届高三数学北师大版通用理总复习课件第四章 43【精选】

题：如公式的正用、逆用和变形用等．如 Tα±β 可变形为 tan α±tan β＝ tan(α±β)(1∓tan αtan β) ，
tan αtan β＝ 1－tatnanα＋α＋taβnβ ＝ tatnanα－α－taβnβ－1.
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基础知识·自主学习
要点梳理
(－的2()＝2值β已))∵1＝．知＋12t12a－12n，α×17α，t＝17a＝βnt∈a13nβ>[(＝(00α，，－－∴πβ17))，0，＋<求α且β<]＝π22t，αa1t－n－an(αβtaαn－αβ－＋βttaannββ
思维升华
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＝
α－β2
－
α2－β，利用平方关系分别求各
角的正弦、余弦．
(2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α
－β)＝12，tan β＝－17，求 2α－β
(2)2α－β＝α＋(α－β)； α＝(α－β)＋β.
的值．
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题型二
三角函数的给值求值、给值求角
10°－2sin30°－10° 2sin 10°
cos ＝
10°－212cos 10°－ 2sin 10°
3 2 sin
10° ＝
23ssinin1100°°＝
3 2.
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题型一
三角函数式的化简与给角求值
【例 1】 (1)化简：
1＋sin θ＋cos θsin
A 2tan
C2 ＋
3tan
AC 2tan 2
＝

31－tan

A 2tan
C2 ＋
3tan
A 2tan
C2 ＝
3.
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跟踪训练 1 (1)在△ABC 中，已知三个内角 A，B，C 成等差数列，
则 tan
A2 ＋tan
C2 ＋
3tan
A 2 tan
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题型二
三角函数的给值求值、给值求角
【例 2】 (1)已知 0<β<π2<α<π，且 思维启迪 解析 cosα－β2＝－91，sinα2－β＝32，
求 cos(α＋β)的值；
(2)已知 α，β∈(0，π)，且 tan(α －β)＝12，tan β＝－17，求 2α－β
2cos (2)
10°－sin sin 70°
20°的值是
()
1
3
A.2
B. 2
C. 3
D. 2
解析 (1)因为三个内角 A，B，C 成等差数列，且 A＋B＋C＝π，
所以 A＋C＝23π，A＋2 C＝3π，tan A＋2 C＝ 3，
所以 tan
A2＋tan
C2 ＋
3tan
A 2tan
C 2
＝tanA2＋C2 1－tan
思维启迪
【例 1】 (1)化简：
解1＋s(in1)θ由＋θc∈os(θ0， sπin)，θ2得－c0o<sθ2<θ2π2，∴cos
θ 2>0.
解析
思维升华
2＋2cos θ 因此 2＋2cos θ＝ (0<θ<π)．
4cos2θ2＝2cos
θ 2.
(又2)求(1＋值s：in θ＋cos θ)(sin
θ2－cos
θ2)＝(2sin
θ 2cos
θ2＋2cos2θ2)(sin
θ2－cos
θ 2)
1＝＋2s2icncoos2s02°θ20(°s－ins2θ2in－1c0o°s(2tθ2a)n1＝5－°－2tcaons 5θ2°c)o．s θ.
－2cos 故原式＝
θ
2cos θ
θ ＝－cos
θ.
2cos 2
选正弦较好．
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跟踪训练 2 (1)若 0<α<π2，－π2<β<0，cos(π4＋α)＝31，cos(π4－β2)
＝ 33，则 cos(α＋β2)等于
()
A．
3 3
B．－
3 3
C.5 9 3
D．－
6 9
(2)已知 sin α＝ 55，sin(α－β)＝－ 1100，α，β 均为锐角，则角 β
的值．
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题型二
三角函数的给值求值、给值求角
【例 2】 (1)已知 0<β<π2<α<π，且 cosα－β2＝－91，sinα2－β＝32，
求 cos(α＋β)的值；
思维启迪 解析 思维升华
(1)
拆
分
角
：
α＋β 2
等于 A．51π2
B．π3
C．π4
D．π6
()
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解析 (1)cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]
＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)，
∵0<α<2π，则π4<π4＋α<34π，∴sin(π4＋α)＝2
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题型二
三角函数的给值求值、给值求角
【例 2】 (1)已知 0<β<π2<α<π，且 思维启迪 解析 c求o∴＝sccαo－o－ss((19ααβ2＋×＋＝ββ3))－5＝的＋912值4，c9o；ss52i×αn＋223α2＝－β－7β217＝＝5，322×，4972×95－1＝－273299.
求 c(2o)s通(α过＋求β)角的的值某；种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以
(2)已下知原则α：，①β∈已(知0，正π切)，函且数值ta，n(选α 正切函数；②已知正、余弦函 －β数)＝值12，，选ta正n 弦β＝或余－弦17，函求数；2α若－角β的范围是0，π2，选正、余弦皆 的值可．；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，
【例co解s2α】－(1β2)(∵＝1)0已－<β知91<，π20<s<αiβn<<πα2π2，－<∴αβ<－＝π，π432<，且α2－β<思π2维，启π4<迪α－β2解<π析， 思维升华 求∴ccooss(αα2＋－ββ)＝的值；1－sin2α2－β＝ 35，
题型二
三角函数的给值求值、给值求角
【例c求(－2o∴又∴)sβ已2c)0∵αto】＝a<－知sn2t((12aαα2β2n，＋<αα(＝21π－2，tβ，)αa已)β－＝βn的)∈＝知191β值－2，(＝1t0t0＋aa；t，s<n－anitnβn2aπα17<2αn)αα2，π－2，2＝－<α求t且αta1βan2<－n×2＝πβtβα，a13＝ 1332－n2，且(＝1αβ－3434＋>34×0思17，17维＝启1迪.
数学 北（理）
§4.3 两角和与差的正弦、余 弦、正切
第四章 三角函数、解三角形
基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (Cα－β) cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β (Cα＋β) sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β (Sα－β) sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β (Sα＋β) tan(α－β)＝1t＋antaαn－αttaannββ (Tα－β) tan(α＋β)＝1t－antaαn＋αttaannββ (Tα＋β)
思维启迪 解析 思维升华
(0<θ<π)．
(2)求值：
1＋2sicnos202°0°－sin
1 10°(tan
5°－tan
5°)．
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题型一
三角函数式的化简与给角求值
【例 1】 (1)化简：
1＋sin θ＋cos θsin
θ2－cos
θ 2
2＋2cos θ
解析
思维升华
的值．
∵tan
β＝－17<0，∴2π<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－34π.
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题型二
三角函数的给值求值、给值求角
【例 2】 (1)已知 0<β<π2<α<π，且 思维启迪 解析 思维升华 cos(1α)－解β2题＝中－注意91，变s角in，α2如－本β题＝中32，α＋2 β＝(α－β2)－(α2－β)；
θ2－cos
θ 2
2＋2cos θ
思维启迪 解析 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三 看”原则，一看角，二看名，三 看式子结构与特征．
(0<θ<π)．
(2)对于给角求值问题，往往所给
(2)求值：
角都是非特殊角，解决这类问题的
1＋2sicnos202°0°－sin
1 10°(tan
5°－tan
5°)．
基本思路有：①化为特殊角的三角
函数值；②化为正、负相消的项，
消去求值；③化分子、分母出现公
约数进行约分求值．
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跟踪训练 1 (1)在△ABC 中，已知三个内角 A，B，C 成等差数列，
则 tan
A2 ＋tan
C2 ＋
3tan
A 2 tan
C2 的值为____3____．
思维升华
2ห้องสมุดไป่ตู้2cos θ
(＝0<2cθso<isnπ11)0．0°°－sin
10°·cossin255°°－cossin52°5°＝2csoisn
1100°°－sin
cos 10°·1
10°
2sin 10°
(2)求值：
1＝＋2s2cicsnooisns210210°00°°°－2sicnos101°0(°t＝an1c5o°s－120ts°ai－nn 1250s°i°)n．20°＝cos
思维启迪 解析 思维升华
(1)分母为根式，可以利用二 倍角公式去根号，然后寻求
(0<θ<π)．
分子分母的共同点进行约
(2)求值：
分；
1＋2sicnos202°0°－sin
1 10°(tan
5°－tan
5°)．
(2)切化弦、通分．
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题型一
三角函数式的化简与给角求值
(－的2∴s)值βi已nc)＝o．α知s－12α，β2α＋2，＝tβa＝βn∈cβo(＝s01，－－α－cπ17o)，2βs，2－求α且－α22－β2tαa＝－nβ(4αβ9 5，
＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β
知识回顾 理清教材
4．函数 f(x)＝asin α＋bcos α(a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a2＋b2sin(α＋φ)(其中 tan φ＝ba)或 f(α)＝ a2＋b2·cos(α－φ)(其中 tan φ＝ba)．
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夯基释疑
夯实基础 突破疑难
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三角函数式的化简与给角求值
思维启迪 解析
【例 1】 (1)化简：
(12＋)原si式n ＝ θ＋2×cos2sθ2icnos1si20n1°0cθ2°o－s 1c0o°s－θ2sin
cos 10°(sin
55°°－csoins
5° 5°)
2 3.
又－π2<β<0，则4π<π4－β2<π2，则
C2 的值为____3____．
2cos (2)
10°－sin sin 70°
20°的值是
(C)
1
3
A.2
B. 2
C. 3
D. 2
(2)原式＝2cos30°－sin207°0°－sin 20°
＝2cos
30°·cos
20°＋sin 30°·sin sin 70°
20°－sin
20°
＝ c3ocsos202°0°＝ 3.
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2．二倍角公式
sin 2α＝2sin αcos α；
cos 2α＝ cos2α－sin2α ＝ 2cos2α－1 ＝ 1－2sin2α ； 2tan α
tan 2α＝ 1－tan2α .
3．在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问
题号
1 2 3 4 5
答案
(1) √ (2) √ (3) × (4) × (5) √ (6) √
C
B
17 2
50
－
10 5
解析
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三角函数式的化简与给角求值
【例 1】 (1)化简：
1＋sin θ＋cos θsin
θ2－cos
θ 2
2＋2cos θ