福建省泉州七中09-10学年高二数学上学期期末考试(理)新人教版

福建省泉州七中09-10学年高二上学期期末考试
数学（理科）试卷
（ 满分150分 考试时间120分钟 ）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．命题“对任意的R x ∈，012
3
≤+-x x ”的否定是 （ ） A ．不存在R x ∈，012
3
≤+-x x B ．存在R x ∈，012
3
≤+-x x C ．存在R x ∈，012
3
>+-x x D ．对任意的R x ∈，012
3
>+-x x
2．方程
12
sin 3sin 22
2=-++θθy x 所表示的曲线是 （ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线
3．在正方体1111D C B A ABCD -中，直线1BC 与平面11B BDD 所成的角的大小为（ ） A ．O
90 B ．O
60
C ．O 45
D ．O
30
4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10:S 5＝1:2，则S 15:S 5＝ ( ) A ．3:4 B ．2:3 C ．1:2 C ．1:3 5. 对于R 上可导的任意函数()x f ，若满足()()01/
≥-x f
x ，则必有 （ ）
A ．()()()1220f f f <+
B ．()()()1220f f f >+
C ．()()()1220f f f ≥+
D ．()()()1220f f f ≤+ 6．已知AB =3 , A,B 分别在x 轴和y 轴上运动，O 为原点，12
33
OP OA OB =
+,则动点P 的轨迹方程是 （ ）
A ．2214x y +=
B ．2214y x +=
C ．2219x y +=
D ．22
19
y x += 7．已知函数f (x )=ln ln a x
x
+在[1,+∞]上为减函数，则a 的取值范围是 ( ) A. 1
0a e
<<
B. 0a e <≤
C. a e ≤
D. a e ≥
8．已知曲线12
2=+b
y a x 和直线ax+by+1=0(a ，b 为非零实数)，在同一坐标系中，它们的图形可能是 （ ）
9．下列结论中，错用基本不等式做依据的是
（ ）
A ．a ，b 均为负数，则222≥+a b b a
B ．21
222≥++x x
C ．4sin 4sin ≥+
x x D ．0)3
1)(3(,≤--∈+a
a R a 10．已知抛物线2
2(0)y px p =>与双曲线22
221(,0)x y a b a b
-=>有相的焦点F ，点A 是两曲
线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是 （ ） A ．(0,
)4π
B ． (,)64ππ
C ．(,)43ππ
D ．(,)32
ππ
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11．设010211()cos ,()'(),()'(),,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈则2008()f x =
12．已知k j i b a +-=+82,k j i b a 3168-+-=-(k j i ,,两两互相垂直的单位向量)，
那么b a ⋅= .
13．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率是3，则双曲线22221x y a b -=的离心率是
__________
14．在等差数列{}n a 中，若10031004100610074a a a a +++=，则该数列的前2009项的和是 .
15．下列五个说法,其中正确的说法是__ __（填序号） 2
正三角形的一个顶点位于坐标原点另外两个顶点在抛物线22(0)y px p =>上，则正三角形的
边长为43P ；④椭圆离心率越大，椭圆越接近于圆；⑤双曲线22
221x y a b -=与双曲线
22
225y x b a
-=有相同的渐近线方程. 16．（本题满分13分）
已知0>a ,设命题:p 函数x
a y =为减函数；命题:q 当]2,2
1[∈x 时,函数
a
x x y 1
1>+
=恒成立，如果q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,求a 的取值范围． 17．（本题满分13分）
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：2
1242005
p x =-
,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 18．（本题满分13分）
如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的，其中
14,2,3,1AB BC CC BE ====.
（1）求BF 的长；
（2）求二面角E-FC 1-C 的余弦值.
19．(本题满分13分)
已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的n N +∈，有33
22
n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设331
1
log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20．（本题满分14分）
如图，
为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已
知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变.
（1）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；
（2）过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DN
DM
=λ，求λ的取值范围.
21．(本小题满分14分)设函数()()2
1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <
（1）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （2）证明：()2122
4
In f x ->
泉州七中2009-2010学年度高二年上学期末考试卷答案
数学（理科）
一、选择题（每题5分，共50分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
C
C
D
A
C
B
D
C
C
D
二、填空题（每题4分，共20分）
11、______cosx___________； 12、________--65___________；13、5
； 14、________2009__________；15、_____②③⑤_________；[]
三、解答题（本大题共6小题，16、17、18、19各13分,20、21各14分，共80分） 16．（本题满分13分） 已知0>a ,设命题:p 函数x a y =为减函数；命题:q 当]2,21
[∈x 时,函数a
x x y 11>+=恒成立，如果q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,求a 的取值范围． 16.０＜ａ1
2
≤
或1a ≥ 17、（本题满分13分）
某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：2
1242005
p x =-
,且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）.问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润=收入─成本） 17、解：每月生产x 吨时的利润为
)20050000()5
1
24200()(2x x x x f +--=
).
(200,2000240005
3
)()
0(50000240005
1
2123舍去解得由-===+-='≥-+-=x x x x f x x x
0)(200),0[)(='=+∞x f x x f 使内只有一个点在因，故它就是最大值点，且最大值为：
)(31500005000020024000)200(5
1
)200(3元=-⨯+-=f
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 18、（本题满分13分）
如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面1AEC F 所截面而得到的， 其中14,2,3,1AB BC CC BE ====.
（1）求BF 的长；
（2）求二面角E-FC 1-C 的余弦值.
解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(2,4,0)B
1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)A C E C 设(0,0,)F z .
∵1AEC F 为平行四边形，
.
62,62||).
2,4,2().2,0,0(.2),2,0,2(),0,2(,,
11的长为即于是得由为平行四边形由BF BF EF F z z EC AF F AEC =--=∴∴=∴-=-=∴∴
（2）设1n 为平面1AEC F 的法向量且1(,,)n x y z =
110,040
20200,n AE x y z x y z n AF ⎧⋅=⨯+⨯+=⎧⎪⎨⎨-⨯+⨯+=⋅=⎩
⎪⎩由得
1,
40,1(2,0,0)1220,.4
x y z z AD x z y =⎧+=⎧⎪=∴=-⎨⎨-+==-⎩⎪⎩1即令平面FCC 的法向量为
设二面角E-FC 1-C 为α，则112433
cos .33
||||
1
21116
AD n AD n α⋅=
=
=
⋅⨯+
+ 19．（本题满分13分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，且对任意的n N +∈，有33
22
n n S a =-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设331
1
log log n n n b a a +=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .
19．解：（1）由已知得3322n n S a =
-，∴当2n ≥时，1133
22
n n S a --=-； ∴113322n n n n S S a a ---=-，即133
22
n n n a a a -=-，∴当2n ≥时，13n n a a -=；
∴数列{}n a 为等比数列，且公比3q =； （…………4分） 又当1n =时，113322S a =
-，即1133
22
a a =-，∴13a =； ∴3n
n a =. （…………8分）
（2）∵33log log 3n n a n ==，∴3311111
log log (1)1
n n n b a a n n n n +===-
⋅++；（…10分） ∴{}n b 的前n 项和
11111
111(1)()()()122334
111
n n
T n n n n =-+-+-+
+-=-=+++.（…………13分） 20．（本题满分14分）
如图，
为半圆，AB 为半圆直径，O 为半圆圆心，且OD ⊥AB ，Q 为线段OD 的中点，已
知|AB |=4，曲线C 过Q 点，动点P 在曲线C 上运动且保持|PA |+|PB |的值不变.
(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程；
(2)过D 点的直线l 与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设
DN
DM
=λ，求λ的取值范围.
20．解：(1)以AB 、OD 所在直线分别为x 轴、y 轴，O 为原点，建立平面直角坐标系，
∵|PA |+|PB |=|QA |+|QB |=2521222=+＞|AB |=4. ∴曲线C 为以原点为中心，A 、B 为焦点的椭圆.
设其长半轴为a ,短半轴为b ,半焦距为c ,则2a =25,∴a =5,c =2,b =1.
∴曲线C 的方程为5
2x +y 2
=1.
(2)设直线l 的方程为y =kx +2,
代入5
2x +y 2=1,得(1+5k 2)x 2
+20kx +15=0.
Δ=(20k )2－4×15(1+5k 2)＞0,得k 2＞
5
3
.由图可知21x x DN DM ==λ
由韦达定理得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=⋅+-=+22122151155120k x x k k x x
将x 1=λx 2代入得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=λ+=λ+2222
22222
5115
)51(400)1(k x k k x 两式相除得)
15(380)51(15400)1(2
222k k k +=+=λλ+ 316
)51(3804,320515,3510,532222<+<<+<∴<<∴>k k k k 即
33
1,0,316)1(42<λ<∴>=λ<λλ+<∴解得DN DM
① ,21DN
DM x x ==
λ M 在D 、N 中间，∴λ＜1
②
又∵当k 不存在时，显然λ=3
1
=DN DM (此时直线l 与y 轴重合). 21．(本小题满分14分)设函数()()2
1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x <
（1）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （2）证明：()2122
4
In f x ->
解: （1）()2222(1)11a x x a f x x x x x
++'=+=>-++ 令2
()22g x x x a =++，其对称轴为1
2
x =-。

由题意知12x x 、是方程()0g x =的两个均大于1-的不相等的实根，其充要条件为480(1)0
a g a ∆=->⎧⎨
-=>⎩，得1
02a <<
⑴当1(1,)x x ∈-时，()0,()f x f x '>∴在1(1,)x -内为增函数； ⑵当12(,)x x x ∈时，()0,()f x f x '<∴在12(,)x x 内为减函数； ⑶当2,()x x ∈+∞时，()0,()f x f x '>∴在2,()x +∞内为增函数； （2）由（I ）21
(0)0,02
g a x =>∴-
<<，222(2)a x x =-+2 ()()()22222222221(2)1f x x aln x x x x ln x ∴=++=-++2
设()()2
2
1(22)1()2
h x x x x ln x x =-++>-，
则()()()22(21)122(21)1h x x x ln x x x ln x '=-++-=-++
⑴当1(,0)2x ∈-
时，()0,()h x h x '>∴在1
[,0)2
-单调递增； ⑵当(0,)x ∈+∞时，()0h x '<，()h x 在(0,)+∞单调递减。

()1112ln 2(,0),()224x h x h -∴∈->-=当时 故()22122
()4
In f x h x -=>．。