2019学年高中数学第八章解三角形8.1正弦定理一学案湘教版必修4word版本

8.1 正弦定理(一)
[学习目标] 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题.
[知识链接]
下列说法中，正确的有________.
(1)在直角三角形中，若C 为直角，则sin A ＝a c ；
(2)在△ABC 中，若a >b ，则A >B ； (3)在△ABC 中，C ＝π－A －B ；
(4)利用AAS 、SSA 都可以证明三角形全等； (5)在△ABC 中，若sin B ＝22，则B ＝π
4
. 答案 (1)(2)(3)
解析 根据三角函数的定义，(1)正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，(2)正确；三角形的内角和为π，(3)正确；AAS 可以证明三角形全等，SSA 不能证明，(4)不正确；若sin B ＝
22，则B ＝π4或3π
4
，(5)不正确，故(1)(2)(3)正确. [预习导引]
1.在Rt △ABC 中的有关定理 在Rt △ABC 中，C ＝90°，则有：
(1)A ＋B ＝90°，0°<A <90°，0°<B <90°； (2)a 2
＋b 2
＝c 2
(勾股定理)； (3)a sinA ＝c ；b sinB ＝c ；c
sinC ＝c . 2.解三角形
三条边和三个内角是三角形最基本的六个元素，由这六个元素中的三个元素(其中至少要有一条边)去定量地求出三角形的其余的边和角的过程叫作解三角形. 3.三角形常用面积公式
(1)三角形面积公式S ＝1
2
ah .
(2)S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1
2ca sin B .
4.正弦定理
在三角形中，各边与它所对角的正弦的比值相等，这个结论就叫作三角形的正弦定理，即 a sinA ＝b sinB ＝
c
sinC
.
要点一 已知两角及一边解三角形
例1 (1)已知△ABC 中，a ＝20，A ＝30°，C ＝45°，求B ，b ，c . (2)在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，求A ，b ，c .
解 (1)∵A ＝30°，C ＝45°；∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°，由正弦定理得b ＝asinB
sinA
＝20sin105°
sin30°
＝40sin(45°＋60°)
＝10(6＋2)；c ＝asinC sinA ＝20sin45°
sin30°＝202，
∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2.
(2)A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°， 由正弦定理b sinB ＝a
sinA
，
得b ＝asinB sinA ＝8×sin60°sin45°
＝46，
由a sinA ＝c sinC ，得c ＝asinC sinA ＝8×sin75°sin45°
＝8×2＋6
422
＝4(3＋1).
规律方法 已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边.
跟踪演练1 在△ABC 中，a ＝5，B ＝45°，C ＝105°，求边c . 解 由三角形内角和定理知A ＋B ＋C ＝180°，
所以A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(45°＋105°)＝30°. 由正弦定理a sinA ＝c
sinC
，
得c ＝a ·sinC sinA ＝5·sin105°
sin30°
＝5·错误!
＝5·sin60°cos45°＋cos60°sin45°sin30°＝5
2(6＋2).
要点二 已知两边及一边的对角解三角形 例2 在△ABC 中，分别根据下列条件解三角形：
(1)a ＝1，b ＝3，A ＝30°；(2)a ＝3，b ＝1，B ＝120°. 解 (1)根据正弦定理，sin B ＝bsinA a ＝3sin30°1＝3
2.
∵b >a ，∴B >A ＝30°，∴B ＝60°或120°.
当B ＝60°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋60°)＝90°， ∴c ＝b sinB ＝3
sin60°
＝2；
当B ＝120°时，C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋120°)＝30°，
c ＝
bsinC sinB ＝3sin30°
sin120°
＝1. (2)根据正弦定理，sin A ＝asinB b ＝3sin120°1＝32>1.
因为sin A ≤1.所以A 不存在，即无解.
规律方法 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值.
(2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中“大边对大角，大角对大边”的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一.
(3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论.
跟踪演练2 (1)在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，C ＝π
3，求A ，B ，b .
(2)在△ABC 中，已知a ＝2，c ＝6，A ＝π
4
，求C ，B ，b .
解 (1)∵a sinA ＝c sinC ，∴sin A ＝asinC c ＝2
2.
∵c >a ，∴C >A .∴A ＝π
4
.
∴B ＝5π12，b ＝csinB
sinC ＝6·sin
5π
12sin
π
3＝3＋1.
(2)∵a sinA ＝c sinC ，∴sin C ＝csinA a ＝3
2.
又∵a <c ，∴C ＝π3或2π3
.
当C ＝π3时，B ＝5π12，b ＝asinB
sinA ＝3＋1.
当C ＝2π3时，B ＝π12，b ＝asinB sinA ＝3－1.
要点三 正弦定理与三角形面积公式的综合应用
例3 在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，求△ABC 的面积.
解
如图，由正弦定理，
得
7sin120°＝5
sinC
，
∴sin C ＝53
14，且C 为锐角(A ＝120°).
∴cos C ＝11
14
.
∴sin B ＝sin(180°－120°－C )＝sin(60°－C ) ＝
32cos C －12sin C ＝32×1114－12×5314＝3314
. ∴S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ＝12×5×7×3314＝1534
.
规律方法 在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么，求出需要的元素，就可以求
出三角形的面积.
跟踪演练3 △ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，求△ABC 的面积. 解 由正弦定理得1sin30°＝3sinC ，∴sin C ＝3
2.
∵0°<C<180°，∴C ＝60°或120°.
(1)当C ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝
3
2
； (2)当C ＝120°时，A ＝30°，S △ABC ＝12×3×1×sin30°＝3
4
.
1.已知△ABC 的面积为3且b ＝2，c ＝2，则角A 等于( ) A.30° B.30°或150° C.60° D.60°或120°
答案 D
解析 S ＝12bc sin A ＝12×2×2×sin A ＝3，∴sin A ＝3
2，∴A ＝60°或120°.
2.在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A.a sin A ＝b sin B B.a cos A ＝b cos B C.a sin B ＝b sin A D.a cos B ＝b cos A 答案 C
解析 由正弦定理a sinA ＝b
sinB ，
得a sin B ＝b sin A ，故选C.
3.在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 答案 B
解析 由sin A ＝sin C 知a ＝c ， ∴△ABC 为等腰三角形.
4.已知锐角三角形ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为( ) A.75°B.60°C.45°D.30°
答案 B
解析 由三角形面积公式，得S △ABC ＝12×BC ×CA ×sin C ＝1
2×4×3×sin C ＝3 3.所以sin C
＝
3
2
，则C ＝60°. 5.在△ABC 中，B ＝30°，C ＝120°，则a ∶b ∶c ＝________. 答案 1∶1∶ 3
解析 根据三角形内角和定理，A ＝180°－30°－120°＝30°， 由正弦定理得：a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶ 3.
1.正弦定理的表示形式：a sinA ＝b sinB ＝c
sinC ＝2R ，或a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C (R
为三角形外接圆半径). 2.正弦定理的应用范围：
(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角. (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角.
3.利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决.
一、基础达标
1.在△ABC 中，下列关系中一定成立的是( ) A.a <b sin A B.a ＝b sin A C.a >b sin A D.a ≥b sin A
答案 D
解析 由正弦定理得，a sinA ＝b
sinB ，
∴sin B ＝b
a
sin A .
又∵在△ABC 中，0<sin B ≤1， ∴0<b
a
sin A ≤1.
∴a ≥b sin A .
2.在△ABC 中，a ＝b sin A ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形
答案 B
解析 由题意有a sinA ＝b ＝b
sinB ，则sin B ＝1，
即角B 为直角，故△ABC 是直角三角形.
3.在△ABC 中，若sinA a ＝cosC
c ，则C 的值为( )
A.30°
B.45°
C.60°
D.90° 答案 B
解析 ∵sinA a ＝cosC
c ，
又由正弦定理得sinA a ＝sinC
c .
∴cos C ＝sin C ，即C ＝45°，故选B.
4.在△ABC 中，若∠A ＝105°，∠B ＝45°，b ＝22，则c 等于( ) A.1B.2C.2D. 3 答案 B
解析 ∵∠A ＝105°，∠B ＝45°，∴∠C ＝30°. 由正弦定理得c ＝bsinC sinB ＝22sin30°
sin45°
＝2.
5.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B 等于( ) A.－223 B.223 C.－63D.6
3
答案 D
解析 由正弦定理得15sin60°＝10sinB
，
∴sin B ＝10·sin60°
15
＝
10×32
15＝
33
. ∵a >b ，A ＝60°，∴B 为锐角.
∴cos B ＝1－sin2B ＝
1－⎝
⎛⎭
⎪⎫332＝63. 6.在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1
3，S △ABC ＝43，则b ＝________.
答案 2 3
解析 ∵cos C ＝13，∴sin C ＝223，∴1
2ab sin C ＝43，
∴b ＝2 3.
7.已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a 、b 和B . 解 根据正弦定理a sinA ＝c
sinC ，
得a ＝10×sin45°sin30°
＝10 2.
由三角形内角和定理，B ＝180°－(45°＋30°)＝105°. 又∵b sinB ＝c sinC
，
∴b ＝csinB sinC ＝10×sin105°sin30°＝20sin75°
＝20×
6＋2
4
＝5(6＋2). 二、能力提升
8.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( ) A.725 B.－725
C.±725
D.2425
答案 A
解析 由正弦定理及8b ＝5c ，得8sin B ＝5sin C ，又C ＝2B ， 所以8sin B ＝5sin2B ＝10sin B cos B ，∴cos B ＝4
5，
∴cos C ＝cos2B ＝2cos 2
B －1＝2×(45)2－1＝725
.
9.在△ABC 中，已知A ＝π
3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )
A.1
B.2
C.3－1
D. 3
答案 B
解析 由正弦定理a sinA ＝b sinB ，可得3sin
π3
＝1
sinB
，
∴sin B ＝1
2
，由a >b ，得A >B ，∴B ＝30°.故C ＝90°，由勾股定理得c ＝2.
10.锐角三角形的内角分别是A 、B 、C ，并且A >B .下面三个不等式成立的是________. ①sin A >sin B ；②cos A <cos B ； ③sin A ＋sin B >cos A ＋cos B . 答案 ①②③
解析 A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，故①成立. 函数y ＝cos x 在区间[0，π]上是减函数， ∵A >B ，∴cos A <cos B ，故②成立. 在锐角三角形中，∵A ＋B >π
2，
∴A >π2－B ，则有sin A >sin(π
2－B )，
即sin A >cos B ，同理sin B >cos A ，故③成立.
11.已知在△ABC 中，c ＝10，A ＝45°，C ＝30°，求a ，b 和B .(保留两位有效数字) 解 ∵A ＝45°，C ＝30°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°.
由正弦定理得a ＝csinA sinC ＝10sin45°sin30°
＝102≈14.
∴b ＝csinB sinC ＝10×sin105°sin30°＝20sin75°＝20×6＋2
4＝56＋52≈19.
12.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，B ＝π3，cos A ＝4
5，b ＝ 3.
(1)求sin C 的值； (2)求△ABC 的面积.
解 (1)因为角A ，B ，C 为△ABC 的内角，且B ＝π3，cos A ＝45，所以C ＝2π3－A ，sin A ＝3
5.
于是sin C ＝sin(2π3－A )＝32cos A ＋12sin A ＝3＋43
10
.
(2)由(1)知sin A ＝35，sin C ＝3＋4310.又因为B ＝π
3
，
b ＝3，
所以在△ABC 中，由正弦定理得a ＝bsinA sinB ＝6
5
.
于是△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×65×3×3＋4310＝36＋93
50.
三、探究与创新
13.在△ABC 中，已知c ＝10，又知cosA cosB ＝b a ＝4
3，求a 、b 及△ABC 的内切圆半径.
解 由正弦定理知sinB sinA ＝b a ，∴cosA cosB ＝sinB
sinA .
即sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B . 又∵a ≠b ，∴2A ＝π－2B ，即A ＋B ＝π
2.
∴△ABC 是直角三角形，且C ＝90°， 由⎩⎪⎨⎪⎧
a2＋b2＝102，b a ＝4
3
得a ＝6，b ＝8.
故内切圆的半径为r ＝a ＋b －c 2＝6＋8－102＝2.。