【数学】九年级上册全册期末复习试卷试卷(word版含答案)

【数学】九年级上册全册期末复习试卷试卷（word 版含答案）
一、选择题
1．如图，等边三角形ABC 的边长为5，D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，将△ADE 沿DE 折叠，点A 恰好落在BC 边上的点F 处，若BF ＝2，则BD 的长是（ ）
A ．2
B ．3
C ．
218
D ．
247
2．若点()10,A y ，()21,B y 在抛物线()2
13y x =-++上，则下列结论正确的是（ ） A ．213y y << B ．123y y <<
C ．213y y <<
D ．213y y <<
3．若将半径为24cm 的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为
（ ） A ．3cm
B ．6cm
C ．12cm
D ．24cm
4．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边BA 、CA 的延长线上，AB
AD
=2，那么下列条件中能判断DE ∥BC 的是（ ）
A ．
1
2
AE EC = B ．
2EC
AC
= C ．
1
2
DE BC = D ．
2AC
AE
= 5．如图，点A 、B 、C 都在⊙O 上，若∠ABC ＝60°，则∠AOC 的度数是（ ）
A ．100°
B ．110°
C ．120°
D ．130°
6．
O 的半径为5，圆心O 到直线l 的距离为3，则直线l 与O 的位置关系是( )
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．无法确定
7．学校“校园之声”广播站要选拔一名英语主持人，小莹参加选拔的各项成绩如下： 姓名 读 听 写 小莹
92
80
90
若把读、听、写的成绩按5：3：2的比例计入个人的总分，则小莹的个人总分为（ ） A ．86
B ．87
C ．88
D ．89
8．某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s 2＝41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（ ） A ．平均分不变，方差变大 B ．平均分不变，方差变小 C ．平均分和方差都不变
D ．平均分和方差都改变
9．如图，分别以等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，若AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）
A ．3π+
B ．3π-
C ．23π-
D ．223π-
10．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和
D 、
E 、
F ，且 1.5AB =，2BC =， 1.8DE =，则EF =（ ）
A ．4.4
B ．4
C ．3.4
D ．2.4
11．某同学在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0时，只抄对了a ＝1，b ＝﹣8，解出其中一个根是x ＝﹣1．他核对时发现所抄的c 是原方程的c 的相反数，则原方程的根的情况是（ ）
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．有一个根是x ＝1
D ．不存在实数根
12．在平面直角坐标系中，将二次函数y =32x 的图象向左平移2个单位，所得图象的解析
式为( )
A ．y =32x −2
B ．y =32x +2
C ．y =3()2
2x -
D ．y =3()2
2x +
13．下列说法正确的是（ ） A ．所有等边三角形都相似 B ．有一个角相等的两个等腰三角形相似 C ．所有直角三角形都相似
D ．所有矩形都相似
14．抛物线y=（x ﹣2）2﹣1可以由抛物线y=x 2平移而得到，下列平移正确的是（ ） A ．先向左平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 B ．先向左平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 C ．先向右平移2个单位长度，然后向上平移1个单位长度 D ．先向右平移2个单位长度，然后向下平移1个单位长度 15．如图，AB 为
O 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O 交于点C ，延长
BO 与O 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=，则ADC ∠的度数为( )
A ．54
B ．36
C ．32
D ．27
二、填空题
16．如图所示，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于E 点，对角线BD 交AG 于F 点．已知FG ＝2，则线段AE 的长度为_____．
17．若
a b b -＝23，则a
b
的值为________． 18．抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是____．
19．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是 ．
20．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，D ，E 两点分别在边AC ，AB 上，且DE 与BC 不平行．请填上一个你认为合适的条件：_____，使△ADE∽△ABC．（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件，多填不给分！）
21．若点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则AC ＝_____AB （用含无理数式子表
示）．
22．抛物线2
(-1)3y x =+的顶点坐标是______.
23．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线
OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为
__________．
24．数据1、2、3、2、4的众数是______．
25．如图，123////l l l ，直线a 、b 与1l 、2l 、3l 分别相交于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ．若AB=3，BC=5，DE=4，则EF 的长为______．
26．如图，港口A 在观测站 O 的正东方向，OA ＝4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达 B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船与观测站之间的距离（即OB 的长）为 _____km.
27．把函数y ＝2x 2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，则新函数的表达式是_____．
28．设1x 、2x 是关于x 的方程2350x x +-=的两个根，则
1212x x x x +-•=__________．
29．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，
30．如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”，在△ABC中，AB=AC，若△ABC是“好玩三角形”，则tanB____________。

三、解答题
31．在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，求：
（1）cosA；
（2）当AB＝4时，求BC的长.
32．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，矩形DEFG的顶点G、F分别在边AC、BC上，D、E 在边AB上．
（1）求证：△ADG∽△FEB；
（2）若AD＝2GD，则△ADG面积与△BEF面积的比为．
33．如图，小明在一块平地上测山高，先在B处测得山顶A的仰角为30°，然后向山脚直行60米到达C处，再测得山顶A的仰角为45°，求山高AD的长度．（测角仪高度忽略不计）
34．如图，AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的中线，且AB BD AD
A B B D A D
==
''''''
．判断△ABC和
△A′B′C′是否相似，并说明理由．
35．如图，直线y＝x﹣1与抛物线y＝﹣x2+6x﹣5相交于A、D两点．抛物线的顶点为C，连结AC．
（1）求A，D两点的坐标；
（2）点P为该抛物线上一动点（与点A、D不重合），连接PA、PD．
①当点P 的横坐标为2时，求△PAD 的面积； ②当∠PDA ＝∠CAD 时，直接写出点P 的坐标．
四、压轴题
36．在长方形ABCD 中，AB ＝5cm ，BC ＝6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1/cm s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2/cm s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间为t 秒．
（1）填空：______＝______，______＝______（用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？
（3）是否存在t 的值，使得五边形APQCD 的面积等于226cm ？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．
37．如图，AB 是⊙O 的直径，AF 是⊙O 的弦，AE 平分BAF ∠，交⊙O 于点E ，过点E 作直线ED AF ⊥，交AF 的延长线于点D ，交AB 的延长线于点C .
(1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若10,6AB AF ==，求AE 的长.
38．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AB ＝8，点C 在半径OA 上（点C 与点O 、A 不重合），过点C 作AB 的垂线交⊙O 于点D ，连结OD ，过点B 作OD 的平行线交⊙O 于点E 、交射线CD 于点F ．
（1）若ED ＝BE ，求∠F 的度数：
（2）设线段OC ＝a ，求线段BE 和EF 的长（用含a 的代数式表示）； （3）设点C 关于直线OD 的对称点为P ，若△PBE 为等腰三角形，求OC 的长． 39．抛物线G ：2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ． （1）直接写出抛物线G 的解析式： ；
（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；
（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N 也落在y 轴左侧的抛物线G 上，若S △CMN =2，求点M 的坐标．
40．如图，一次函数1
22
y x =-
+的图象交y 轴于点A ，交x 轴于点B 点，抛物线2y x bx c =-++过A 、B 两点．
（1）求A ，B 两点的坐标；并求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x 轴的直线x ＝t ，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据折叠得出∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，求出∠DFB ＝∠FEC，证△DBF∽△FCE，进而利用相似三角形的性质解答即可．
【详解】
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝5，
∵沿DE折叠A落在BC边上的点F上，
∴△ADE≌△FDE，
∴∠DFE＝∠A＝60°，AD＝DF，AE＝EF，
设BD＝x，AD＝DF＝5﹣x，CE＝y，AE＝5﹣y，
∵BF＝2，BC＝5，
∴CF＝3，
∵∠C＝60°，∠DFE＝60°，
∴∠EFC+∠FEC＝120°，∠DFB+∠EFC＝120°，
∴∠DFB＝∠FEC，
∵∠C＝∠B，
∴△DBF∽△FCE，
∴BD BF DF
==，
FC CE EF
即
2535x x y y
-==-， 解得：x ＝218
， 即BD ＝
218
， 故选：C ． 【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理.
2．A
解析：A 【解析】 【分析】
将x=0和x=1代入表达式分别求y 1,y 2,根据计算结果作比较. 【详解】
当x=0时，y 1= -1+3=2, 当x=1时，y 2= -4+3= -1, ∴213y y <<. 故选：A. 【点睛】
本题考查二次函数图象性质，对图象的理解是解答此题的关键.
3．C
解析：C 【解析】 【分析】
易得圆锥的母线长为24cm ，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以
2π即为圆锥的底面半径. 【详解】
解：圆锥的侧面展开图的弧长为：2π24224π⨯÷=， ∴圆锥的底面半径为：()24π2π12cm ÷=. 故答案为：C. 【点睛】
本题考查的知识点是圆锥的有关计算，熟记各计算公式是解题的关键.
4．D
解析：D 【解析】 【分析】
只要证明AC AB
AE AD
=，即可解决问题． 【详解】 解:A. 1
2AE EC = ，可得AE ：AC=1：1，与已知2AB AD
=不成比例，故不能判定 B.
2EC
AC =，可得AC ：AE=1：1，与已知2AB AD
=不成比例，故不能判定； C 选项与已知的2AB
AD
=，可得两组边对应成比例，但夹角不知是否相等，因此不一定能判定； 1
2
DE BC = D.
2AC AB
AE AD ==，可得DE//BC ， 故选D. 【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．C
解析：C 【解析】 【分析】
直接利用圆周角定理求解． 【详解】
解：∵∠ABC 和∠AOC 所对的弧为AC ，∠ABC=60°， ∴∠AOC=2∠ABC=2×60°=120°． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
6．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据直线和圆的位置关系可知，圆的半径大于直线到圆距离，则直线l 与O 的位置关系是相交． 【详解】
∵⊙O 的半径为5，圆心O 到直线的距离为3，∴直线l 与⊙O 的位置关系是相交． 故选A ． 【点睛】
本题考查了直线和圆的位置关系，直接根据直线和圆的位置关系解答即可．
7．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用加权平均数按照比例进一步计算出个人总分即可.
【详解】
根据题意得：
92580390288532
⨯+⨯+⨯=++（分）， ∴小莹的个人总分为88分；
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了加权平均数的求取，熟练掌握相关公式是解题关键.
8．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据平均数、方差的定义计算即可.
【详解】
∵小亮的成绩和其它39人的平均数相同，都是90分，
∴40人的平均数是90分，
∵39人的方差为41，小亮的成绩是90分，40人的平均分是90分，
∴40人的方差为[41×39+(90-90)2]÷40<41，
∴方差变小，
∴平均分不变，方差变小
故选B.
【点睛】
本题考查了平均数与方差，熟练掌握定义是解题关键.
9．D
解析：D
【解析】
【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过A 作AD ⊥BC 于D ，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD ⊥BC ，
∴BD=CD=1，
∴△ABC 的面积为12BC•AD=122
⨯ S 扇形BAC =2602360π⨯=23
π，
∴莱洛三角形的面积S=3×
23
π﹣﹣， 故选D ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键． 10．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据平行线等分线段定理列出比例式，然后代入求解即可．
【详解】
解：∵////a b c ∴
AB DE BC EF
= 即1.5 1.82EF = 解得：EF=2.4 故答案为D ．
【点睛】
本题主要考查的是平行线分线段成比例定理，利用定理正确列出比例式是解答本题的关键．
11．A
解析：A
【解析】
【分析】
直接把已知数据代入进而得出c 的值，再解方程根据根的判别式分析即可．
【详解】
∵x ＝﹣1为方程x 2﹣8x ﹣c ＝0的根，
1+8﹣c ＝0，解得c ＝9，
∴原方程为x 2－8x ＋9＝0，
∵24b ac ∆=-＝（﹣8）2－4×9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A ．
【点睛】
本题考查一元二次方程的解、一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()2
00++=≠ax bx c a ，根的情况由24b ac ∆=-来判别，当24b ac -＞0时，方程有两个不相等的实数根，当24b ac -＝0时，方程有两个相等的实数根，当24b ac -＜0时，方程没有实数根．
12．D
解析：D
【解析】
【分析】
先确定抛物线y=3x 2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），然后利用顶点式写出新抛物线解析式即可．
【详解】
解：抛物线y=3x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位所得对应点的坐标为（-2，0），
∴平移后的抛物线解析式为：y=3（x+2）2．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
13．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据等边三角形各内角为60°的性质、矩形边长的性质、直角三角形、等腰三角形的性质可以解题．
【详解】
解：A 、等边三角形各内角为60°，各边长相等，所以所有的等边三角形均相似，故本选项正确；
B 、一对等腰三角形中，若底角和顶角相等且不等于60°，则该对三角形不相似，故本选项错误；
C 、直角三角形中的两个锐角的大小不确定，无法判定三角形相似，故本选项错误；
D 、矩形的邻边的关系不确定，所以并不是所有矩形都相似，故本选项错误．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了等边三角形各内角为60°，各边长相等的性质，考查了等腰三角形底角相等的性质，本题中熟练掌握等边三角形、等腰三角形、直角三角形、矩形的性质是解题的关
键．
14．D
解析：D
【解析】
分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究．
详解：抛物线y=x 2顶点为（0，0），抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的顶点为（2，﹣1），则抛物线y=x 2向右平移2个单位，向下平移1个单位得到抛物线y=（x ﹣2）2﹣1的图象． 故选D ．
点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向．
15．D
解析：D
【解析】
【分析】
由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠
【详解】
切线性质得到90BAO ∠=
903654AOB ∴∠=-=
OD OA =
OAD ODA ∠=∠∴
AOB OAD ODA ∠=∠+∠
27ADC ADO ∴∠=∠=
故选D
【点睛】
本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
二、填空题
16．12
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出2，结合FG=2可求出AF 、AG 的长度，由CG∥AB、AB=2CG 可得出CG 为△E
解析：12
【解析】
【分析】
根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可
得出AF AB
GF GD
==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为
△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【详解】
∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，
∴△ABF∽△GDF，∴AF AB
GF GD
==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．
∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．
故答案为：12．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形的中位线，利用相似三角形的性质求出AF的长度是解题的关键．
17．【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．
【详解】
∵＝，
∴b=a,
∴=,
故答案为：.
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
解析：5 3
【解析】
【分析】
根据条件可知a与b的数量关系，然后代入原式即可求出答案．【详解】
∵a b
b
-
＝
2
3
，
∴b=3
5 a,
∴a
b
=
5
33
5
a
a
,
故答案为：5 3 .
【点睛】
本题考查了分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则．
18．（2，﹣3）
【解析】
【分析】
根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).
【详解】
抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.
故答案为（2，﹣3）
【点睛】
本题
解析：（2，﹣3）
【解析】
【分析】
根据：对于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标是(h,k).
【详解】
抛物线y=（x﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.
故答案为（2，﹣3）
【点睛】
本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.
19．【解析】
试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.
考点：概率公式．
解析：
【解析】
试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为42
=
147
.
考点：概率公式．
20．∠B=∠1或
【解析】
【分析】
此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可. 【详解】
此题答案不唯
解析：∠B=∠1或AE AD AC AB
=
【解析】
【分析】
此题答案不唯一，注意此题的已知条件是：∠A=∠A，可以根据有两角对应相等的三角形相似或有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，添加条件即可.
【详解】
此题答案不唯一，如∠B=∠1或AD AE AB AC
=．
∵∠B=∠1，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
∵AD AE
AB AC
=，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC；
故答案为∠B=∠1或AD AE AB AC
=
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定：有两角对应相等的三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，根据判定定理解题. 21．【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C是线段AB的黄金分割点且AC＞BC，
∴AC＝AB．
故答案为:．
【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C是线段AB的黄金分
【解析】
【分析】
直接利用黄金分割的定义求解．
【详解】
解：∵点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，
∴AC AB ．
故答案为． 【点睛】
本题考查了黄金分割的定义，点C 是线段AB 的黄金分割点且AC ＞BC ，则
AC BC =正确理解黄金分割的定义是解题的关键.
22．(1，3)
【解析】
【分析】
根据顶点式：的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.
【详解】
解：由顶点式可知：的顶点坐标为：(1，3).
故答案为(1，3).
【点睛】
此题考查的是求顶点坐标，
解析：(1，3)
【解析】
【分析】
根据顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）即可求出顶点坐标.
【详解】
解：由顶点式可知：2
(-1)3y x =+的顶点坐标为：(1，3).
故答案为(1，3).
【点睛】
此题考查的是求顶点坐标，掌握顶点式：2()y a x h k =-+的顶点坐标为（h ，k ）是解决此题的关键.
23．【解析】
【分析】
圆C 过点P 、Q ，且与相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，
设圆C 的半径为r ，再
解析：4223-
【解析】
【分析】
圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ．
【详解】
解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D
∵2OP =，6OQ =，
∴PQ=OQ －OP=4
根据垂径定理，PN=
122PQ = ∴ON=PN ＋OP=4
在Rt △OND 中，∠O=45°
∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，242ON =设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r
∵圆C 与OB 相切于点M ，
∴∠CMD=90°
∴△CMD 为等腰直角三角形
∴CM=DM=r ，22CM r =
∴NC=ND －CD=42r
根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2
即()222422r r -+=
解得：124223,4223r r +==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去）
故答案为：23．
【点睛】
此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂
径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．
24．2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的
解析：2
【解析】
【分析】
根据众数的定义直接解答即可．
【详解】
解：数据1、2、3、2、4中，
∵数字2出现了两次，出现次数最多，
∴2是众数，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数．25．【解析】
【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】
，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．
解析：203 【解析】 【分析】
直接根据平行线分线段成比例定理即可得．
【详解】
123////l l l ，
AB DE BC EF
∴=， 3,5,4AB BC DE ===，
345EF
∴=， 解得203
EF =
， 故答案为：203
． 【点睛】 本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键． 26．2＋2
【解析】
【分析】
作AD⊥OB 于点D ，根据题目条件得出∠OAD＝60°、∠DAB＝45°、OA ＝4km ，再分别求出AD 、OD 、BD 的长，从而得出答案．
【详解】
如图所示，过点A 作AD⊥O
解析：23＋2
【解析】
【分析】
作AD ⊥OB 于点D ，根据题目条件得出∠OAD ＝60°、∠DAB ＝45°、OA ＝4km ，再分别求出AD 、OD 、BD 的长，从而得出答案．
【详解】
如图所示，过点A 作AD ⊥OB 于点D ，
由题意知，∠AOD＝30°，OA＝4km，则∠OAD＝60°，
∴∠DAB＝45°，
在Rt△OAD中，AD＝OAsin∠AOD＝4×sin30°＝4×1
2
＝2（km），
OD＝OAcos∠AOD＝4×cos30°＝4km），
在Rt△ABD中，BD＝AD＝2km，
∴OB＝OD＋BD＝2（km），
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是构建合适的直角三角形，并熟练运用三角函数进行求解．
27．y＝2（x﹣3）2﹣2．
【解析】
【分析】
利用二次函数平移规律即可求出结论．
【详解】
解：由函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，得
新函数的表达
解析：y＝2（x﹣3）2﹣2．
【解析】
【分析】
利用二次函数平移规律即可求出结论．
【详解】
解：由函数y＝2x2的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到新函数的图象，得
新函数的表达式是y＝2（x﹣3）2﹣2，
故答案为y＝2（x﹣3）2﹣2．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知“上加下减,左加右减”的原则是解答此题的关键．
28．2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定和，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵
∴=-3, =-5
∴-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于(a≠
解析：2
【解析】
【分析】
根据根与系数的关系确定12x x +和12x x •，然后代入计算即可．
【详解】
解：∵2350x x +-=
∴12x x +=-3, 12x x •=-5
∴1212x x x x +-•=-3-(-5)=2
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了根与系数的关系，牢记对于20ax bx c ++=(a≠0),则有：12b x x a +=-，12c x x a
•=是解答本题的关键． 29．∠ACP=∠B（或）．
【解析】
【分析】
由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【详解】
解析：∠ACP=∠B （或
AP AC AC AB
=）． 【解析】
【分析】
由于△ACP 与△ABC 有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【详解】
解：∵∠PAC=∠CAB ，
∴当∠ACP=∠B 时，△ACP ∽△ABC ；
当AP AC
AC AB
=时，△ACP∽△ABC．
故答案为：∠ACP=∠B（或AP AC
AC AB
=）．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．
30．2或
【解析】
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
①如图1中，取BC的中点H，连接AH．
∵AB=AC，BH=CH，
∴AH⊥BC，设BC=AH=2a，则BH=CH=a，
∴t
解析：2或15
【解析】
【分析】
分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
①如图1中，取BC的中点H，连接AH．
∵AB=AC，BH=CH，
∴AH⊥BC，设BC=AH=2a，则BH=CH=a，
∴tanB=
2
AH a
BH a
==2．
②取AB的中点M，连接CM，作CN⊥AM于N，如图2．设CM=AB=AC=4a，则BM=AM=2a，
∵CN⊥AM，CM=CA，
∴AN=NM=a，
在Rt△CNM中，，
∴=
故答案为2．
【点睛】
本题考查解直角三角形、等腰三角形的性质、“好玩三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
；（2）
31．（1）
2
【解析】
【分析】
（1）根据等腰直角三角形的判定得到△ABC为等腰直角三角形，则∠A=45°，然后利用特殊角的三角函数值求解即可；（2）根据∠A的正弦求解即可.
【详解】
∵AC＝BC，∠C＝90°，
∴∠A=∠B=45°，
，
∴cosA=cos45°=
2
⨯，
∴BC=AB sin A
【点睛】
本题考查解直角三角形及等腰直角三角形的判定，熟练掌握特殊角三角函数值是解题关键. 32．（1）证明见解析；（2）4.
【解析】
【分析】
（1）易证∠AGD=∠B，根据∠ADG=∠BEF=90°，即可证明△ADG∽△FEB；
（2）相似三角形的性质解答即可．
【详解】
（1）证明:∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠GDE=∠FED=90°，
∴∠GDA+∠FEB=90°，
∴∠A+∠AGD=90°，
∴∠B=∠AGD ，
且∠GDA=∠FEB=90°，
∴△ADG ∽△FEB ．
（2）解：∵△ADG ∽△FEB ， ∴
AD EF DG BE
=, ∵AD ＝2GD, ∴
2AD DG
=, ∴224ADG FEB S S ==. 【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，求证△ADG ∽△FEB 是解题的关键．
33．301)米
【解析】
【分析】
设AD ＝xm ，在Rt △ACD 中，根据正切的概念用x 表示出CD ，在Rt △ABD 中，根据正切的概念列出方程求出x 的值即可．
【详解】
由题意得，∠ABD ＝30°，∠ACD ＝45°，BC ＝60m ，
设AD ＝xm ，
在Rt △ACD 中，∵tan ∠ACD ＝
AD CD ， ∴CD ＝AD ＝x ，
∴BD ＝BC +CD ＝x +60，
在Rt △ABD 中，∵tan ∠ABD ＝AD BD
，
∴60)x x =+，
∴1)x =米，
答：山高
AD 为301)米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
34．△ABC ∽△A 'B 'C '，理由见解析
【解析】
【分析】
由题意知，根据相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似，可证得
△ABD ∽△A 'B 'D '，进而可得∠B ＝∠B '，再根据两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，即可得△ABC ∽△A 'B 'C '．
【详解】
△ABC ∽△A 'B 'C '， 理由：∵
==''''''
AB BD AD A B B D A D ∴△ABD ∽△A 'B 'D '，
∴∠B ＝∠B '， ∵AD 、A 'D '分别是△ABC 和△A 'B 'C '的中线 ∴12BD BC =，1''''2
B D B
C =， ∴12==1''''
''2
BC AB BC A B B C B C ， 在△ABC 和△A 'B 'C '中 ∵
=''''
AB BC A B B C ，且∠B ＝∠B ' ∴△ABC ∽△A 'B 'C '．
【点睛】 本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似．
35．（1）A （1，0），D （4，3）；（2）①当点P 的横坐标为2时，求△PAD 的面积；②当∠PDA ＝∠CAD 时，直接写出点P 的坐标．
【解析】
【分析】
（1）由于A 、D 是直线直线y ＝x ﹣1与抛物线y ＝﹣x 2+6x ﹣5的交点，要求两个交点的坐标，需可联立方程组求解；
（2）①要求△PAD 的面积，可以过P 作PE ⊥x 轴，与AD 相交于点E ，求得PE ，再用△PAE 和△PDE 的面积和求得结果；
②分两种情况解答：过D 点作DP ∥AC ，与抛物线交于点P ，求出AC 的解析式，进而得PD 的解析式，再解PD 的解析式与抛物线的解析式联立方程组，便可求得P 点坐标；当P 点在AD 上方时，延长DP 与y 轴交于F 点，过F 点作FG ∥AC 与AD 交于点G ，则∠CAD ＝∠FGD ＝∠PDA ，则FG ＝FD ，设F 点坐标为（0，m ），求出G 点的坐标（用m 表示），再由FG ＝FD ，列出m 的方程，便可求得F 点坐标，从而求出DF 的解析式，最后解DF 的解析式与抛物线的解析式联立的方程组，便可求得P 点坐标．。