精品2019高考数学异构异模复习第八章课时撬分练8.2空间点线面的位置关系课件理0

2018高考数学异构异模复习考案第八章立体几何课时撬分练8.2 空间点、线、面
的位置关系课件理
时间：45分钟
基础组
1.[2016·衡水中学期末]设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中，其逆命题不成立的是( )
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β
B．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β
C．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥b
D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c
答案 B
解析A的逆命题为：当c⊥α时，若α∥β，则c⊥β，由线面垂直的性质知c⊥β；B的逆命题为：当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然错误；C的逆命题为：当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c，由三垂线的逆定理知b⊥c；D的逆命题为：当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α，由线面平行的判定定理可得c∥α.故选B.
2．[2016·衡水二中热身]对于空间的两条直线m，n和一个平面α，下列命题中的真命题是( )
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若m∥α，n⊂α，则m∥n
C．若m∥α，n⊥α，则m∥n D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
答案 D
解析对A，直线m，n可能平行、异面或相交，故A错误；对B，直线m与n可能平行，也可能异面，故B错误；对C，m与n垂直而非平行，故C错误；对D，垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．3．[2016·武邑中学期末]已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )
A．相交或平行 B．相交或异面
C．平行或异面 D．相交、平行或异面
答案 D
解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，故选D.
4．[2016·衡水二中预测]已知a，b，c为三条不同的直线，且a⊂平面M，b⊂平面N，M∩N＝c.①若a与b 是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；③若a∥b，则必有a∥c；
④若a⊥b，a⊥c，则必有M⊥N.其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 C
解析命题①③正确，命题②④错误．其中命题②中a和b有可能垂直；命题④中当b∥c时，平面M，N有可能不垂直，故选C.
5. [2016·枣强中学月考]已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE 所成角的余弦值为( )
A.1
5
B.
310
10
答案 B
解析 如图，连接A 1B .由题意知A 1D 1綊BC ，所以四边形A 1D 1CB 为平行四边形，故D 1C ∥A 1B .所以∠A 1BE 为异面直线D 1C 与BE 所成的角．不妨设AA 1＝2AB ＝2，则A 1E ＝1，BE ＝2，A 1B ＝5，在△A 1BE 中，
cos ∠A 1BE ＝A 1B 2＋EB 2－A 1E 2
2A 1B ·EB
＝
5＋2－1
2×5×2＝31010，故选B.
6. [2016·衡水二中猜题]设a ，b ，c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c ；
③若a 与b 相交，b 与c 相交， 则a 与c 相交； ④若a ⊂平面α，b ⊂平面β，则a ，b 一定是异面直线． 上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号)． 答案 ①
解析 由公理4知①正确；当a ⊥b ，b ⊥c 时，a 与c 可以相交、平行或异面，故②错；当a 与b 相交，b 与c 相交时，a 与c 可以相交、平行，也可以异面，故③错；a ⊂α，b ⊂β，并不能说明a 与b “不同在任何一个平面内”，故④错．
7．[2016·衡水二中一轮检测]如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AA 1＝2，AC ＝BC ＝1，则异面直线A 1B 与AC 所成角的余弦值是________．
答案
6
6
解析 由于AC ∥A 1C 1，所以∠BA 1C 1(或其补角)就是所求异面直线所成的角．在△BA 1C 1中，A 1B ＝6，A 1C 1＝1，
8．[2016·冀州中学周测]如图所示，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD ＝2AB ＝2，EF ⊥AB ，则EF 与CD 所成的角等于________．
答案 30°
解析 如图所示，设H 为DA 的中点，连接HF ，HE ，则易得FH ⊥EF .在Rt △EFH 中，HE ＝1，HF ＝1
2，
∴∠HEF ＝30°，即EF 与CD 所成的角为30°.
9．[2016·冀州中学热身]如图所示，正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF 与BE 所成角的余弦值为________．
答案 12
解析 过F 点作HF ∥BE ，过A 点作EF 的垂线AG ，垂足为G .连接HG ，HE ，AH .如图，设正方形ABCD 的边长为2， ∵平面AEF ⊥平面BCDFE ， 且AG ⊥EF ，∴AG ⊥平面BCDFE .
∵BE ＝BH ＝AE ＝AF ＝1，∴EH ＝EF ＝ 2.∵G 为EF 的中点，∴EG ＝22，AG ＝2
2
.又∵HF ＝2，∴∠HEG ＝90°， ∴在Rt △EHG 中，HG ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫222
＋2
2
＝
102
. ∴在Rt △AGH 中，
AH ＝
⎝ ⎛⎭⎪⎫1022＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫222＝ 3. ∵HF ∥BE ，∴AF 与BE 所成的角即为∠AFH .在△AHF 中，AF ＝1，HF ＝2，AH ＝3，∴∠HAF ＝90°，
∴cos ∠AFH ＝AF HF ＝1
2
.
10．[2016·枣强中学周测]如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．
答案 90°
解析 连接D 1M ，则D 1M 为A 1M 在平面DCC 1D 1上的射影，在正方形DCC 1D 1中，∵M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，∴
D 1M ⊥DN ，由三垂线定理得A 1M ⊥DN .即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°.
11．[2016·冀州中学预测]在三棱锥S －ACB 中，∠SAB ＝∠SAC ＝∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，则SC 与AB 所成角的余弦值为____________．
答案
1717
解析 解法一：如图，取BC 的中点E ，分别在平面ABC 内作DE ∥AB ，在平面SBC 内作EF ∥SC ，则异面直线SC 与AB 所成的角为∠FED ，过F 作FG ⊥AB ，连接DG ，则△DFG 为直角三角形．
由题知AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，可得DE ＝
172，EF ＝2，DF ＝5
2
，在△DEF 中，由余弦定理可得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝17
17
.
解法二：如图，以A 为原点，以AB ，AS 所在直线分别为y ，z 轴，以垂直于y 轴、z 轴的直线为x 轴，建立空间直角坐标系，则由AC ＝2，BC ＝13，SB ＝29，得B (0，17，0)，S (0,0，23)，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2
1317，417，0， SC →
＝⎝
⎛
⎭⎪⎫2
1317，417，－23，AB →＝(0，17，0)，设SC 与AB 所成的角为θ，∵SC →·AB →＝4，|SC →||AB →
|＝417， ∴cos θ＝|SC →·AB →
||SC →||AB →|
＝17
17
.
12．[2016·衡水二中期中]如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为2的菱形，∠
DAB ＝60°，对角线
AC 与BD 交于点O ，PO ⊥平面ABCD ，PB 与平面ABCD 所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积；
(2)若E 是PB 的中点，求异面直线DE 与PA 所成角的余弦值．
解 (1)在四棱锥P －ABCD 中，∵PO ⊥平面ABCD ，∴∠PBO 是PB 与平面ABCD 所成的角，即∠PBO ＝60°. 在Rt △AOB 中，∵AB ＝2，∴BO ＝AB ·sin30°＝1. 在Rt △POB 中，∵PO ⊥OB ，∴PO ＝BO ·tan60°＝3， ∵底面菱形的面积S ＝2×12×2×2×3
2＝23，
∴四棱锥P －ABCD 的体积V P －ABCD ＝1
3
×23
×3＝2.
(2)如图所示，取AB 的中点F ，连接EF ，DF .∵E 为PB 中点， ∴EF ∥PA ，
∴∠DEF 为异面直线DE 与PA 所成角(或其补角)． 在Rt △AOB 中，
AO ＝AB ·cos30°＝3＝OP ，
∴在Rt △POA 中，PA ＝6，∴EF ＝
62
. 在正三角形ABD 和正三角形PDB 中，DF ＝DE ＝3，由余弦定理得cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 2
2DE ·EF
＝
32
＋⎝
⎛⎭
⎪⎫622
－3
2
2×3×
62
＝64
32＝2
4
. ∴异面直线DE 与PA 所成角的余弦值为
24
. 能力组
13.[2016·枣强中学模拟]已知m 、n 为异面直线，m ⊂平面α，n ⊂平面β，α∩β＝l ，则l ( ) A ．与m 、n 都相交 B ．与m 、n 至少一条相交 C ．与m 、n 都不相交 D ．至多与m 、n 中的一条相交 答案 B
解析 若l 与m 、n 都不相交，则l ∥m ，l ∥n .
∴m ∥n 与已知矛盾，故C 、D 不正确．
A 中与m 、n 都相交，也不一定，如l ∥m ，n 与l 相交于一点．
14．[2016·衡水二中期末]直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )
A ．30° B．45° C ．60° D．90° 答案 C
解析 分别取AB ，AA 1，A 1C 1的中点D ，E ，F ，则BA 1∥DE ，AC 1∥EF . 所以异面直线BA 1与AC 1所成的角为∠DEF (或其补角)， 设AB ＝AC ＝AA 1＝2，则DE ＝EF ＝2，DF ＝6， 由余弦定理得，
cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝－1
2
，
则∠DEF ＝120°，从而异面直线BA 1与AC 1所成的角为60°.
15．[2016·武邑中学猜题]如图是三棱锥D －ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO 和AB 所成角的余弦值等于( )
A.3
3
B.12
C. 3
D.22
答案 A
解析由题意得如图的直观图，从A出发的三条线段，AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在Rt△DAE中，DE＝2，由于O是中点，在Rt△ABC中可以求得AO＝2，
在直角三角形DAO中可以求得DO＝ 3.在△DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝1＋3－2
2×1×3＝
3
3
，故所求余弦值
为
3
3
.
16．[2016·冀州中学仿真]如图所示，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，E是
PC的中点．
(1)①求证：AE与PB是异面直线；
②求异面直线AE和PB所成角的余弦值；
(2)求三棱锥A－EBC的体积．
解(1)①证明：假设AE与PB共面，设平面为α，∵A∈α，B∈α，E∈α，
∴平面α即为平面ABE，
∴P∈平面ABE，
这与P∉平面ABE矛盾，
所以AE 与PB 是异面直线．
②取BC 的中点F ，连接EF 、AF ，则EF ∥PB ，所以∠AEF 或其补角就是异面直线AE 和PB 所成角． ∵∠BAC ＝60°，PA ＝AB ＝AC ＝2，PA ⊥平面ABC ， ∴AF ＝3，AE ＝2，EF ＝2， cos ∠AEF ＝2＋2－32×2×2＝1
4
，
所以异面直线AE 和PB 所成角的余弦值为1
4
.
(2)因为E 是PC 中点，所以E 到平面ABC 的距离为1
2
PA ＝1，
V A －EBC ＝V E －ABC ＝13×⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12×2×2×
32×1＝33.。