江西省重点中学盟校2011届高三第二次联考(数学理)

江西省重点中学盟校2011届高三第二次联考
数学（理）试卷
主命题：景德镇一中 武智理 江国华 辅命题：九江同文中学 陈劲 新余四中 刘告根
第I 卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U R =，则正确表示集合{1,0,1}M =-和{}
2|0N x x x =+=关系的韦恩（Venn ）图是（ ）
2．设复数1z bi =+()b R ∈且||2z =，则复数z 的虚部为（ ）
A
B
．
C ．1±
D
．3．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x ≠都有
1212
()()
0f x f x x x ->-，则（ ）
A ．(3)(2)(1)f f f <-<
B ．(1)(2)(3)f f f <-<
C ．(2)(1)(3)f f f -<<
D ．(3)(1)(2)f f f <<- 4．已知向量(2,1)a =，10
a b ⋅=，|
|52a b +=，则||b =（ ）
A
B
C ．5
D ．25
5．方程
22
1sin 2cos 2cos 2sin 2
x y -=+-所表示的曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D ．焦点在y 轴上的双曲线
6．若某多面体的三视图（单位：cm ）如右图所示， 则此多面体的体积是（ ）
A ．
12cm 3
B ．23cm 3
C ．56cm 3
D ．78
cm 3
7．2011年某通讯公司推出一组手机卡号码，卡号的前七位数字固定，后四位数从“0000”到“9999”共10000个号码。

公司规定：凡卡号的后四位带数字“6”或“8”的一律作为“金兔卡”，享受一定优惠政策，则这组号码中“金兔卡”的个数为（ ） A ．2000 B ．4096 C ．5904 D ．8320
8．对于使()f x M ≤恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界。

若
0a >，0
b >且1a b +=，则12
2a b
--的上确界为（
）
俯视图
侧视图
正视图
数学试卷 第1页（共2页）理科
A ．
92
B ．92
-
C ．
14
D ．4-
10．给出若干数字按下图所示排成倒三角形，其中第一行各数依次是1 , 2 , 3 , … , 2011，从第二行起每个数分别等于上一行左、右两数之
和，最后一行只有一个数M ，则这个数M 是
（ ）
A ．2009
20122⨯
B ．201020112⨯
C ．201120102⨯
D ．2007
20102⨯
第II 卷
二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分.)
11．已知等差数列{}n a 中，199,a a 是函数2
()1016f x x x =-+的
两个零点，则5020801
2
a a a ++= .
12．设),(1230
301234:R y x y x x y x p ∈⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥-≥-+，)0,,(:222>∈≤+r R y x r y x q 若p 是q 的充分 不必要条件，则r 的取值范围是
. 13．如图：
若3log 2a =，ln 2b =，12
5c -=， 则输出的数为 . 14．给出以下三个命题：
（A ）已知(,4)P m 是椭圆
2
2
221x y a b +=(0)a b >>若12PF F 的内切圆的半径为32 （B ）过椭圆2222:1x y C a b
+=(0)a b >>上的任意一动点M ，引圆222
:O x y b +=的两条
切线MA 、MB ，切点分别为A 、B ，若2
BMA π
∠=，则椭圆的离心率e 的取值范
围为； 1 2 3 … 2009 2010 2011
3 5 … 4019 4021
8 … 8040 … M
（C ）已知1(2,0)F -、2(2,0)F ，P 是直线1x =-上一动点，则以1F 、2F 为焦点且过点P
的双曲线的离心率e 的取值范围是[2,)+∞。

其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）。

15．选作题（请在下列2小题中选做一题，全做的只计算第（A ）题得分） （A ）在极坐标系中，曲线1:2sin C ρθ=，曲线2:3
C π
θ=
，若曲线C 1与C 2交于,A B 两
点，则线段AB 的长度为 。

（B ）若不等式|1||3||1|x x m ++-≥-恒成立，则m 的取值范围为 。

三、解答题（共75分） 16．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足(1)1n n P
S a P =--(P 为常数，且0,1,)P P n N +≠≠∈，数列{}n b 是等比数列，且3n n n
S
b a =+.
（1）求{}n a 的通项公式； （2）求P 的值.
17．（本小题满分12分）
已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，4
cos c A b
=且ABC ∆的面积2S ≥， （1）求A 的取值范围； （2
）求函数2
2()cos ()242A A f A π=++. 18．（本小题满分12分）
某汽车配件厂生产A 、B 两种型号的产品，A 型产品的一等品率为45，二等品率为1
5
；B 型产品的一等品率为
910，二等品率为1
10。

生产1件A 型产品，若是一等品则获得4万元利润，若是二等品则亏损1万元；生产1件B 型产品，若是一等品则获得6万元利润，
若是二等品则亏损2万元。

设生产各件产品相互独立。

（1）求生产4件A 型产品所获得的利润不少于10万元的概率；
（2）记X (单位：万元)为生产1件A 型产品和1件B 型产品可获得的利润，求X 的分布列及期望值.
19．（本小题满分12分）
如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，
D 为AC 的中点，12AA AB ==. （1）求证：1AB //平面1BC D ； （2）若四棱锥11B DAAC -的体积为2，求二面角
1C BC D --的正切值.
20．（本小题满分13分）
已知函数2
1()(39)(3)(3)2
f x a b ln x x b x =-+++
+-. （1）当0a >且1a ≠，(1)0f '=时，试用含a 的式子表示b ，并讨论()f x 的单调区间；
（2）若()f x '有零点，1
(3)6
f '≤
，且对函数定义域内一切满足||2x ≥的实数x 有()0f x '≥.
①求()f x 的表达式；
②当(3,2)x ∈-时，求函数()y f x =的图象与函数()y f x '=的图象的交点坐标.
21．（本小题满分14分）
已知抛物线2
:2C x my =(0)m >和直线:l y kx m =-没有公共点（其中k 、m 为常数），动点P 是直线l 上的任意一点，过P 点引抛物线C 的两条切线，切点分别为M 、N ，且直线MN 恒过点(,1)Q k .
（1）求抛物线C 的方程；
（2）已知O 点为原点，连结PQ 交抛物线C 于A 、B 两点，证明：
OAP OBQ OAQ OBP S S S S ∆∆∆∆⋅=⋅.
江西省重点中学盟校2011届第二次联考数学试卷（理）参考
答案
行只有M ，发现规律，得2009
(12011)2
M =+⋅。

或从第一行为1 , 2 , 3 及1 , 2 , 3 , 4 , 5
的两个“小三角形”结合选项归纳得结果为1
(31)2+⨯及3
(51)2+⨯猜一般为
2
(1)2n n -+⋅。

二、填空题
11、
25
2
12、),23[+∞ 13、ln 2 14、C 提示：（1）设M 是
12F PF ∠的角平分线与x 轴的交点，则：
212
1PF PF PI F M F M IM ==（I 为内心），3
3
248IM PM ==
， ∴53PI IM = ∵212122PF PF PI a F M F M IM c +==+ ∴63
105
e ==
（或以内心为顶点，面积分割，用定义可得结果）
（2）由2
BMA π
∠=
得OM =，∵OM a ≤
∴a ≥
， ∴2222()a a c ≥-， ∴2
e ∈ （3）P 在x 轴上时，双曲线上点到左焦点距离最小，∴1c a -≥，∴21a -≥，∴1a ≤
111c a e a a a
+=
≥=+ 又1a ≤，∴2e ≥ 15、（A
（B ）[3,5]m ∈- 三、解答题
16．解：（1）1n =时，1a P =
2n ≥时，1n n n a S S -=-，得
1
n
n a P a -= ∴n
n a P =
………………4分
（2）1n =时，111334S P
b a P
=
+=+= 2n =时，222
1
34P P b P P +=+=+ 3n =时，3211
4b P P
=++
…………8分 ∴2
2111(4)4(4)P P P +=++ ∴34
P = …………12分
17．解：（1）1
sin 2S bc A = ………………2分
则1
tan 12
A S =≥ ………………4分
4
2
A π
π
∴
≤<
………………6分
(2)111()cos sin()2262
f A A A A π=
+=++………………9分 ()f A ∴无最小值，3
A π
=
时()f A 取得最大值为
3
2
………………12分
18．解：（1）由题意得一等品件数为3或4 …………2分
即生产4件A 型产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192 (5)
分
（2）由题意X 的所有可能取值为10,5,2,3-且
(10)0.80.90.72P X ==⨯=;
(3)0.20.10.02P X =-=⨯= ………………9分 所以，
的分布列为
(3)0.0220.0850.18100.728.2EX =-⨯+⨯+⨯+⨯= ………………12分
19．
20．解：（1）2()3
x bx a
f x x ++'=
+(3)x >- ………………2分 由(1)01f b a '=⇒=--，故(1)()
()3
x x a f x x --'=+
01a <<时 由()0f x '> 得()f x (3,)a -，(1,)+∞ 由()0f x '< 得()f x (,1) 同理1a >时，()f x 的单调增区间(3,1)-，(,)a +∞，单调减区间为(1,)a …………5分 2
2
2
……4分
……8分
在Rt DFG 中，
∴二面角1C BC D --的正切值为2
（2）①由（1）及1
(3)386
f a b '≤
⇒≤-- （i ） 又由||2x ≥ (3)x >-有()0f x '≥知()f x '的零点在[2,2-内，设2()g x x bx a =++，
则(2)042(2)02444222
g a b g a b b b ⎧
⎪≥≥--⎧⎪⎪
-≥⇒≥-⎨⎨⎪⎪-≤≤⎩⎪-≤-≤⎩，结合（i ）解得4b =-，4a = ………………8分
∴2
1()25ln(3)72
f x x x x =++
- ………………9分 ②又设()()()x f x f x ϕ'=-，先求()x ϕ与x 轴在(3,2)-的交点
∵22
(2)25()13(3)
x x x x ϕ-'=+-++， 由32x -<< 得 2
0(3)25x <+< 故()0x ϕ'>，()x ϕ在(3,2)-单调递增
又(2)16160ϕ-=-=，故()x ϕ与x 轴有唯一交点(2,0)- 即()f x 与()f x '的图象在区间(3,2)-上的唯一交点坐标为(2,16)-为所
求 …………13分
21．解：（1）如图，设11(,)M x y ，22(,)N x y
由22x y m =，得x y m '= ∴PM 的斜率为1x m
PM 的方程为11x y x y m =- 同理得22:x
PN y x y m
=-
设00(,)P x y 代入上式得1001
2002x y x y m x y x y m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，
即11(,)x y ，22(,)x y 满足方程00x
y x y m
=-
故MN 的方程为0000()x x
y x y x kx m m m =-=-- ………………4分
上式可化为0()x
y m x mk m
-=-，过交点(,)mk m
∵MN 过交点(,1)Q k ， ∴mk k =，1m =
∴C 的方程为2
2x y = ………………6分
（2）要证OAP OBQ OAQ OBP S S S S ⋅=⋅，即证||||
||||
PA QA PB QB = 设33(,)A x y ，44(,)B x y
则303340340
4044042()()2||||||||()()
x x k x x x k x x x kx PA QA PB QB x x x k x x x k ---+++-=-=---- ……（Ⅰ） ∵00(,)P x y ，(,1)Q k
∴PQ 直线方程为001
1()y y x k x k
--=
--， 与2
2x y =联立化简20000
00102x y y k x x x k x k
---+=--
∴003402y k x x x x k -=⋅- ……① 03402(1)
y x x x k
-+=- ……②
…………10分
把①②代入（Ⅰ）式中，则分子
2
2000000
042(1)()224y k y k x kx k x x x k
--++--=- (Ⅱ)
又P 点在直线1y kx =-上，∴001y kx =-代入Ⅱ中得： ∴||||||||PA QA PB QB -22
22000000
022*******kx k kx x x k k x k x x k
--+-++-==- 故得证 ………………14分。