线交抛物线C于A､B两点，则|AB|=（）A ．12B ．14C ．16D ．1812．定义在R 上的函数()y f x =满足()6()f x f x -=，()()3'()03x f x x ->≠，若()()010f f ⋅<，则函数()f x 在区间()5,6内（）A ．没有零点B ．有且仅有1个零点C ．至少有2个零点D ．可能有无数个零点第II 卷（非选择题）三、填空题（每小题5分，共20分）.13．袋中有2个黄球3个白球，甲乙两人分别从中任取一球，取得黄球得1分，取得白球得2分，两个总分和为X ，则X =3的概率是______．14．二项式(3x +2x )6(n ∈N ∗)的展开式中的x 2系数为_________.(用数字作答)15．如图所示的茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则成绩较为稳定（方差较小）的那位运动员成绩的方差为__________．16．由下面的茎叶图可知，甲组37．如图，一环形花坛分成A ，B ，C ，D 四个区域，现有5种不同的花供选种，要求在每个区域种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为______．四、解答题（共70分）17（10分）．袋中有2个白球，3个红球，5个黄球，这10个小球除颜色外都相同．（1）从袋中任取3个球，求恰好取到2个黄球的概率；（2）从袋中任取2个球，记取到红球的个数为ξ，求ξ的分布列．18（12分）．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该企业质检人员从所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下六组：40,50)，50,60)，60,70)，…，[90,100]，得到如下频率分布直方图．本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

北师大版高二下册期中考试数学试卷及答案(理科)-2020最新

x y yxyxyxO 1 2O 1 2O 121 2高二下学期期中考试数学（理）一、选择题：（每小题5分，共60分）1. 椭圆2212x y +=上的一点P 到焦点1F 的距离等于1，则点P 到另一个焦点2F 的距离是（） A ．1 B ．3 C ．21- D ．221-2. 若方程22125x y k k-=+-表示双曲线，则k 的取值范围是（） A ．(,2)-∞- B ．(2,5)- C ．[)(,2)5,-∞-+∞U D ．(5,)+∞ 3. 设双曲线的焦点在x 轴上，两条渐近线为12y x =±，则双曲线的离心率为（） A ．5 B ．5 C ．52 D ．544. 设椭圆22221x y m n +=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为（）A.2211216x y += B.2211612x y += C.2214864x y += D.2216448x y += 5. x y =与2x y =围成的封闭图形的面积为（）A. 31B. 41C. 61D. 216．函数32()32f x ax x =++，若4)1(=-'f ，则a 的值等于（）A ．193B ．163C ．133D ．1037. 曲线123+-=x x y 在点（1,0）处的切线方程为（）A.1-=x yB.1+-=x yC. 22-=x yD. 22+-=x y8．把长度为16的线段分成两段，各围成一个正方形，它们的面积和的最小值为（） A. 2 B. 4 C. 6 D.89.dx x ⎰421等于（）A.2ln 2-B. 2ln 2C. 2ln -D. 2ln10. 设)(x f '是函数f (x )的导函数，=y )(x f '的图象如左下图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是（ )（=y )(x f 的图象）A B C D 11. 方程0333=--x x 的实数根的个数为（）A. 3B. 2C. 1D.012. 设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若++=0，则|FA|+|FB|+|FC|=（）A ．9 B. 6 C. 4 D. 3xyO 1 2二、填空题（每小题5分，共20分）13. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线的倾斜角为___________________； . 14. 函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是_________________________ 15．设点P 是双曲线x 2－23y =1上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|PA |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是．16. 已知)2,4(P 是直线l 被椭圆193622=+y x 所截得的线段的中点，则直线l 的方程为______________________ .三、解答题（共70分）17. 已知函数23)(bx ax x f +=，当1x =时，有极大值3；（1）求,a b 的值；（2）求函数)(x f 的极小值18. 若双曲线与椭圆1162522=+y x 有相同的焦点，与双曲线1222=-y x 有相同渐近线，求双曲线方程. 19. 已知长轴长为22，短轴长为2，焦点在x 轴上的椭圆，过它的左焦点1F 作倾斜角为4π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．20. 已知a 为实数，()()2()4f x x x a =--。

2019-2020年高二下学期期中考试数学(理)试题含答案

2019-2020年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-4页。

试卷满分150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每题5分，满分60分）1．曲线y ＝13x 3－2在点(1，－53)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．150° 2．已知数列2,5,11,20，x,47，…合情推出x 的值为( ) A ．29 B ．31 C ．32 D ．33 3．已知f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0等于( )A ．e 2B ．eC ．ln 22D ．ln 2 4．曲线y ＝cos x 与坐标轴所围成图形面积是( ) A ．4B ．2C ．52D ．35．函数f (x )＝1＋x －sin x 在(0,2π)上是( )A ．增函数B ．在(0，π)上递增，在(π，2π)上递减C ．减函数D ．在(0，π)上递减，在(0,2π)上递增6．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被5整除，则a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设的内容是( )A ．a ，b 都能被5整除B ．a ，b 都不能被5整除C ．a ，b 有一个能被5整除D ．a ，b 有一个不能被5整除7．函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )．A ．无极大值点，有四个极小值点B ．有三个极大值点，两个极小值点C ．有两个极大值点，两个极小值点D ．有四个极大值点，无极小值点 8．设a >0，b >0，则以下不等式中不一定成立的是( )A ． a 2＋b 2＋2≥2a ＋2bB ．ln(ab ＋1)≥0C ．b a ＋ab≥2 D ．a 3＋b 3≥2ab 29．在平行六面休ABCD －A ′B ′C ′D ′中，若'23'AC xAB yBC zC C =++u u u u r u u u r u u u r u u u u r，则x ＋y ＋z 等于( )A ．B ．76C ．56D ．2310．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( ) A ．20B ．18C ．3D ．011．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋ (1)2n －1<f(n) (n≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k变到n ＝k ＋1时，左边增加了( ) A ．1项B ．k 项C ．2k－1项 D ．2k 项12．已知f (x )＝x 3＋x ，若a ，b ，c ∈R ，且a ＋b >0，a ＋c >0，b ＋c >0，则f (a )＋f (b )＋f (c )的值( )A ．一定大于0B ．一定等于0C ．一定小于0D ．正负都有可能第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，满分20分）13．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为． 14．则常数T 的值为．15．在12221111,,;Rt ABC CA CB h h CA CB∆⊥=+中，斜边上的高为则类比此性质，如下图，在四面体P －ABC 中，若PA 、PB 、PC 两两垂直，底面ABC 上的高为h ，则得到的正确结论为__________________________． .16．若函数在区间上是单调递增函数，则实数的取值范围是．hP三、解答题：（本大题共6小题，满分70分） 17．（本题满分10分）若，求证：33222()()()a b a b a b ++≥+ .18．（本题满分12分）已知函数在处取得极值－2. （1）求函数的解析式；（2）求曲线在点处的切线方程；19．（本题满分12分）用总长为14.8米的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所制的容器的底面的长比宽多0.5米，那么高为多少时容器的容器最大？并求出它的最大容积．20．（本题满分12分）如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点。

黑龙江省2020学年高二数学下学期期中试题理(含解析)

高二数学下学期期中试题理（含解析）第I 卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设命题2:,2nP n N n ∃∈>，则P ⌝为（） A. 2,2nn N n ∀∈> B. 2,2nn N n ∃∈≤ C. 2,2nn N n ∀∈≤ D. 2,2nn N n ∃∈=【答案】C 【解析】试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为2,2nn N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.考点：原命题与否命题.2. “1＜x ＜2”是“x＜2”成立的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：因为“若12x <<，则2x <”是真命题，“若2x <，则12x <<”是假命题，所以“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．选A ．考点：充分必要条件的判断．【易错点睛】本题主要考查了充分条件,必要条件,充要条件的判断,属于基础题．对于命题“若A ,则B”是真命题,我们说A ⇒B ,并且说A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件，命题“若A ,则B ”是假命题,我们说A ≠>B ,由充分条件，必要条件的定义，可以判断出“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．掌握充分条件，必要条件的定义是解题关键．3.复数2256)(3)m m m m i -++-（是纯虚数，其中i 是虚数单位,则实数m 的值是( ) A. 3 B. 2 C. 2或3 D. 0或2或3【答案】B 【解析】【分析】本题首先可根据题意得出复数()2256(3)m m m m i -++-是纯虚数，然后根据纯虚数的定义即可得出复数的实部与虚部的取值范围，最后通过计算即可得出结果。

2020最新高二下册期中联考试题数学(理)word版有答案

高中二年数学（理）科试卷考试时间：4月25日完卷时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）1、复数2(2)1i z i+=-（i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．用反证法证明某命题时,对某结论:“自然数a b c ，，中恰有一个偶数” 正确的假设为( )A ．a b c ，，都是奇数B ．a b c ，，都是偶数C ．a b c ，，中至少有两个偶数D ．a b c ，，中至少有两个偶数或都是奇数 3．y ＝log a (2x 2－1)的导数是( )A.4x （2x 2－1）ln aB.4x 2x 2－1C.1（2x 2－1）ln aD.2x 2－1ln a4．如图，阴影部分的面积是( )A ．2 3B ．－2 3C ．353D ．3235．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3处取得极值，则a 等于( )A ．2 B ．3 C ．4 D ．56．函数f (x )的图象如图所示，下列数值的排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)7．平面内有n 条直线，最多可将平面分成)(n f 个区域，则()f n 的表达式为( )A ． 1+nB ． n 2C ．222++n nD ． 12++n n8．定义在()0,+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()12x f x '<，则下列不等式中，一定成立的是（）A ． ()()()91411f f f -<<+B ． ()()()11491f f f +<<-C ． ()()()52411f f f +<<-D ． ()()()11452f f f -<<+9.一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”.经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A ．甲B ．乙 C.丙 D ．丁 10．已知()f x 是定义在0+∞（，）上的单调函数，且对任意的0x ∈+∞（，），都有()l ]n [1f f x x e -=+，则方程()f x f x e -'=（）的解所在的区间是（）A ．（0，12）B ．（12，1） C ．（1，2） D ．（2，3）11．如果△A 1B 1C 1的三个内角的余弦值分别等于△A 2B 2C 2的三个内角的正弦值，则( ) A ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形 B ．△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2都是锐角三角形C ．△A 1B 1C 1是钝角三角形，△A 2B 2C 2是锐角三角形D ．△A 1B 1C 1是锐角三角形，△A 2B 2C 2是钝角三角形12.已知,a b R ∈,直线2y ax b π=++与函数()tan f x x =的图象在4x π=-处相切，设2()x g x e bx a =++,若在区间[1,2]上，不等式2()2m g x m ≤≤-恒成立，则实数m 有（） A.最大值e B.最大值1e + C.最小值e - D.最小值e 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13、i 是虚数单位，若复数(3)()i m i -+ 是纯虚数，则实数m 的值为 . 14．220(3)10,x k dx k +==⎰则15．若三角形内切圆的半径为r ，三边长为a b c ，，，则三角形的面积等于1()2S r a b c =++，根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别是1234S S S S ，，，，则四面体的体积V = ．16.若函数()()320h x ax bx cx d a =+++≠图象的对称中心为()()00,M x h x ，记函数()h x 的导函数为()g x ，则有()0'0g x =，设函数()3232f x x x =-+，则12403240332017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋯++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．三、解答题（本大题6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知定义在()1,+∞上的函数()ln 2f x x x =--，求证：()f x 存在唯一的零点，且零点属于()3,4．18. 已知函数()ln af x x x=-，其中a R ∈，且曲线()y f x =在点()1,(1)f 的切线垂直于直线y x =．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间和极值．19．已知数列{a n }的通项公式a n ＝2)12(4-n ，数列{b n }的通项满足b n ＝(1－a 1)(1－a 2) (1)a n )，试证明：b n ＝2n ＋11－2n.20．设f (x )＝ln x ，g (x )＝f (x )＋f ′(x )．(1)求g (x )的单调区间和最小值．(2)求a 的取值范围，使得g (a )－g (x )<1a对任意x >0成立．21．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式210(6)3a y x x =+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

2020年高二下学期期中考试数学(理)试卷

数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号.考场号.座号.考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合}31|{},06|{2≤≤=<-+=x x N x x x M ，则=N M I ( ) A.]2,1[ B.)2,1[ C.]3,2（ D.]3,2[2.已知△ABC 中，“4π=∠A ”是“22sin =A ”的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3.在复平面内,复数i 32i15-+对应的点位于（） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ,则目标函数y x z 32+=的最大值为( )A.10B. 9C.8D. 4 5.已知是等差数列的前项和,若,,则=6S ( )A.40B.80C.36D.576.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为()A.325 B. 61 C. 165D.以上都不对 7.己知抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||32||OF AB =(O 为原点),则双曲线的离心率为( )A.3B. 2C. 2D. 58.设随机变量)9,1(~N X ，且)1(0(-≥=≤a X P X P ），则实数a 的值为（） A.2 B. 3 C. 4 D. 59.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则( )A ．a c b << B. a b c << C. c b a << D. b c a<<10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++= ( )A.1B. 34-C. 3-D. 1311.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上,则实数的取值范围是（）A.)83,41(B. )21,41(C. )21,61(D. )1,41( 第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数x x x f 2ln )(+=,则不等式2)3(2<-x f 的解集为_______.14.已知1x >-，则函数()()521x x y x ++=+的最小值为________.15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 16.设函数)(),(x g x f 分别是定义在上的奇函数和偶函数,且xx g x f 2)()(=+,若对]2,21[∈x ,不等式0)2()(≥+x g x af 恒成立,则实数a 的取值范围是__________.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17.已知，在AB C ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且A b B a cos 3sin =． (1)求角A 的大小；(2)设AB C ∆的面积为33，求a 的取值范围．18.如图与都是边长为的正三角形,平面平面,平面,.(1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值.19.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左.右焦点分别为32||,,2121=F F F F ，直线l 与椭圆C 交于B A ,两点,且4||||21=+AF AF (1)求椭圆C 的方程；(2)若B A ,两点关于原点O 的对称点分别为B A '',,且ο90=∠AOB ,判断四边形B A AB ''是否存在内切的定圆?若存在,请求出该内切圆的方程;若不存在,请说明理由.20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量(mg)683895662775 10 6788469株的存活”与“制剂吸收足量”有关？吸收足量吸收不足量合计植株存活 1 植株死亡合计20（2） ①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ξ为“植株死亡”的数量，求ξ得分布列和期望ξE ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求ηD .2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21.已知函数x x a ax x f ln )2()(2--+=.(1)若函数)(x f 在1=x 时取得极值,求实数a 的值； (2)当10<<a 时,求)(x f 零点的个数.选做题：22，23两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程22.在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 442(其中为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆2C 的极坐标方程为015sin 82=+-θρρ.(1)求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)过圆2C 的圆心2C ,倾斜角为4π的直线l 与曲线1C 交于B A ,两点,则||||22BC A C +的值.23.已知|12||1|)(--+=x x x f . (1)求不等式0)(>x f 的解集；(2)若R x ∈,不等式32)(-+≤a x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.高二数学（理科）试卷参考答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BADBDCCBACAB二．填空题13. )2,3()3,2(Y -- 14. 9 15. 12=-≤a a 或 16. [2,)+∞-2 三.解答题：17.解：（1）sin =3cos a B b A ．由正弦定理可得：sin sin =3sin cos A B B A ，又sin 0B ≠，可得：tan 3A =，又(0,)A π∈，所以3A π=．........6分（2）因为3A π=，ABC ∆的面积为1333sin 2bc A bc ==，解得12bc =......8分由余弦定理可得：22222cos 223a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-≥=，当且仅当23b c ==时等号成立．综上，边a 的取值范围为[23,)+∞．...........12分 18.取CD 中点O ,连OM OB ,,则CD OM CD OB ⊥⊥,, 又平面⊥MCD 平面BCD ,则⊥MO 平面BCD ,........1分以O 为原点,直线OM BO OC ,,为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图,3==OM OB ,则各点坐标分别为)0,0,0(O ,)0,0,1(C ,)3,0,0(M ,)0,3,0(-B ,)32,3,0(-A ,2分(1)设),,(z y x n =是平面MBC 的法向量,则)3,3,0(),0,3,1(==BM BC , 由BC n ⊥得03=+y x ;由BM n ⊥得033=+z y ,..........4分取)1,1,3(--=n ,则距离5152||==n n BA d ..............6分 (2))32,3,1(),3,0,1(--=-=CA CM ,,设平面的法向量为),,(1111z y x n =,由n ⊥1得0311=+-z x ;由n ⊥1得0323111=+--z y x ,......9分取)1,1,3(1=n ,又平面BCD 的法向量为)1,0,0(=n , 则51,cos 111=>=<n ,.....11分设所求二面角为θ,则552cos 1sin 2=-=θθ......12分 19. (1)因为32||21=F F ,所以3c =因为直线l 与椭圆C 交于,两点,且12||4||AF AF =-,所以12||||4AF AF +=,所以24a =,解得2a =,所以2221b a c =-=,所以椭圆的方程为1422=+y x ......4分(2)①当直线l 的斜率k 存在时,设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=,222222644(41)(44)16(41)k m k m k m ∆=-+-=+-,.....6分所以12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,,因为ο90=∠AOB ,所以OB OA ⊥,0=⋅,即22222222212121212222448544(1)()(1)0414141m k m m k x x y y k x x km x x m k m k k k ---+=++++=+-+==+++,.....8分所以22445k m +=,所以原点O 到直线l 的距离2||2551m d k ==+..........9分根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为255,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=......10分 ②当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x n =,不妨设,A B 分别为直线l 与椭圆C 的上.下交点,则22(4)(4)(,),(,)22n n A n B n ---,由,得,22404n n --=,解得245n =, 所以此时原点到直线的距离为255.根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为255,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=. .综上可知,四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=......12分 20.(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，吸收足量吸收不足量合计植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计15520635.6934.5515713)13412(2022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………6分①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株，存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2,3. 其中53)2(3524===C C P ξ， 52)3(3534===C C P ξ………………8分ξ的分布列为：所以55352=⨯+⨯=ξE .………10分②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为532012==p 332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯= ………………12分21.(1))(x f 定义域为)0(∞+，,xax x x x a ax x f )1)(12(1)2(2)(-+=--+=', 由已知,得0)1(='f ,解得1=a ,.....2分当1=a 时,xx x x f )1)(12()(-+=',所以,100)(<<⇔<'x x f ,,10)(>⇔>'x x f ,所以)(x f 减区间为)10(，,增区间为)1(∞+，,.....4分所以函数)(x f 在1=x 时取得极小值,其极小值为0)1(=f ,符合题意,所以1=a ......5分(2)令0)1)(12()(=-+='x ax x x f ,由,10<<a ,得,11>=ax .....6分所以a x x f 100)(<<⇔<',a x x f 10)(>⇔>',所以)(x f 减区间为)10(a ，,增区间为)1(∞+，a ,所以函数)(x f 在a x 1=时取得极小值,其极小值为aa a f 11ln )1(-+=,.....8分因为10<<a ,所以0ln <a ,11>a,所以011<-a ,所以011ln )1(<-+=aa a f ,因为021212)1(2>+-=+->+-+=ee a e a e a e a ef , 根据零点存在定理,函数)(x f 在)10(a，上有且仅有一个零点,.....10分因为x x ln >,)3()2(ln )2()(22-+=--+>--+=a ax x x x a ax x x a ax x f ,令03>-+a ax ,得a a x ->3,又因为10<<a ,所以aa a 13>-, 所以当a a x ->3时,0)(>x f ,根据零点存在定理,函数)(x f 在)1(∞+，a上有且仅有一个零点,所以,当10<<a 时,)(x f 有两个零点......12分22.(1)曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数),消去参数可得24y x =......2分曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-=......5分(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4),直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+==⋅=t t y t t x 2244sin 4224cos ππ(其中为参数),.....7分代入24y x =可知22320t t ++=,.....8分因为1232t t =,可知2212||||||2C A C B t t +=+=4......10分23. (1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=--+=21,2211,31,2|12||1|)(x x x x x x x x x f ......2分当1-<x 时,由02>-x 得2>x ,即解集为Φ,当211≤≤-x 时,由03>x 得0>x ,解集为]210(，, 当21>x 时,由02>-x 得2<x ,解集为)2,21(,综上所述,0)(>x f 的解集为)2,0(......5分最新精品(2)不等式32)(-+≤a x x f 恒成立等价于32)(-≤-a x x f 恒成立,则max ])([32x x f a -≥-,.....6分令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=-=21,22211,21,2)()(x x x x x x x f x g ,.....7分则1)(max =x g ,即2132≥⇒≥-a a .....9分所以实数a 的取值范围是),2[+∞......10分。

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14、把复数z 的共轭复数记作z ，已知(1)1i z i +=-，则z =15、函数322y x x x =-+-图象在于y 轴交点处的切线与两坐标轴围成三角形的面积为三、解答题：本大题共5小题，满分50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分10分）当实数m 取何值时，在复平面内与复数22(4)(6)z m m m m i =-+--对应点满足下列条件？（1）在第四象限；（2）在直线30x y -+=上。

17、（本小题满分10分）用数学归纳法证明21122221()n n n N -*++++=-∈L18、（本小题满分10分）已知函数()323911f x x x x =--+（1）求函数()f x 的递减区间；（2）讨论函数()f x 的极大值或极小值，如有写出极值。

19、（本小题满分10分）设函数()322338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。

（1）求,a b 的值；（2）对于任意的[]0,3x ∈，求()f x 的最值。

20、（本小题满分10分）已知2x =是函数()2(23)xf x x ax a e =+--的一个极值点( 2.718)e =L 。

（1）求实数a 的值；（2）求函数()f x 在3[,3]2x ∈的最大值和最小值。

四、附加题（共3道题，共30分） 21、（本小题满分10分）用数学归纳法证明11125123124n n n +++>+++L 对任意正整数n 成立。

22、（本小题满分10分）已知二次函数()f x 满足：①在1x =时有极值；②图象过点(0,3)-，且在该点处的切线与直线20x y +=平行。

（1）求()f x 的解析式；（2）求函数()2()g x f x =的单调递增区间。

23、（本小题满分10分）已知函数()1ln(1),01xf x ax x x-=++>+，其中0a >。

（1）若()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）求()f x 的单调区间。

高二数学（理）11. 2cos2x 12.5 13. )2(,)2-(n n 111221*∈>≥+++N n n A A A n 且πΛ 14.i15.2三．解答题16解：复数z ＝(m 2－4m )＋(m 2－m －6)i ，对应点的坐标为Z (m 2－4m ，m 2－m －6)． (Ⅰ)点Z 在第四象限，则⎩⎨⎧<<-><⎪⎩⎪⎨⎧<-->-3240,060422m m m m m m m 或解得 ∴-2<m <0. …………………………………………………………………………..5分(Ⅱ)点Z 在直线x －y ＋3＝0上，则(m 2－4m )－(m 2－m －6)＋3＝0，即－3m ＋9＝0，∴m ＝3. …………………………………………………………10分17. ①当n=1时，左边=1，右边=121-=1，等式成立。

…………………………...2分②假设当n=k 时，等式成立，即21122221k k -+++⋅⋅⋅=-……………………….4分则当n=k+1时，2111222221221k k k k k -++++⋅⋅⋅+=-+=-………………….8分所以，当n=k+1时等式成立。

由此可知，对任何*n N ∈，等式都成立。

. ………………………………10分18. 解：令0)('=x f ，得11-=x ，31=x ………………………………………2分x 变化时，的符号变化情况及的增减性如下表所示：分（Ⅰ）由表可得函数的递减区间为)3,1(- ……………………………..8分（Ⅱ）由表可得，当1-=x 时，函数有极大值16)1(=-f ；当3=x 时，函数有极小值16)3(-=f . ……………………..10分19. 解：（Ⅰ）2()663f x x ax b '=++，因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值，则有(1)0f '=，(2)0f '=．即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩，．解得3a =-，4b =．…………………………………………………………….4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，32()29128f x x x x c =-++，2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--．0)(='xf 解得,2,1==x x ………….6分最小值为c f 8)0(=,最大值为c f 89)3(+=.…………………………………………10分 20解：（I ）由2()(23)xf x x ax a e =+--可得22()(2)(23)[(2)3]x x x f x x a e x ax a e x a x a e '=+++--=++--………..4分 ∵2x =是函数()f x 的一个极值点，∴(2)0f '=∴2(5)0a e +=，解得5a =- ……………..6分（II ）由0)1)(2()(>--='x e x x x f ，得)(x f 在)1,(-∞递增，在),2(+∞递增，由0)(<'x f ，得)(x f 在在)2,1(递减∴2)2(e f =是()f x 在]3,23[∈x 的最小值； ………………….8分2347)23(e f =，3)3(e f = ∵)23()3(,0)74(4147)23()3(23233f f e e e e e f f >>-=-=-∴()f x 在]3,23[∈x 的最大值是3)3(e f =．…………………………………10分附加题1证明:(1)当1=n 时,左=24252426413121>=++,不等式成立………………………….2分（2）假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++L ．……………4分则当1n k =+时，有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++L 111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++L 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦．因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++，所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++，所以112032343(1)k k k +->+++．………………………………………………………8分所以当1n k =+时不等式也成立．由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++L ， …………10分 2解：（Ⅰ）设f (x )=ax 2+bx +c ,则f (x )=2ax +b ．由题设可得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-='=',3)0(,2)0(,0)1(f f f 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-==+.3,2,02c b b a 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==.3,2,1c b a所以f (x )=x 2-2x -3．……………………………………………………………….4分（II ） g (x )=f (x 2)=x 4－2x 2－3，g (x )=4x 3－4x =4x (x －1)(x +1)．列表：由表可得：函数g (x )的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)． ………………….10分3解: （Ⅰ）22222'(),1(1)(1)(1)a ax a f x ax x ax x +-=-=++++ ∵()f x 在x=1处取得极值，∴2'(1)0,120,f a a =+-=g即解得 1.a =………4分（Ⅱ）222'(),(1)(1)ax a f x ax x +-=++ ∵0,0,x a ≥> ∴10.ax +>①当2a ≥时，在区间(0,)'()0,f x +∞>上，∴()f x 的单调增区间为(0,).+∞ ②当02a <<时，由22'()0,'()0,a af x x f x x a a-->><<解得由解得 ∴()),a af x a a+∞2-2-的单调减区间为（0，单调增区间为（，）.……10分x (-∞,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f (x ) － 0 + 0 － 0 + f (x ) ↘ ↗ ↘ ↗。