沪科版九年级数学上册第23章测试题(含答案)

沪科版九年级数学上册第23章测试题（含答案）
(考试时间：120分钟满分：150分)
姓名：______班级：______分数：______一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是正确的．1．计算：2sin 30°＝(A) A．1 B. 2 C．2 D．22
2．在Rt△ABC，∠C＝90°，sin B＝3
5，则sin A的值是(B)
A.3
5 B.
4
5 C.
5
3 D.
5
4
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB 的长为(A)
A.
m
cos αB．m·cos
αC．m·sin αD．m·tan α
4．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1 ∶3，坝外斜坡的坡度i＝1 ∶1，则两个坡角的和为( C) A．90°B．60°C．75°D．105°5．如图，要测量小河两岸相对的A，B两点之间的距离，可以在小河边取AB的垂线BC上的一点D，若测得BD＝60米，∠ADB＝40°，则AB等于(A) A．60tan 40°米B．60tan 50°米
C．60sin 40°米D．60sin 50°米
第5题图第6题图第8题图
6．如图，已知在平面直角坐标系x Oy内有一点A(2，3)，那么OA与x轴正半轴的夹角α的余弦值是(D)
A.3
2 B.
2
3 C.
313
13 D.
213
13
7．在△ABC中，cos B＝sin(∠B－30°)＝sin(90°－∠A)，那么△ABC是(B) A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
8．如图，港口A在观测站O的正东方向，OA＝4 km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离(即OB的长)为(C) A．4 3 km B．(3＋1)km
C．2(3＋1)km D．(3＋2)km
9．在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，则cos A的值等于(C)
A.3
5 B.
7
4 C.
4
5或
7
4 D.
4
5或
27
7
10．★如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为AC上一点，连接DE，并过点D作FD⊥ED，垂足为D，
交BC于点F.若AC＝BC＝14，AE∶EC＝4 ∶3，则tan∠EFC的值为(D)
A.2
3 B.
3
2 C.
4
3 D.
3
4
第10题图第13题图第14题图
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．已知：tan α＝
3
3，则锐角α＝30° .
12．比较大小：cos 35°＜sin 65°.
13．如图，河流两岸a，b互相平行，点A，B是河岸a上的两座建筑物，点C，D是河岸b上的两点，A，B的距离约为200米．某人在河岸b上的点P处测得∠APC＝75°，∠BPD＝30°，则河流的宽度约为100 米．
14．★如图，点D在钝角△ABC的边BC上，连接AD，∠B＝45°，∠CAD＝∠CDA，CA ∶CB＝5 ∶7，则∠BAD的
余弦值为25 5.
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15．计算：
(1)cos245°＋sin 60°·tan 30°－tan 30°；
解：原式＝1
2＋
1
2－
3
3
＝1－
3 3.
(2)sin 60°＋tan 45°
cos 30°－2sin 30°
.
解：原式＝
3
2＋1 3
2－1
＝－7－4 3.
16.在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)已知∠A＝60°，b＝103，求a，c；
(2)已知c＝23，b＝3，求a，∠A.解：(1)a＝b tan 60°＝30；
c＝
b
cos 60°＝20 3.
(2)a＝c2－b2＝ 3.
∵sin A＝a
c＝
1
2，
∴∠A＝30°.
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，AB＝32，AD⊥BC于D，求CD.
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ADB中，∵∠B＝45°，
∴AD＝BD＝AB sin B＝3.
在Rt△ADC中，∵∠C＝60°，
∴CD＝
AD
tan C＝ 3.
18．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度．(结果精确到0.01，参考数据：sin 9°≈0.156，cos 9°≈0.988，tan 9°≈0.158)
解：在Rt△ABD中，
∠ABD＝30°，AB＝10 m，
∴AD＝AB sin∠ABD
＝10×sin 30°
＝5(m)，
在Rt△ACD中，
∠ACD＝9°，sin 9°＝AD AC，
∴AC＝
5
sin 9°＝
5
0.156≈32.05(m)，
答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．如图，某高楼顶部有一信号发射塔，在矩形建筑物ABCD 的A，C两点测得该塔顶端F的仰角分别为α和β，矩形建筑物宽度AD＝20 m，高度DC＝33 m.
(1)试用α和β的三角比表示线段CG的长；
(2)如果α＝48°，β＝65°，请求出信号发射塔顶端到地面的高度FG的值．(结果精确到1 m，参考数据：sin 48°＝0.7，cos 48°＝0.7，tan 48°＝1.1，sin 65°＝0.9，cos 65°＝0.4，tan 65°＝2.1)
解：(1)过D作DE⊥FG于E，设CG＝x m，
由图可知EF＝(x＋20)·tan α，
FG＝x·tan β，
则(x＋20)tan α＋33＝xtan β，
解得x＝
33＋20tan αtan β－tan α
.
∴CG＝
33＋20tan α
tan β－tan α
m.
(2)x＝
33＋20tan α
tan β－tan α＝
33＋20×1.1
2.1－1.1＝55，
则FG＝x·tan β＝55×2.1＝115.5≈116.
答：该信号发射塔顶端到地面的高度FG约是116 m. 20．如图，一艘轮船自西向东航行，在A处测得东偏北21.3°方向有一座小岛C，继续向东航行60海里到达B处，测得小岛C此时在轮船的东偏北63.5°方向上，之后，轮船继续向东航行多少海里，距离小岛C最近？
错误!
解：过C作AB的垂线，交直线AB于点D，
得到Rt△ACD与Rt△BCD.
设CD＝x海里，在Rt△BCD中，
tan∠CBD＝CD BD，
∴BD＝
x
tan 63.5°，
在Rt△ACD中，tan A＝CD AD，
∴AD＝
x
tan 21.3°，
∴AD－BD＝AB，即
x
tan 21.3°－
x
tan 63.5°＝60，解得x＝30.
BD＝
30
tan 63.5°＝15.
答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近．
六、(本题满分12分)
21．某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为图①的滑板车或图②的自行车，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30 cm，CE＝40 cm，车杆AB与BC所成的∠ABC ＝53°，图①中B，E，C三点共线，图②中的座板DE与地
面保持平行．问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量．(参考
数据：sin 53°≈4
5，cos 53°≈
3
5，tan 53°≈
4
5)
解：如图①，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD＝DE＝30 cm，
∴BF＝BD cos∠ABC＝30×3
5＝18(cm)，∴BE＝2BF＝36 cm，
则BC＝BE＋CE＝76 cm，
如图②，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点
N，
由题意知四边形DENM是矩形，∴MN＝DE＝30 cm，
在Rt△DBM中，BM＝BD cos∠ABC＝30×3
5＝18(cm)，
EN＝DM＝BD sin∠ABC＝30×4
5＝24(cm)，
在Rt△CEN中，∵CE＝40 cm，∴由勾股定理可得CN＝32 cm，
则BC＝18＋30＋32＝80 cm，80－76＝4 cm.
答：BC的长度发生了改变，增加了4 cm.
七、(本题满分12分)
22．如图，在△ABC中，∠A＝90°，sin B＝3
5，点D在边
AB上，若AD＝AC，求tan∠BCD的值．解：作DH⊥BC于H.∵∠A＝90°，
sin B＝AC
BC＝
3
5，设AC＝3k，BC＝5k，
则AB＝4k.∵AC＝AD＝3k，∴BD＝k.∵∠B＝∠B，∠DHB＝∠A，
∴△BHD∽△BAC，BD
BC＝
DH
AC＝
BH
AB，
∴DH＝3
5k，BH＝
4
5k，
∵CH＝BC－BH＝21
5k，∴tan∠BCD＝
DH
CH＝
1
7.
八、(本题满分14分)
23．【阅读新知】
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这
两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．
即：如图①，在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，则有：
a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C.
利用这个结论可求解下列问题：
例：在△ABC中，已知a＝23，b＝22，c＝6＋2，求∠A.
解：∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，
cos A＝b2＋c2－a2
2bc＝
（22）2＋（6＋2）2－（23）2
2×22×（6＋2）
＝
1
2.
∴∠A＝60°.
【应用新知】
(1)在△ABC中，已知b＝c cos A，a＝c sin B，试判断△ABC 的形状；
(2)如图②，某客轮在A处看港口D在客轮的北偏东50°，A 处看灯塔B在客轮的北偏西30°，距离为2 3 海里，客轮由A处向正北方向航行到C处时，再看港口D在客轮的南偏东80°，距离为6海里．求此时C处到灯塔B的距离．
解：(1)∵b＝c cos A，a＝c sin B，
∴cos A＝b
c，sin B＝
a
c，
∴a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－2bc×b c
＝c2－b2，
∴a2＋b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴a＝c sin B＝b，
∴△ABC是等腰直角三角形．
(2)∵∠ADC＝180°－80°－50°＝50°，∴CA＝CD＝6，
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝(23)2＋62－2×23×6×
3 2
＝12，
∴BC＝2 3.
答：C处到灯塔B的距离为2 3 海里．。