特殊平行四边形截长补短法的运用

截长补短法
截长补短法是几何证明题中十分重要的方法。

往常来证明几条线段的数目关系。

截长补短法有多种方法。

截长法：
（1）过某一点作长边的垂线
（2）在长边上截取一条与某一短边同样的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。

补短法
（1）延伸短边。

（2）经过旋转等方式使两短边拼合到一同。

例1：在正方形 ABCD中， DE=DF， DG CE，交 CA于 G， GH AF，交 AD于 P，交 CE延伸线于 H，请问三条粗线 DG， GH，CH的数目关系。

C F
D
E
H
P
G
B A 方法一（好想不好证）
方法二（好证不好想）
（1）正方形ABCD中，点 E 在 CD上，点 F 在 BC上，EAF=45o。

求证： EF=DE+BF。

A B
F
D C
E
（1）变形 a
正方形 ABCD中，点 E 在 CD延伸线上，
点
F 在 BC延伸线上，EAF=45o。

请问此刻 EF、 DE、BF 又有什么数目关系？
A B
E D C
F
（1）变形 b
正方形 ABCD中，点 E 在 DC延伸线上，
点
F 在 CB延伸线上，EAF=45o。

请问此刻 EF、 DE、BF 又有什么数目关系？
F
A B
D C E
（1）变形 c
正三角形 ABC中， E在 AB上， F 在AC
上
EDF=45o。

DB=DC，BDC=120o。

请问此刻
EF、 BE、 CF又有什么数目关系？
A
F
E
B
j C
D
（1）变形 d
正方形ABCD中，
点E 在CD上，
点
F 在 BC
上，
EAD=15o，FAB=30o ,AD= 3
求AEF的面积.
A B
F
D C
E
(1)变形 e
如图，在正方形ABCD中， M是 AB的中点， DM⊥MN， BN均分∠ CBE。

求证： DM=MN.
(1) 变形 f
如图，在正方形ABCD中， E是 BC的中点，
AE⊥EF，
一种正确的解题思路：取AB的中点 M，连结 ME，则CF 均分∠ DCG,经过思虑，小明展现了AM=EC，易证△≌△AME ECF ，所
以 AE EF ．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图 2，假如把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C 外）的随意一点”，其余条件不变，那么结论“AE=EF”仍旧建立，你以为小颖的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正确，请说明原因；
（2）小华提出：如图 3，点E是BC的延伸线上（除C点外）的随意一点，其余条件不变，结
论“ AE=EF”仍旧建立．你以为小华的看法正确吗？假如正确，写出证明过程；假如不正
确，请说明原因．
A D A D
F A D
F F
B ECG B ECG B
C E G
图 1 图 2 图 3
（2）正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于 O，点 E 在 BD上， AE均分DAC。

求证： AC/2=AD-EO
A B
O
E
D C
D M P C
(2)P 为正方形 ABCD边 DC上一点，且 AP＝ BC+CP， M是 CD中
点，求证：∠ BAP＝2∠DAM。

A B
（2）增强版
正方形 ABCD中， M在 CD上， N 在 DA延伸线上， CM=AN，点 E 在 BD上， NE均分D NM。

请问 MN、AD、 EF 有什么数目关系？
N
A B
F
E
D M C
（3）
已知：如图8，梯形 ABCD中， AD//BC， AD+BC=DC， M为 AB 的中点。

求证： DM⊥CM。

（3）变形 a
如图 2-1 ，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB,求证：CD=AD+BC.
D
A
E
C
B
(3)变形 b
如图：已知 AC∥BD， EA、 EB分别均分∠ CAB、∠ DAB， CD过点
E，求证： AB＝AC+BD。

D
E
C
A B
(3)变形 c
如图，已知在平行四边形 ABCD 中 ,AE 均分∠BAD, 交 DC 于点 E,DF ⊥BC 于点 F, 交 AE 于点 G,
且ＤＦ＝ＡＤ，
（１）试说明ＤＥ＝ＢＣ
（２）试问ＡＢ与ＤＧ＋ＦＣ之间有何数目关系？
(4)
在四边形 ABCD中， AB＝ AD，BAD 600 , BCD 1200。

求证： AC＝BC+CD。

A
B D
C
11. 如图，梯形 ABCD 中， AD∥BC，∠DCB ＝ 45°， CD ＝2， BD⊥CD ．过点 C 作 CE⊥AB
于 E，交对角线 BD 于 F．点 G 为 BC 中点，连结 EG、 AF．
(1)求 EG 的长；
(2)求证： CF ＝ AB ＋ AF ．。