关于Hamy平均的一个优化不等式

关于Hamy平均的一个优化不等式
何晓红
【摘要】关于n个正数的k次Hamy平均(),利用最值压缩定理,证明了与Hamy 平均、算术平均和几何平均有关的一个双向不等式(),其中q=n-k/n-1和p=n-
k/kn-k为最佳,从而得到一个较理想的优化不等式.
【期刊名称】《安徽大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2018(042)004
【总页数】5页(P56-60)
【关键词】Hamy平均;优化不等式;最值压缩定理
【作者】何晓红
【作者单位】衢州广播电视大学教务处 ,浙江衢州 324000
【正文语种】中文
【中图分类】O178
不加特殊说明, 都设
n∈N,n≥2,a=(a1,a2,…,an)n∈(0,+)n.
a的算术平均和几何平均分别记为
设k∈N, 1≤k≤n, 则被称为a的k次Hamy平均.关于这些定义的性质和已有研究, 参见文献[1].
优化不等式,即研究一个特定函数, 建立它与a的算术平均和几何平均之间的一个不
等式, 且当a1=a2=…=an时, 此不等式取等. 有关研究参考文献[2-14], 此类不等式不仅估算了其中函数的大小, 而且具有较强美观性.
论文将研究关于n个正数的k次Hamy平均的双向优化不等式, 其系数具有最佳性.
1 有关引理
以下设集合D⊆Rn是有内点的对称凸集, 对于i=1,2,…,n, 记
引理1[6-7] 设区间I⊆
为连续的对称函数, 且存在连续偏导数.若不等式∂f/∂x1>(<)∂f/∂x2在上恒成立, 则对任意的a∈In, 都有等号成立当且仅当a1=a2=…=an,其中:
若对引理1进行函数变换可得引理2, 详细证明参考文献[6-7].
引理2[6-7] 设区间I⊆(0,+),为对称函数, 且有连续偏导数, 若不等式
x1∂f/∂x1>(<)x2∂f/∂x2在上恒成立, 则对任意的a∈In, 都有等号成立当且仅当
a1=a2=…=an, 其中：
证明设
H={lna=(lna1,lna2,…,lnan)|a∈In}, g:y∈H→f(ey1,ey1,…,eyn),
则
当时, 有
根据引理1知, 对于lna∈H, 都有即引理2证毕.
引理3 设k,n∈N且3≤k≤n, b2,b3,…,bn>0,且b2≤bi(3≤i≤n), 有
证明对n用数学归纳法, 当n=3时, 命题易知为真.假设命题对于n-1成立, 当
n≥4时, 设
有
根据假设
有
所以,f(b2,b3,…,bn)关于bn是单调增加函数, 同理可证f(b2,b3,…,bn)关于
bi(i=3,4,…,n)是单调增加函数, 有
引理3证毕.
2 主要结果
定理1 设n,k∈N, n≥2,1≤k≤n, a=(a1,a2,…,an)n∈(0,+)n，a的k次Hamy平均为则
(1)
其中:和为最佳.
证明当n=2或k=1或k=n, 定理1显然为真. 下设n≥3.
(i) 在3≤k≤n-1情形下, 下面给出(1)式左式的证明.
设f:a∈(0,+)n→qAn(a)+(1-q)Gn(a)-σn(a,k), 则
根据对称性,有
当时, 有
>0.
由引理2知, 对任意a∈(0,+)n, 都有即
σn(a,k)≤qAn(a)+(1-q)Gn(a)
成立.
(ii) 在3≤k≤n-1情形下, 下面给出(1)式右式的证明. 只要证
令即只要证
(2)
设则
当时, 要证只要证
考虑到和b1>b2, 只要证
又因为
所以,只要证
⟺
由引理3，知由引理2,知∀b∈(0,+)n, 都有此即为(2)式.则(1)式的右式也成立. (iii) 在k=2的情形下, (1)式等价化为
它的左右式证明分别类似以上两种, 而且在记法会简洁许多, 在此不再重复. (iv) 下证q和p的最佳性.
取特例a=(1,1,…,1,t)(t>0,t≠1), (1)式的右式化为
令t→0+, 有所以，具有最佳性.
取特例a=(1,1,…,1,t)(t>0,t≠1), (1)式的左式化为
当t→+时, 比较上式t的最高次方, 有
故的最佳性得证.至此定理1证毕.
参考文献：
【相关文献】
[1] 匡继昌. 常用不等式[M]. 4版. 济南: 山东科学技术出版社, 2010.
[2] WEN J J, CHENG S S, GAO C B. Optimal sublinear inequalities involving geometric and power means[J]. Mathematica Bohemica, 2009, 134 (2): 133-149.
[3] 石焕南, 文家金, 周步骏. 关于幂平均值的一个不等式[J]. 数学的实践与认识, 2001, 31 (2): 227 -230.
[4] 罗钊, 张日新, 文家金. 含第三对称平均的一个优化不等式及其应用[J]. 成都大学学报 (自然科学版), 2004, 23 (3): 1-10.
[5] WEN J J, WANG W L. The optimization for the inequalities of power means[J]. Journal Applications， 2016(1)： 472-478.
[6] 张小明, 褚玉明. 解析不等式新论[M]. 哈尔滨: 哈尔滨工业大学出版社, 2009.
[7] ZHANG X M, XI B Y, CHU Y M. A new method to prove and find analytic inequalities[J]. Abstract and Applied Analysis, 2010(3)： 127-132.
[8] 王挽澜, 文家金, 石焕南. 幂平均不等式的最优值[J]. 数学学报, 2004, 47 (6): 1053-1062.
[9] 周美秀, 张小明, 严文兰. 向量压缩控制与压缩单调函数[J]. 上海大学学报 (自然科学版), 2013, 19 (2): 170-175.
[10] 郭忠. 有关平均差距的三个不等式[J]. 湖州师范学院学报 (自然科学版), 2014, 36 (8): 13-18.
[11] 李春龙. 一类幂平均不等式的完善[J]. 数学的实践与认识, 2012, 46 (1): 178-184.
[12] 何晓红. 关于Hardy平均的一个不等式及其应用[J]. 浙江大学学报 (理学版), 2015, 42 (2): 133-135.
[13] 赵坚, 张小明. 与A-G有关的几个新不等式[J]. 成都大学学报 (自然科学版), 2011, 30 (1): 31-35.
[14] 邵志华. 若干解析不等式的统一证明——兼谈几个不等式的加强[J]. 湖南理工学院学报 (自然科学版), 2010, 23 (3): 9-13.。