圆的标准方程-教案

圆的标准方程－第一课时
授课教师：程留稳
教学目标
(一)知识目标
1.掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径；
2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。

(二)能力目标
1．进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力；
2．加深对数形结合思想的理解和加强对待定系数法的运用；
3．增强学生用数学的意识，提高学生运算能力，逻辑思维能力。

(三)情感目标
1．培养学生主动探究知识、合作交流的意识；
2．在体验数学美的过程中激发学生的学习兴趣.
教学重点、难点
(一)教学重点
圆的标准方程的理解、掌握，依据不同条件求出圆的标准方程。

(二)教学难点
圆的标准方程的简单应用。

教学方法
选用引导―探究式的教学方法。

教学手段
借助多媒体进行辅助教学。

教学过程
课前欢迎词（PPT1）
Ⅰ.视频引入课题
教师：大家都知道，我们国家在07年10月有个重要的航天事件，它让外国人开始拿起放大镜仔细研究中国给世界带来的影响力――那就是嫦娥奔月。

下面我们借助一个动画短片来回顾一下嫦娥一号奔月的路线是多么多么的漫长。

（PPT2）
教师：刚才我们看到了嫦娥一号奔月时那么复杂而又美丽的运行线路，它是一个非常接近于圆的轨道。

那么现实中是怎样求得这些曲线的的轨迹，并设计出来的呢？这节课我们就来用坐标法先推导一个特殊曲线的方程－圆的标准方程。

（PPT3）
教师：为了这节课更好的的展开，我们先来回顾一下相关的基础知识。

Ⅱ.知识回顾：（PPT4）
1.已知1122(,),(,),A x y B x y 则|AB|= ;
2.已知点00(,),P x y 直线L ：Ax+By+C=0，则点P 到直线L 的距
离d = ;
3. 求曲线方程的一般步骤是 .
4. 圆是 的点的集合；
学生回答，同时多媒体显示答案
教师：我们这节课的内容就是用坐标法来研究一下圆的标准方程.下面我们就按求曲线方程的步骤来推导一下圆的轨迹方程。

Ⅲ.新课讲解（PPT5）
问题:试推导圆心是C(a,b)，半径是r 的圆的方程。

学生：推导2分钟左右。

教师巡视，待全部推导完毕，教师问：“谁来展示一下自己的推导步骤及结论？”
一同学讲解：设圆上任意一点M(x,y)，利用两点间距离公式得
即:222
x a y b r
-+-=
()()
教师：这个方程222
x a y b r
-+-=就叫做圆的标准方程.
()()
板书，学生整理记忆。

教师：下面我们一起回过来看一下推导过程中用到的知识点，分析一下圆的标准方程的特点。

回顾总结（PPT6）
（1）标准方程的推导中利用了公式进行坐标化；
（2）圆心是C(a,b)，半径是r的圆的标准方程是 .
（3）圆的标准方程有哪些特点？
教师：刚才我们推导了圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程。

下面我们来看几个特殊位置的圆的方程：
（PPT7）――四个特殊位置的圆的标准方程
1.222
x y r
＋＝；
2.222
-+=
x a y a
();
3.222
x a y a a
-+-=
()();
4.2222
-+-=+
()().
x a y b a b
教师：以上我们可以看出圆的标准方程由圆心坐标（a,b）及半径r决定。

由此可见，要确定圆的方程，只需确定a 、b 、r 这三个独立变量即可。

下面我们来看几个小练习：
（PPT8）
练习1.写出下列各圆的方程：
1．圆心在点C （3，4），半径是
2．经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)
练习2. 写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) 226y +=（x-1)
(2) 22(1)(2)9x y +++=
(3) 222()x a y a -+=
教师：依据这两个小练习看来我们已经具备了圆的标准方程的基础了，该提高一下能力了，请同学们看下面的这个问题
Ⅳ.例题分析、巩固应用
（PPT9）
例1：求以C （1，3）为圆心，并且和直线3x-4y-7=0 相切的圆的方程。

思考：1、本题关键是求出什么？
2、怎样求出圆的半径？
学生下面推导求解，教师巡视指导。

找学生回答，给出相应的解答过程。

教师：我们掌握了圆的标准方程，能够由圆心坐标和半径写出方程，也能够由标准方程得出圆心坐标和半径。

为了更进一步的加深和扩展对这节课内容的理解，我们再通过一个例题看看圆的标准方程的简单应用。

（PPT10）
例2：已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线方程。

思考：1.圆的切线有哪些性质？
2.求切线方程的关键是什么？
3.切线的斜率一定存在吗？
师生分析给出以下解答：
解法一、（PPT10）
求出斜率，直接用点斜式写出方程
解法二、（PPT11）
直接把斜率设出来，用待定系数法求出斜率。

――简要给出分析，让学生课下整理。

思考：除了课本解法，你还能想到哪些方法？――比如几何法，利用勾股定理求解；或者向量法。

请同学们课下思考。

教师：通过前面的例题，我们可以得出一个结论，这个结论同学们可以作为一个常识性结论记住，方便后续的练习和学习。

（PPT12） 结论：经过圆上一点的切线方程是200x x y y r ＋＝ 教师：分析结论的特点，发现规律了吗？
学生：分别用切点的横坐标和纵坐标代替圆方程中的一个x 和一个y ，便得到了切线方程。

教师归纳总结：圆的方程可看成2x x y y r ⋅+⋅=，将其中一个x 、y 用切点的坐标00,x y 替换，可得到切线方程
练习3：写出过圆22x y 10＋＝上一点M (2的切线方程。

课下动手试试：试推导过圆
222()()x a y b r -+-=上一点M 00(,)x y 的切线方程.
Ⅴ.课堂练习
（PPT13）
1.以（3，-4）为圆心，且过点（0，0）的圆的方程是 .
2.已知直线x-y+b=0与圆228x y +=相切，则b= .
教师：本节课我们研究了圆的标准方程的推导；已知圆心、半径求方程；已知方程求圆心、半径；并借助应用例题训练圆的方程的应用。

下面我们一起来总结一下这节课的主要内容：
课堂小结(PPT14)
(1) 圆心为C(a,b)，半径为r 的圆的标准方程为222()()x a y b r
-+-= 特别地：当圆心在原点时 a=b=0，圆的标准方程为：222x y r +=
(2) 由于圆的标准方程中含有 a , b , r 三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆的方程；
(3)解题过程中注意圆的平面几何知识的运用以及应用圆的方程解决实际问题。

作业：(PPT15)
习题7.6 P81 1(2)、2 、 4
课外思考题：
1.求圆心C 在直线 x+2y+4=0 上，且过两定点 A(-1 , 1)、B(1,-1)的圆的方程。

2.把圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开后是什么形式？
3．方程
表示什么图形？
好的，这节课我们就到这里，下课！
再见！
教案
课题：
圆的标准方程
（第一课时）
授课教师：程留稳
单位名称：商丘市实验中学
二〇〇八年四月。