三角函数(一轮复习教案)

第三章三角函数
知识网络
：
第一节角的概念与任意角的三角函数
考点梳理：
1．角的有关概念
(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
(2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．
(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)．
2．弧度与角度的互化
(1)1 弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1 弧度的角．
(2)角α的弧度数
l 在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为αrad，则
α＝
.
r
π180α
(3)角度与弧度的换算①n°＝n
180rad；②αrad＝( π) °.
(4)弧长、扇形面积的公式
2α. r 设扇形的弧长为l，圆心角大小
为α(rad)，半径为r，则
l＝r α，扇形的面积为S＝
1
2
lr ＝
1
2
3．任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P( x，y)，那么sinα＝y，cosα
y
＝x，tanα＝
.
x
(2)三角函数在各象限的符号
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
4．单位圆与三角函数线
(1)单位圆：半径为 1 的圆叫做单位圆．
(2)三角函数线．
(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
学情自测：
ππ
，2cos 1．已知锐角α终边上一点 A 的坐标是(2sin
3)，则α弧度数是( ) 3
πA．2 B.
3
π
C.
6
2π
D.
3
2．(2012 江·西高考)下列函数中，与函数y ＝
1
定义域相同的函数为( ) 3
x
A．y＝
1 lnx
B．y＝sinx x
sinx
C．y＝xe
x D．y＝
x
3．若sinα＜0 且tanα＞0，则α是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第三象限角D．第四象限角
4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．
5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，
且sinθ＝－典例探究：2 5
5
，则y＝________.
例1（角的集合表示）
(1)写出终边在直线y＝3x 上的角的集合；
(2)已知α是第三象限角，求α
所在的象限．2
变式训练1：
若角θ的终边与π
角的终边相同，则在[0, 2π)内终边与角
3
θ
的终边相同的角为________．
3
例2（弧度制的应用）
已知扇形的圆心角是α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长l.
(2)若扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
π
，R＝2cm，求扇形的弧所在的弓形的面积．
(3)若α＝
3
变式训练2：
已知半径为10 的圆O 中，弦AB 的长为10，
(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S.
例3（三角函数的定义）
(1)已知角α的终边经过点P( m，－3)，且cosα＝－4
5
，则m 等于( )
A．－11
4
11
4
B.
C．－4 D．4
(2)已知角α的终边在直线3x＋4y＝0 上，求sinα，cosα，tanα的值．变式训
练3：
设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P(x，5)，且cosα＝
2
x，求4sinα－3tanα的值．4
小结：
一条规律
三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余
弦．两个技巧
1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．
2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧．
三点注意
1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．
课后作
业(十六)角的概念与任意角的三角函数
一、选
择
题
图3－1－2
1．(2013 宁·波模拟)如图3－1－2，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P，若∠AOP＝θ，则点P 的坐标是( )
A．(cosθ，sinθ)
B．(－cosθ，sinθ)
C．(sinθ，cosθ)
D．(－sinθ，cosθ)
2．已知 2 弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
2
A．2B．sin2C. s in1D．2sin1
3．(2013 海·淀模拟)若α＝k·360°＋θ，β＝m·360°－θ(k，m∈Z)，则角α与β的终边的位
置关系是( )
A．重合B．关于原点对称
C．关于x 轴对称D．关于y 轴对称
4．若角α的终边在直线y＝－2x 上，且sinα＞0，则cosα和tanα的值分别为( )
A.
5
，－2B ．－
5
5
，－
5
1
2
C．－2 5
5
，－2D．－
5
，－2
5
5．(2013 昆·明模拟)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝1
5
x，则t anα
＝( )
A. 4
3
B.
3
4
C．－
3
4
D．－
4
3
3π 3
6．已知点P(sin π)在角θ的终边上，且θ∈[0, 2π)，则θ的值为( )
，cos
4 4
A. π
4B.
3π
4 C.
5π7π
4 D.
4
二、填空题
7．(2013 潍·坊模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是________．
|sinα| |cosα|
－＝________. 8．已知角α的终边落在直线y＝－3x( x＜0)上，则
sinαcosα
2π
2＋y2＝1 逆时针方向运
动
弧长到达
Q点，则Q点的 9．点P 从(1,0)出发，沿单
位
圆x
3
坐标
为________．
三、解答题
10．已知角θ的终边上有一点P( x，－1)( x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ的值．
11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，
(1)求AB 的长；
(2)求AB 所在弓形的面积．
12．角α终边上的点P 与A( a,2a)关于x 轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y＝x 对称，求sinα·cosα＋sinβ·c osβ＋tanα·t anβ的值．
第二节
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
考点梳理：
1．同角三角函数的基本关系式
2 2
(1)平方关系：sin α＋cos α＝1.
sinα
π
＋kπ，k∈Z)． (2)商数关系：tanα＝(α≠
cosα 2
2．诱导公式
学情自测：
1．已知cos(α－π)＝－5
，且α是第四象限角，则s inα＝( ) 13
A．－12
13
12
13
B.
5
C.
12
12
D．±
13
π
，则
θ等于( ) 2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜
2
A．－π
6B．－
πππ
3C.6D.
3
3．sin585 的°值为( )
A．－
2
B.
2
2
C．－
2
3
D.
2
3
2
4．若cosα＝－33π
且α∈(π，
5
2 )，则t anα＝( )
A. 3
4B.
4
3C．－
3
4D．－
4
3
5．(2012 辽·宁高考)已知sinα－cosα＝2，α∈(0，π)，则s in2α＝( )
A．－1B．－
2
C.
2
2
D．1
2
例1（同角三角函数关系式的应用
）
(1)(2013 潍·坊模拟)已知sinα＋3cosα
2
＝5，则s in
α－sinαcosα的值是() 3cosα－sinα
A. 2
5
B．－
2
5
C．－2 D．2
3π
(2)(2013 银·川模拟)已知α∈(π，)，tanα＝2，则c osα＝________.
2
【答案】(1)A (2)－
5 , 5
变式训
练1：
(2012 大·纲全国卷)已知α为第二象限角，sinα＝3
5
，则
s in2α＝( )
A．－24
25
B．－
12
25
12
25
C.
24
25
D.
例2（诱导公式的应用
）
sin 2π－α·sin π＋α·cos π＋α＝________. (1)已知tanα＝2，sinα＋cosα＜0，则
sin 3π－α·cos π＋α
(2)已知α为第三象限角，f(α)＝
①化简f(α)；
π
3π
＋α·tan π－α
sin α－·cos
2 2
，tan －α－π·sin －α－π
②若cos(α－3π
)＝
2
1
5
，求f(α)的值．
变式训
练2：
(1)(2013 烟·台模拟)sin600 ＋°t an240 的°值等于( )
A．－
3
2
B.
3
2
C. 3－
1
2
1
2
D. 3＋
(2)(2013 台·州模拟)已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)＋4(a，b，α，β为非零实数)，
f(2013)＝( )
若f(2012)＝5，则
A．3B．5C．1D．不能确定
例3（sin α±cosα与sinα·cosα的关系）
1 (2013 扬·州模拟)已知－π＜x＜0，sinx＋cosx＝5.
sin2x＋2sin
2x
(1)求sin x－cosx 的值；(2)求
1－tanx
的值．
变式训
练3：
已知－π
1 ＜x＜0，sinx＋cosx＝
.
2 5
(1)求sin x－cosx 的值；
(2)求tanx 的值．
小结：
一个口诀
诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象
限
．
两个防范
1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．
2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法
在求值与化简时，常用方法有：
sinα
(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝
cosα
进行弦、切互化．
2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化．
(2)和积转换法：利用(sinθ±cosθ)
π 2 2 2 2
(3)巧用“1”的变换：1＝sin θ＋cos θ＝cos θ(1＋tan θ)＝tan
等．
4
同角三角函数的基本关系式与诱导公式
一、选
择
题
1．(2013 郑·州模拟)记cos(－80°)＝k，那么tan100 ＝°()
2 2
1－k 1－k k k
A. 2D．－
B．－ C.
k k
2
1－k 1－k
π
＋θ)＝2．(2013 温·州模拟)若cos(
2
3
，且|θ|＜
2
π
，则
t anθ＝( )
2
A．－3B.
3
C．－
3
3
D. 3
3
π
3π
，0)，sin(－α－
3．(2013 济·南模拟)已知α∈(－)＝
2 2
5
则
s in(－π－α)＝( ) 5
5 2 5 5 2 5
A. B. C．－D．－
5 5 5 5
2θ＋sinθcosθ－2cos2θ＝( ) 4．(2013 保·定模拟)已知tanθ＝2，则s in
A．－4 5
3B.4C．－
3 4
4D.
5
5．(2013 普·宁模拟)若s inθ＋cosθsinθcosθ
＝2，则
＋的值为( )
3 3
sinθ－cosθcos θsin
θ
817 817 820 820
A．－ B. C. D．－
27 27 27 27
2－7x－6＝0 的根，
6．若sinα是5x
3π3π
2
－αtan
sin －α－2 sin
2π－α
2
则＝( ) ππ
－αcos ＋αsin π＋α cos
2 2
A. 3
5
B.
5 4 5
C. D.
3 5 4
二、填空题
π 3
3π
＋α)＝，则sin( －α)的值为________．
7．已知sin(
4 2 4
2 2
8．(2013 青·岛模拟)已知tanα＝2，则7sin α＋3cos α＝________.
π 1
7π5π
9．已知sin( x＋6)＝
2(
，则sin( ＋x)＋cos －x)＝________.
4 6 6
ππ
2
【解析】原式＝－sin( ＋x)＋cos ＋x)＝－
(
6 6
三、解答题1
4
＋(1－
1 11
2)＝
16.
4
10．已知函数f(x)＝1－sin x－
3π
π
2 ＋cos x＋2 ＋tan
cosx
3
4
π
.
(1)求函数y＝f(x)的定义域；
(2)设tanα＝－
4
3
，求f(α)的值．8
11．已知tan(α＋π)＝a.
7
15 13
sin π＋α＋3cos α－
π
7 7
求证：＝
20 22
sin π－α－cos α＋
π
7 7 a＋3 a＋1
.
．
12．在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－2sin(π－B)，3cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC 的三个内角．
第三节三角函数的图象与性质
考点梳理：
1．周期函数和最小正周期
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x 值，都满足 f (x＋T) ＝f (x)，那么函数f( x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．若在所有周期中，
存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数y＝sinx y＝cosx y＝tanx 图象
定义域
值域
单调
性
最大值和最小值
奇偶性
对
对称中心
称
性对称轴
最小正周期
学情自测：
1．函数y＝tan3x 的定义域为()
A．{ x |x≠3π
π＋3kπ，k∈Z} B．{ x|x≠＋kπ，k∈Z} 2 6
C．{ x |x≠－π
＋kπ，k∈Z}D ．{ x|x≠
6
π
kπ
＋
，k∈Z}
6 3
5π
2．函数f( x)＝2cos(x＋2 )是( )
A．最小正周期为2π的奇函数B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为2π的非奇非偶函数D．最小正周期为π的偶函数
π
3．(2012 福·建高考)函数f( x)＝sin(x－)的图象的一条对称轴是( )
4
A．x＝ππ
B．x＝C．x＝－
4 2
π
D．x＝－
4
π
2
4．比较大小：sin(－ππ
)________sin( －)．18 10
π
5．函数y＝2－3cos(x＋4)的最大值为________，此时x＝________.
典例探究：
例1（三角函数的定义域和值域）
πx (1)(2012 山·东高考)函数y＝2sin(
－
6 A．2－ 3 B．0
C．－1D．－1－ 3 π
)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为() 3
1
的定义域为________．
(2)函数y＝
tanx－1
变式
训练
1：
(1)函数y＝2sinx－1的定义域为________．
π7π
2
(2)当x∈[ ，x 的最小值是________，最大值是________．
6 ]时，函数y＝3－sinx－2cos 6
例2（三角函数的单调性）
(2012 北·京高考)已知函数f(x)＝s inx－cosx sin2 x
.
sinx
(1)求f (x)的定义域及最小正周期；
(2)求f (x)的单调递减区间．
变式
训练
2:
π
－2x)，求： (2013 武
·汉模
拟)已知函数y＝sin(
3
(1)函数的周期；
(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．
.
例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）
设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜
①它的最小正周期为π；π
2)，给出以下四个论断：
②它的图象关于直线x＝π
成轴对称图形；
12
π
③它的图象关于点(，0)成中心对称图形；
3 π
④在区间[－，0)上是增函数．
6
以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一
个命
题________(用序号表示即可)．
【答案】①②? ③④或①③? ②④,
变式
训练
3：
已知函数f(x)＝sin(πx－π
)－1，则下列说法正确的是( ) 2
A．f(x)是周期为 1 的奇函数
B．f (x)是周期为 2 的偶函数
C．f (x)是周期为 1 的非奇非偶函数
D．f(x)是周期为 2 的非奇非偶函数
小结：
两条性质
1.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f (x)为偶函数的充要条件是φ＝π
＋kπ(k∈Z)；2
(2)f (x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称
轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sinx、cosx 的有界性；
(2)化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把s inx 或cosx 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
课后作业
(十八)三角函数的图象与性质
一、选
择
题
1．(2013 银·川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π
对称的函数是3
( )
ππ
A．y＝2sin(2x＋3) B．y＝2sin(2x－
6)C．y＝2sin(
π
－x)的定义域是( )
2．函数y＝tan(
4 x ππ
＋3) D．y＝2sin(2 x－
3) 2
πππ
，k∈Z}D ．{ x |x≠kπ＋A．{ x |x≠}B ．{ x |x≠－}C ．{ x |x≠kπ＋
4 4 4
3．函数y＝sin2x＋sinx－1 的值域为( )
2x＋sinx－1 的值域为( ) 3π
，k∈Z} 4
5 5
，－1]C．[ －，1] D．[－1，
4 4
A．[－1,1]B ．[－5 4]
4．(2013 日·照质检)函数y＝sin2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直
线x＝
π
对称，则
φ的最小值为( )
6
A.
5π
B.
12
11π11π
C. D．以上都不对
6 12
πππ5．(2013 北·京模拟)已知函数f( x)＝sinx＋3cosx，设a＝f( )，b＝f( )，c＝f( )，则a，b，
7 6 3
c 的大小关系是( )
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a
6．已知函数 f (x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π若.f(x)的最小正周期为6π，，
且当x＝π
时，f (x)取得最大值，则
() 2
A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f (x)在区间[－3π，－π上]是增函数C．f (x)在区间[3 π，5π上]是减函数D．f(x)在区间[4 π，6π上]是减函数二、填空题
7．(2013 延·吉模拟)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)，f(α)＝A，f(β)＝0，|α－β|的最小值为π
，则3
正数ω＝________.
π
8．已知函数f(x)＝3sin(ωx－6)(ω＞0)和g( x)＝2cos(2x＋φ)＋1 的图象的对称轴完全相同，π
若x∈[0，
2]，则f(x)的取值范围是________．
9．已知函数f(x)＝cosxsin x(x∈R)，给出下列四个命题：①若f( x1)＝－f (x2)，则x1＝－x2；②f (x)的最小正周期是2π；
③f(x)在区间[－π
，
4
π
]上是增函数；④f( x)的图象关于直线x＝
4
3π
对称．
4
其中真命题是________．
三、解答题
10．已知函数f(x)＝sin xcosx＋sin
2x，π
(1)求f()的值；
4
π
(2)若x∈[0，2]，求f(x)的最大值及相应的x 值．.
11．设函数f(x)＝sin(2 x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f( x)图象的一条对称轴是直线x＝
(1)求φ；
(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．π，8
12．(2013 潍·坊模拟)已知向量a＝(Asinωx，Acosωx)，b＝(cosθ，sinθ)，f(x)＝a·b＋1，
其中A＞0，ω＞0，θ为锐角．f(x)的图象的两个相邻对称中心的距
离
为取得最大值 3.
(1)求f (x)的解析式；π
，且当x＝
2
π
时，f(x)
12
(2)将f (x)的图象先向下平移 1 个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g(x)的图象，若g( x) 为奇函数，求φ的最小值．
第四节
函数y＝A sin( ωx＋φ)的图象及三角函数应
用
考点梳理：
1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A
振幅周期频率
相位初相
＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个
振动量时
2π
A T＝
ω
f＝
1
T
＝
ω
2π
ωx＋φφ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
3.由y＝sinx 的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
思考：
1．五点作法作y＝Asin(ωx＋φ)的图象，首先确定哪些数据？
【提示】先确定ωx＋φ，即先使ωx＋φ等于0，π
3π
，π，，2π，然后求出x的值．2 2
2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样
？
学情自测：
π
1．已知简谐运动f(x)＝2sin( 3x＋φ)(|φ|＜π
2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周
期T 和初相φ分别为( )
A．T＝6，φ＝π
6
π
B．T＝6，φ＝
C．T＝6π，φ＝
3
π
D．T＝6π，φ＝
6
π
3
1
2．把y＝sin
2x 的图象上点的横坐标变为原来的 2 倍得到y＝sinωx的图象，则ω的值为
1
4
( )A ．1 B．4C.
D．2
3．将函数y＝sinx 的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，再把所得图
象上所有的点向右平行移动
π
个单位，得到图象的函数解析式为( ) 10
ππ
1 A．y＝sin(
2 x－10) B．y＝sin(2 x－20 )C．y＝sin(
2x－
π
1
10) D．y＝sin(2x－
π
20)
4．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π
)的部分图象如图3－4－1 所示，则( ) 2
图3－4－1
A．ω＝1，φ＝π
6
B．ω＝1，φ＝－
π
C．ω＝2，φ＝
6
π
D．ω＝2，φ＝－
6
π
6
5．(2012 安·徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x 的图象( ) A．向左平移 1 个单位B．向右平移 1 个单位
C．向左平移1
2
个单位D．向右平移
1
2
个单位
典例探究：
例1（函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换）
(1)(2012 浙·江高考)把函数y＝cos2x＋1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标
不变)，然后向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到的图象是( )
π
(2)(2013 大·连模拟)设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2 的图象向右平移
3
合，则ω的最小值是( ) 4π
个单位后与原图象重3
A. 2
3
B.4
3
C.3
2 D．3
变式训练1：
(1)(2013 济·南模拟)要得到函数y＝sin(2 x－π
3)的图象，只需将函数y＝sin2x 的图象( )
A．向左平移
π
个单位B．向右平移
12
π
个单位
12
C．向左平移π
个单位D．向右平移
6
π
个单位
6
π
(2)(2013 青·岛质检)将函数y＝sin( x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标
3
不变)，再将所得图象向左平移π
个单位，则所得函数图象对应的解析式为( ) 3
1 1 1
ππ
A．y＝sin(2x－3) B．y＝sin(2 x－
6)C．y＝sin2xD．y＝sin(2x－π6)
例2（作函数y＝A s in(ωx＋φ)的图象）
2x－2sinxcosx－sin2x.
已知函数f(x)＝cos
图3－4－2
(1)将f (x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式；
(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f( x)在[0，π上]的图象．
变式训练2：已知函数f(x)＝sin(2x＋(1)求函数y＝f(x)的单调递增区间；π)．3
(2)画出函数y＝f (x)在区间[0，π上]的图象．
【
例3（求函数y＝A s in(ωx＋φ)的解析式）
(1)(2013 无·锡模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)( A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图 3
－4－3 所示，则f(0)的值是________．
图3－4－3
π
(2)(2013 厦·门模拟)已知函数f(x)＝Asin(
6x＋φ)(A＞0,0＜φ
＜π
2)的部分图象如图3－4－4 所示，
P、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(2，A)，点R 的坐标为(2,0)．若∠2π
，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是( )
PRQ＝
3
图3－4－4
πA．2 3，
6 B. 3，
πππ
3C. 3，6D．2 3，
3
变式训练3：
如图3－4－5 是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )
图3－4－5
4π
A．A＝3，T＝，φ＝－
3 π
4π3πB．A＝1，T＝，φ＝
6 3 4
C．A＝1，T＝4π
，φ＝－
3
3π
D．A＝1，T＝
4
4π
，φ＝－
3
π
6
例4（三角函数模型的简单应用）
如图3－4－6 为一个缆车示意图，该缆车半径为 4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60 秒转动一圈，图中OA 与地面垂直，以OA 为始边，逆时针转动θ角到OB，设 B 点与地面间的距离为h.
(1)求h 与θ间关系的函数解析式；
(2)设从OA 开始转动，经过t 秒后到达OB，求h 与t 之间的函数关系式，并求缆车到
达最高点时用的最少时间是多少？
图3－4－6
变式训练4：
以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在 6 元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知 3 月份出厂价格最高为8 元，7 月份出厂价格最低为 4 元，而该商品在商店的销售价格是在8 元基础上按月份随正弦曲线波动的，
并且已知 5 月份销售价最高为10 元，9 月份销售价最低为 6 元，假设某商店每月购进这种
商品m 件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．
小结：
一种方法
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝M－m
，b＝
2
M＋m
，
2
ω由周期T 确定，即由一个区别2π
＝T 求出，φ由特殊点确定．ω
由y＝sinx 的图象变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，两种变换的区别：先相位变换再周
期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量|φ|
是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x 而言的．
ω
课后作业(十九)函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用
一、选择题
ππ1．(2013 珠·海模拟)要得到函数y＝sin( x－
6)的图象可将函数y＝sin(x＋6)的图象上的所有点( )
A．向右平移π
个长度单位B．向左平移
6
π
个长度单位
6
C．向右平移π
个长度单位D．向左平移
3
π
个长度单位
3
图3－4－7
2．函数f( x)＝Asin(2 x＋φ)( A，φ∈R)的部分图象如图3－4－7 所示，那么f(0)＝( )
A．－1
2B．－1C．－
3
2 D．－ 3
3．(2013 威·海质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，|φ|＜π
2)的图象如图3－4－8 所示，
为了得到函数g(x)＝cos2x 的图象，则只要将函数f(x)的图象( )
图3－4－8
A．向右平移π
个单位长度B．向右平移
6
π
个单位长度
12
C．向左平移π
个单位长度D．向左平移
6
π
个单位长度
12
4．(2013 青·岛模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如
图3－4－9 所示，△EFG 是边长为 2 的等边三角形，则f(1)的值为( )
图3－4－9
A．－
3
2 B．－
6
2 C. 3D ．－ 3
5．(2013 吉·安模拟)函数f( x)＝2sin(ωx＋π
)(ω＞0)与函数g(x)＝cos(2x＋φ)(|φ|＜
4
π
)的对称
2
轴完全相同，则φ的值
为( )
A. π
B．－
4
ππ
C. D．－
4 2
π
2
图3－4－10
ππ 6．已知函数f( x)＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|
＜)，y＝f(x)的部分图象如
图3－4－10，则f( )
2 24 ＝( )
A．2＋3B. 3C.
3
D．2－ 3 3
二、填空题
7．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝π
所得线段
长为
4
ππ
，则
f(
4
4)＝
________.
ππ8．(2013 荆·州模拟)已知f( x)＝cos(2x＋φ)，其中φ∈[0, 2π)，若f( )＝f( )，且f(x)在区间6 3 ππ
( ，3)上有最小值，无最大值，则φ＝________.
6
9．(2013 长·沙模拟)若将函数y＝sin(ωx＋5π
π
)(ω＞0)的图象向右平移个单位长度后，与6 3
π
函数y＝sin(ωx＋
)的图象重合，则ω的最小值为________．
4
三、解答题
10．已知函数f(x)＝2cos
2x＋2 3sinxcosx－1.
(1)求f (x)的周期和单调递增区间；
(2)说明f(x)的图象可由y＝sinx 的图象经过怎样变化得到．
11．(2013 杭·州模拟)设x∈R，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，－π
＜φ＜0)的最小正周期2
π
为π，且f(
4)＝
3
2 .
图3－4－11
(1)求ω和φ的值；
(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π上]的图象；
(3)若f (x)＞
2
，求x 的取值范围
．2
12．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f( x)
图象的两相邻对称轴间
的
距
离
为
π
(1)求f()的值；
8 π4.
π (2)将函数y＝f(x)的图象向右平移
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原
6
来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．
考点梳理：
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
2．形如asin x＋bcosx 的式子化简
2＋b2sin( x＋φ)(其中sinφ＝asinx＋bcosx＝ a
b
，cosφ＝
2＋b2
a
a
)．
2＋b2
a
思考：
若sinα＋cosβ＝m，cosα＋sinβ＝n，你能用m、n 表示sin(α＋β)吗？
2 2 2
【提示】由sinα＋cosβ＝m 得sin
α＋cos β＋2sinαcosβ＝m ， 2 2 2，由cosα＋sinβ＝n 得cos
α＋sin β＋2cosαsinβ＝n
∴2＋2sin(α＋β)＝ m
2＋n2－
2)．(m
2
学情自测：
1．sin34 s°in26 －°cos34 °c os26 °的值是( )
A. 1
2
B.
3
C．－
2
1
2
D．－
3
2
2．cos28 °c os73 °＋cos62 °c os17 °的值是( )
A．－1
2B.
3
3 C.
2
2 D.
3
2
3．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α＝( )
A. 1
8
B．－
1 4
C. D．－
8 7
4
7
4．若cosα＝－4
5
，α是第三象限角，则sin(α＋
π
4)＝( )
A．－7 2 7 2
B. C．－
10 10
2
D.
10
2
10
5．(2012 江·西高考)若s inα＋cosα
＝
sinα－cosα
1
2
，则tan2α＝( )
A．－3 3
4B.4C．－
4 4
3D.
3
典例探究：
例1（三角函数式的化简）
化简：(1)sin50 (°1＋3tan10°)；
(2)
θ
－
c
o
s
2
1＋sinθ＋cosθsin
2＋
θ
2
(0＜θ＜
π)．
2cosθ
变式训练 1：
化简： (1) 2＋2cos8＋2 1－sin8；
1
2cos
4x －2cos 2x ＋
2
(2) .
π π 2tan
2 x ＋ －x sin 4 4
例 2（ 三角函数的给值求值 ）
(1)(2012 江·苏高考 )设 α为锐角，若 cos(α＋ π 4
5
，则 sin(2α＋ 6)＝ π
12)的值为 ________． (2)(2013 烟·台模拟 )已知 cos(α－
4 3 7π π
，则 sin(α＋
6)＋sin α＝ 6 )＝________.
5
17 2 50 【答案】 (1) 4 5
(2)－ 变式训练 2：
π 已知 0＜β＜
＜α＜ 2
3π 3 3π 5 π ，cos( －α)＝ ，sin( ＋β)＝ ，求 sin(α＋
β)的值．
4 4
5 4 13
例 3（ 三角函数的给值求角 ）
已知 0＜α＜ π α ＜β＜π，tan ＝ 2 2 1 2
，cos(β－ α)
＝
2
10 . (1) 求 sin α的值； (2)求 β的值．
变式训练 3： 已知 cos α＝ 1 7
，cos(α－ β)
＝
13 π ，且 0＜ β＜α＜ ，试求角 β的值． 14 2
小结：
一点注意
三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．两个技巧
α＋β5.拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝
－
2 α－β
，
2
α－β
＝(α
2
βα
＋
)－(
＋β)．
2 2
2．化简技巧：切化弦，“1”的代换等．三
种变化
1.变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．
2．变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”、“升幂与降幂”等．3．变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．
课后作
业(二十)和角公式
一、选
择
题
3－sin70 °
＝( )
1．(2013 济·南模拟)
2－cos
210°
A. 1
2
B.
2
C．2D.
2
3
2
2．在△ABC 中，tan A＋tanB＋3＝3tanA t anB，则C 等于( )
A. π
B.
3
2π
C.
3
ππ
D.
6 4
1
3．(2013 温·州模拟)设a＝cos6 °－
2
3
sin6 ，°b＝2sin13 c°o s13 °，c＝
2
1－cos50 °
，则有
2
( )
A．a＞b＞cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．a＜c＜b
4．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝4π
，且α是第二象限角，则tan( ＋α)等于( ) 5 4
1 A．7B．－7C.7D．－1 7
5．(2013 烟·台模拟)已知α为锐角，cosα＝
5
π
，则tan( ＋2α)＝( ) 5 4
A．－3B．－1
7C．－
4
3D．－7
6．(2013 嘉·兴模拟)若0＜α＜π
，－
2
ππ
＜β＜0，cos( ＋α)＝
2 4
1 π
，cos( －
3 4
β
)＝
2
3
，则cos(α
3
β
＋)＝( ) 2
A.
3
B．－
3
3 5 3
C.
3 9
D．－
6
9
二、填空题
7．(2013 南·京模拟)已知tan(x＋
＝1－tan
2x
1 1 4
＝(1－)＝.
2 2 9 9
π
)＝2，则
4
tanx
的值为________．
tan2x
π
3 π
2
)＝，
，θ∈( π)，则cosθ＝________.
8．已知sin(θ＋
3 5 6 3
1 3
，cos(α－β)＝，则tanα·t anβ＝________. 9．(2013 苏·北四市模拟)若cos(α＋β)＝
5 5
【三、解答题
10．已知函数f(x)＝2sin(
5π
(1)求f(
4 )的值；1π
x－)，x∈R.
3 6
π
(2)设α，β∈[0，
2]，f(3α＋π
2)＝
10 6
，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
13 5
11．(2013 黄·冈模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0≤φ≤π)为偶函数，其图象上相邻的两个最低点间的距
离
为2π.
(1)求f (x)的解析式；
πππ 1 2π
(2)若α∈(－，2)，f(α＋3)＝ 3 )的值．
，求sin(2α＋
3 3
7π3π
12．已知函数f(x)＝sin( x＋)＋cos(x－)，x∈R.
4 4
(1)求f (x)的最小正周期和最小值；
4
5
，cos(β＋α)＝－(2)已知cos(β－α)＝
求证：[f(β)]2－2＝0.
2－2＝0. 4
，0＜α＜β≤
5
π
，
2
第六节
倍角公式与半角公式
考点梳理：
2α2α2α
，cos ，tan 1．用cosα表示sin
2 2 2
2αsin
＝
2 1－cosα2α
，cos
＝
2 2
1＋cosα2α1－cosα
，tan ＝
.
2 2 1＋cosα
α 2．用sinα，cosα表示tan
2
α＝sinα
tan ＝2
1＋cosα1－cosα
. sinα
3．辅助角公式
2＋b2sin(α＋φ)(其中tanφ＝asinα＋bcosα＝ a b a)．
4．“1”的妙用
ππ 2 2 2 2 ＝cos0＝tan ＝1. sin α＋cos α＝1，cos2α＋2sin α＝1,1＝2cos α－cos2α，sin
2 4 αsinα
tan
＝的推导过程吗？
2
1＋cosα
学情自测：
1．若sin76 ＝°m，用含m 的式子表示cos7 °为( )
A. 1＋m
2
1－m
B.
2
C．±
1＋m
2
D.
1＋m
2
2．对于函数f(x)＝2sin x cosx，下列选项中正确的是( ) ππ
A．f(x)在( )上是递增的B．f(x)的图象关于原点对称
，
4 2
C．f (x)的最小正周期为2πD．f(x)的最大值为 2 3．化简2＋cos2－sin 21的结果是( ) A．－cos1B．cos1C. 3cos1D．－3cos1
π4．(2012 山·东高考)若θ∈[
，
4 π
]，sin2θ＝
2
3 7
8
，则
s inθ＝( )
A. 3
5
B.
4
5
C.
7
D.
4
3
4
π
5．(2013 台·州模拟)函数f( x)＝sin )的最小正周期是________．
2(2x－
4
典例探究：
例1（三角函数式的化简）
化简：(
1
tan
1－cos2α
α
－tan
) ·. α
2 sin2α
2
变式训
练1：
已知函数f(x)＝1－x
π
，π)，则f(cosα)＋f(－cosα)可化简为________．.如果α∈(
1＋x 2
例2（三角函数式的求值）
sin47 －°s in17 c°o s30 °＝( ) (1)(2012 重·庆高考)
cos17 °
A．－
3
2
B．－
1
2
1
2
C.
D.
3
2
π
－α)＝
(2)(2013 合·肥模拟)已知cos(
4
10
【答案】(1)C (2)
13 变式训
练2: 12 π
cos2α
，α∈(0，＝________.
13 π
4)，则
sin ＋α
4
x x
已知sin －2cos ＝0.(1)求tanx 的值；(2)求
2 2
例3:（三角变换的简单应用）
cos2x
的值．π
＋x ·sinx
2cos
4
(2012 安·徽高考)设函数f(x)＝(1)求f (x)的最小正周期；
2
2 cos(2 x＋
π
2x.
4)＋sin
(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋ππ
1
－f(x)，求g( x) )＝g(x)，且当x∈[0，]时，g(x)＝
2 2 2
在区间
[－π，0]上的解析式．
g(x)＝1
2
π
sin2x，x∈[－π，－
，
2
,
－1π
，0]. 2sin2x，x∈[－
2
变式训
练3：
2x x x 1 (2012 ·四川高考)已知函数f(x)＝cos cos .
2 2 2 2
－sin －
(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；
(2)若f(α)＝3 2
10
，求sin2α的值．
小结：
一个转化
把函数式转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，是求函数周期、最值、值域、单调区间等的
关键．
三种形式
三角恒等变换中常见的三种形式：一是化简，二是求值，三是三角恒等式的证明．
(1)三角函数的化简常用方法有切化弦、利用诱导公式、同角三角函数关系式及和、差、倍角公式进行转化求解．
(2)三角函数求值分为条件求值与非条件求值，对条件求值问题要充分利用条件进行转
化求解．
(3)三角恒等式的证明，要看左右两边角、函数名、结构之间的关系化异为同．
第七节正弦定理和余弦定理
学习目标：
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
考点梳理：
1．正弦定理和余弦定理
定理正弦定理余弦定理
内容
变形形式
解决问题
2.三角形常用面积公式
思考：
1．在△ABC 中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的什么条件？“A＞B”是“cosA＜cosB”的什么条件？
2．如何利用余弦定理来判定三角形中角 A 为锐角、直角、钝角？
学情自测：
1．已知△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c.若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b＝( )
A．2B．4＋2 3C．4－2 3D. 6－ 2
2．在△ABC 中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝( )
A.
6 2 2
B. C．－
3 3
6
D．－
3
2 2
3
3．在△ABC 中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( )
A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定
4．在△ABC 中，已知∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，BC＝3，则AC＝________.
5．△ABC 中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，则△ABC 的面积为________．
典例探究：
例1（利用正、余弦定理解三角形）
(2013 青·岛模拟)△ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，asin Asin B＋bcos
2A
＝2a.(1)求b
a
；(2)若c2＝b2＋3a2，求 B.
2＝b2＋3a2，求
B.
变式训练1：在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，且bsinA＝3acosB.
(1)求角 B 的大小；
(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c 的值．
例2（判定三角形的形状）
(2013 合·肥模拟)已知△ABC 的三个内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，向量m＝(4，2A 7
－1)，n＝(cos ，cos2A)，且m·n＝
.
2 2
(1)求角 A 的大小；(2)若b＋c＝2a＝2 3，试判断△ABC 的形状．
变式训练2：
在△ABC 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且2asinA＝(2b＋c)sin B＋(2 c＋b)sinC.
(1)求A 的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC 的形状．
例3（与三角形面积有关的问题）
)已知a，b，c 分别为△ABC 三个内角A，B，C 的对边，acosC＋3asinC－b－c＝0.
(1)求A；
(2)若a＝2，△ABC 的面积为3，求b，c.
变式训练3：
2
·江高考)在△ABC 中，内角A，B，C 的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝ 5 (2012 浙
3
cosC.
(1)求tanC 的值；
(2)若a＝2，求△ABC 的面积．
小结：
一条规律
在△ABC 中，A＞B? a＞b? sinA＞sinB.
一点注意
已知两边及一边的对角，利用正弦定理求其它边或角．可能有一解、两解、无解．两种途径
判定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角； (2)化角为边，并常用正弦 (余弦 )
定理实施边、角转换.
课后作业(二十二 ) 正弦定理和余弦定理
一、选择
题 1．(2013 宁· 波模拟)在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.若 a c osA ＝bsin B ， 2B ＝( ) 则 sin A cosA ＋cos
1 1
A ．－ B. C ．－ 1D ．1
2 2
2．在△ ABC 中， sin
2A ≤ sin 2B ＋ sin 2C －sin B s in C ，则 A 的取值范围是 ( ) A ．(0， π π π π ，π] C ．(0， ，π)
] B ．[ ] D ．[ 6 6 3 3
3．(2013 汕· 头模拟)已知在△ ABC 中，角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若
a cos ＝ A
2
b cos ，
c 2＝a 2＋b 2－ ab ，则△ ABC 的形状是
( ) 2＝a 2＋b 2－ ab ，则△ ABC 的形状是 ( )
B 2
A ．钝角三角形
B ．等边三角形
C ．直角三角形
D ．等腰直角三角形 4．在△ ABC 中， AC ＝ 7，BC ＝2，B ＝60°，则 BC 边上的高等于( )
A. 3 3 3
B.
C. 2 2 3＋ 6
D. 2
3＋ 39 4
5．(2013 福· 州模拟)已知△ ABC 的面积为 A ．30°B ．60°C ． 90°D ．150° 3
，AC ＝2，∠ BAC ＝60°，则∠ ACB ＝ (
)
2 6．(2012 湖· 北高考 )设△ ABC 的内角 A ， B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c ，若三边的长为
连续的三个正整数，且 A >B> C , 3b ＝20a c osA ，则 sinA ∶ sinB ∶ sinC 为 (
)
A ．4∶ 3∶ 2
B ． 5∶ 6∶ 7
C ．5∶ 4∶ 3
D ．6∶ 5∶ 4
二、填空题
7．(2013 潍· 坊模拟)在锐角三角形 ABC 中，角 A 、B 、C 的对边分别是 a 、b 、c ，a ＝2bsinA ， ac ＝ 8，则△ ABC 的面积是 ________． 8．(2012 湖· 北高考 )设△ ABC 的内角 A ，B ，C 所对的边分别为 a ，b ，c.若(a ＋b －c)( a ＋b ＋c)＝ab ，则角 C ＝________.
2－c 2＝b ，且 b 9．(2013 昆· 明模拟)△ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a ，b ，c ，若 a ＝3ccosA ，则 b ＝________.
三、解答题
2＋c 2＝a 2＋bc. 10．在△ ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，且 b (1)求角 A 的大小；
(2)若 sin B ·sinC ＝sin
2A ，试判断△
ABC 的形状．
．
11．(2012 江· 西高考 )在△ ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c.已知 3cos(B － C)
－1＝6cosBcosC.
(1)求 cosA ；
(2)若 a ＝3，△ ABC 的面积为 2 2，求 b ， c.
2 2
12．(2013 ·泉州模拟)已知f (x)＝cos ωx－sin ωx＋2 3sinωx cosωx，且周期T＝π.
(1)求ω的值；
(2)在△ABC 中，a，b，c 分别是角A、B、C 的对边，f(A)＝1，c＝2，S△ABC＝
3
，求a 2
的值．
第八节正弦定理、余弦定理的应用举例
考点梳理：
1．仰角和俯角
2．方位角和方向角
学情自测：
1．如图3－8－3 所示，已知两座灯塔 A 和B 与海洋观察站 C 的距离都等于akm，灯塔A 在观察站 C 的北偏东20°，灯塔 B 在观察站 C 的南偏东40°，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为( )
A．akm B. 3akmC. 2akmD ．2akm
图3－8－3
2．一船自西向东航行，上午10 时到达灯塔P 的南偏西75°、距塔68 海里的M 处，下午2 时到达这座灯塔的东南方向的N 处，则这只船航行的速度为( )
A. 17 6 17 2
海里/时B．34 6海里/时C. 海里/时D．34 2海里/时2 2
3．(2011 上·海高考)在相距 2 千米的A、B 两点处测量目标点C，若∠CAB＝75°，∠CBA ＝60°，则A、C 两点之间的距离为________千米．
4．在200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为
________米．
图3－8－4
5．(2013 扬·州模拟)如图3－8－4，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B 望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m．则这条河的宽度为________m.
典例探究：
例1（测量距离问题）
(2013 烟·台调研)如图3－8－5 所示，A，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于 A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位
于B 点南偏西60°且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30 海里/小时，该救援船到达 D 点需要多长时间？
图3－8－5
变式
训练
1：
某单位在地震救灾中，需要在A、B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距6000m 的C、D 两地(A、B、C、D 在同一个平面上)，测得∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，
∠BDC ＝15°(如图3－8－6)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线
长度大约
应该是
A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据： 2
≈ 1.4，3≈ 1.7，7≈ 2.6)
图3－8－6
例2（测量高度问题）
(2013 郑·州质检)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A、B、C 三地位于同一水平面上，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A、
B 两地相距100 米，∠BAC＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B地晚2
秒．在 A 地测得17
该仪器至最高点H 时的仰角为
30°，求该仪器的垂直弹射高度(声音的传播速度为
340 米/秒) 变式
训练
2：
某人在 C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶A仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10
米到D，测得塔顶
A的仰角为
30°，求该塔的高度．
例3（测量角度问题
）
在海岸 A 处，发现北偏东
45°方向、距离 A 处( 3－1)海里的 B 处有一艘走私船；在 A 处北偏西
75°方向、距离 A 处2 海里的 C 处的缉私船奉命以10 3海里/小时的速度追截走私船．同时，走私船正以10 海里/小时的速度从B处向北偏东
30°方向逃窜，问缉私船什么
方
向能最快追上走私船？最少要花多少时间？
6
小时．
10
变式训练3：
如图3－8－8 所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40 海里的 B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20 海里的 C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往 B 处救援，求cosθ的值．
图3－8－8
.
小结：
一个程序
解三角形应用题的一般步骤：
(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求
等．
两种情形
解三角形应用题常有以下两种情形：
(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理
或余弦定理求解．
(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需
作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从
几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．。