高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线教师用书 理 苏教版(2021年最新整理)

（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6 双曲线教师用书理苏教版
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第九章平面解析几何 9。

6 双曲线教师用书理苏教版
1。

双曲线定义
平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。

集合P＝｛M||MF1－MF2｜＝2a｝,F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0,c>0。

(1)当2a<F1F2时,P点的轨迹是双曲线；
（2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；
（3）当2a〉F1F2时，P点不存在。

2.双曲线的标准方程和几何性质
标准方程错误!－错误!＝1
（a>0,b〉0)
y2
a2
－错误!＝1
（a〉0，b>0)
图形
性质
范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴：坐标轴对称中心:原点
顶点A1（－a,0），A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a）渐近线y＝±错误!x y＝±
a
b
x
离心率e＝错误!，e∈(1，＋∞)，其中c＝错误!
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2
叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实
半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a、b、c的关系c2＝a2＋b2（c>a>0，c〉b〉0)
【知识拓展】
巧设双曲线方程
(1)与双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b〉0）有共同渐近线的方程可表示为错误!－错误!＝t(t≠0)。

（2)过已知两个点的双曲线方程可设为错误!＋错误!＝1(mn<0).
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4）,F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.（×) (2）方程错误!－错误!＝1(mn〉0)表示焦点在x轴上的双曲线.（×)
(3）双曲线方程错误!－错误!＝λ(m>0，n〉0，λ≠0）的渐近线方程是错误!－错误!＝0,即错误!±错误!＝0。

（√)
(4）等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于错误!。

( √)
（5）若双曲线错误!－错误!＝1(a〉0,b>0）与错误!－错误!＝1(a〉0,b>0）的离心率分别是e1，e
，则错误!＋错误!＝1（此结论中两条双曲线称为共轭双曲线）.（√)
2
1。

(教材改编)若双曲线错误!－错误!＝1 (a〉0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________。

答案错误!
解析由题意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2。

∴e2＝错误!＝5，∴e＝错误!。

2.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上,C与抛物线y2＝16x的准线交于A,B两点,AB＝43，则C的实轴长为________.
答案4
解析由题设C：错误!－错误!＝1。

∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立错误!－错误!＝1和x＝－4,得A（－4，错误!）,B(－4，－错误!)，
∴AB＝2错误!＝4错误!，
∴a＝2，∴2a＝4。

∴C的实轴长为4.
3.（2016·无锡一模)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x,那么双曲线的离心率为________.
答案错误!
解析根据题意,设双曲线的方程为错误!－错误!＝1，则错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＝错误!，即双曲线的离心率为错误!.
4.（2016·江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线错误!－错误!＝1的焦距是________.
答案210
解析由已知，a2＝7，b2＝3,则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2错误!。

5。

双曲线错误!－y2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________。

答案错误!
解析双曲线的一个顶点坐标为(2，0)，
一条渐近线方程是y＝1
2
x，即x－2y＝0,
则顶点到渐近线的距离d＝错误!＝错误!。

题型一双曲线的定义及标准方程
命题点1 利用定义求轨迹方程
例1 已知圆C1：（x＋3)2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为____________________.
答案x2－错误!＝1（x≤－1）
解析如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件，
得MC1－AC1＝MA，
MC
－BC2＝MB，
2
因为MA＝MB,
所以MC1－AC1＝
MC
－BC2,
2
即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2＝6。

又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1,c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－错误!＝1（x≤－1)。

命题点2 利用待定系数法求双曲线方程
例2 根据下列条件,求双曲线的标准方程：
(1）虚轴长为12，离心率为错误!;
(2）焦距为26，且经过点M(0,12);
(3）经过两点P(－3，2错误!)和Q（－6错误!,－7）。

解（1）设双曲线的标准方程为
错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1(a>0,b〉0).
由题意知,2b＝12，e＝错误!＝错误!.
∴b＝6,c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1或错误!－错误!＝1.
(2)∵双曲线经过点M（0,12),∴M（0，12)为双曲线的一个顶点,故焦点在y轴上，且a＝12。

又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。

(3）设双曲线方程为mx2－ny2＝1（mn〉0）。

∴错误!解得错误!
∴双曲线的标准方程为错误!－错误!＝1。

命题点3 利用定义解决焦点三角形问题
例3 已知F1，F2为双曲线C:x2－y2＝2的左，右焦点，点P在C上，PF1＝2PF2,则cos∠F1PF2＝________.
答案 错误!
解析 ∵由双曲线的定义有PF 1－PF 2 ＝PF 2＝2a ＝2错误!, ∴PF 1＝2PF 2＝42， 则cos∠F 1PF 2＝错误! ＝错误!＝错误!.
引申探究
1.本例中,若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“∠F 1PF 2＝60°",则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ＝2错误!， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos∠F 1PF 2＝错误!
＝错误!，所以PF 1·PF 2＝8，
所以1
2
F PF S △＝错误!PF 1·PF 2·sin 60°＝2错误!.
2。

本例中,若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“错误!·错误!＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ＝2错误!,
由于错误!·错误!＝0，所以错误!⊥错误!，
所以在△F 1PF 2中,有PF 错误!＋PF 错误!＝F 1F 错误!， 即PF 2
1＋PF 错误!＝16， 所以PF 1·PF 2＝4，
所以1
2
F PF S △＝错误!PF 1·PF 2＝2.
思维升华 （1）利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出双曲线方程.
(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理，经常结合｜PF 1－PF 2｜＝2a ，运用平方的方法，建立与PF 1·PF 2的联系.
(3）待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量,即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，
求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为错误!－错误!＝λ（λ≠0），再由条件求出λ的值即可。

（1)已知F1，F2为双曲线x2
5
－错误!＝1的左,右焦点，P(3,1)为双曲线内一点,点A
在双曲线上，则AP＋AF2的最小值为__________。

(2)设F1，F2分别为双曲线错误!－错误!＝1(a>0,b〉0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P使得PF
1
＋PF2＝3b,PF1·PF2＝错误!ab,则该双曲线的离心率为________。

答案(1）37－2错误!(2)错误!
解析(1)由题意知，AP＋AF2＝AP＋AF1－2a,要求AP＋AF2的最小值,只需求AP＋AF1的最小值，当A，P,F1三点共线时，取得最小值，
则AP＋AF1＝PF1＝错误!＝错误!,
∴AP＋AF2的最小值为AP＋AF1－2a＝错误!－2错误!.
(2)不妨设P为双曲线右支上一点，PF1＝r1,PF2＝r2。

根据双曲线的定义，得r1－r2＝2a，
又r1＋r2＝3b，故r1＝错误!,r2＝错误!.
又r1·r2＝错误!ab，所以错误!·错误!＝错误!ab，解得错误!＝错误!(负值舍去)，故e＝错误!＝错误!＝错误!错误!＝错误!.
题型二双曲线的几何性质
例4 (1)(2016·盐城三模)若圆x2＋y2＝r2过双曲线x2
a2
－错误!＝1的右焦点F，且圆与双曲线的
渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为________。

（2)(2015·山东）在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：x2
a2
－错误!＝1（a>0,b〉0)的渐近线
与抛物线C2:x2＝2py（p＞0）交于点O，A,B.若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为________。

答案（1）2 (2）错误!
解析（1）若四边形OAFB为菱形，且点A在圆x2＋y2＝r2上，则点A坐标为(c
2
，错误!c）,此
时r＝c。

又点A在渐近线上，所以错误!c＝错误!·错误!，即错误!＝错误!，所以e＝错误!＝2。

(2）由题意，不妨设直线OA的方程为y＝错误!x，直线OB的方程为y＝－错误!x。

由错误!得x2＝2p·错误!x,
∴x＝错误!，y＝错误!,∴A错误!.
设抛物线C2的焦点为F，则F错误!，
∴k AF＝错误!.
∵△OAB的垂心为F,∴AF⊥OB，∴k AF·k OB＝－1，
即错误!·错误!＝－1，∴错误!＝错误!。

设C1的离心率为e，则e2＝错误!＝错误!＝1＋错误!＝错误!。

∴e＝错误!.
思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b〉0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±错误!满足关系式e2＝1＋k2。

(2016·全国甲卷改编）已知F1，F2是双曲线E：错误!－错误!＝1的左，右焦点，点M在E上，MF
1
与x轴垂直,sin∠MF2F1＝错误!,则E的离心率为________。

答案错误!
解析离心率e＝错误!，由正弦定理得e＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!。

题型三直线与双曲线的综合问题
例5 （2016·苏州模拟）已知椭圆C1的方程为错误!＋y2＝1，双曲线C2的左，右焦点分别是
C
1
的左,右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点.
（1）求双曲线C2的方程；
(2）若直线l：y＝kx＋错误!与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且错误!·错误!>2(其中O 为原点），求k的取值范围。

解(1)设双曲线C2的方程为x2
a2
－错误!＝1（a>0，b〉0)，
则a2＝4－1＝3，c2＝4，
再由a2＋b2＝c2,得b2＝1。

故C2的方程为错误!－y2＝1。

（2）将y＝kx＋错误!代入错误!－y2＝1，得(1－3k2)x2－6错误!kx－9＝0。

由直线l与双曲线C2有两个不同的交点，得
错误!
∴k2≠1
3
且k2<1. ①
设A(x1，y1），B(x2,y2），
则x1＋x2＝错误!,x1x2＝错误!。

∴x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋错误!）(kx2＋错误!）
＝(k2＋1）x1x2＋错误!k(x1＋x2）＋2
＝错误!.
又∵错误!·错误!〉2,得x1x2＋y1y2>2，
∴错误!>2，即错误!>0，
解得错误!<k2〈3，②由①②得错误!<k2〈1。

故k的取值范围为（－1，－
3
3
）∪(错误!，1).
思维升华(1）研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程,消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定。

(2)用“点差法"可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.
在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:x2
4
－错误!＝1。

设过点M(0，1)的直线l与
双曲线C交于A，B两点．若错误!＝2错误!,则直线l的斜率为________．
答案±错误!
解析设A(x1，y1），B（x2，y2)，
则错误!－错误!＝1，错误!－错误!＝1.
又错误!＝2错误!，错误!＝（－x1,1－y1)，错误!＝(x2，y2－1）．所以错误!即错误!代入双曲线方程联立解得错误!或错误!
所以A(4,3），B(－2，0)或A（－4，3）,B（2，0），
故k＝错误!＝错误!或k＝错误!＝－错误!,
即直线l的斜率为±错误!.
10.直线与圆锥曲线的交点
典例已知双曲线x2－错误!＝1，过点P(1，1)能否作一条直线l,与双曲线交于A,B两点，且点P是线段AB的中点?
错解展示
现场纠错
解设点A(x1，y1），B（x2,y2）在双曲线上，且线段AB的中点为(x0,y0），
若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.
设经过点P的直线l的方程为y－1＝k(x－1)，
即y＝kx＋1－k。

由错误!
得（2－k2）x2－2k（1－k）x－(1－k)2－2＝0(2－k2≠0)。

①
∴x0＝错误!＝错误!.
由题意,得错误!＝1，解得k＝2.
当k＝2时，方程①可化为2x2－4x＋3＝0。

Δ＝16－24＝－8〈0，方程①没有实数解。

∴不能作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P（1，1)是线段AB的中点.
纠错心得(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题,要考虑变形的条件.
(2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法。

1.(2016·泰州联考)已知双曲线C：错误!－错误!＝1（a>0，b〉0）的焦距为10，点P（2,1)在C的一条渐近线上,则C的方程为________________.
答案错误!－错误!＝1
解析依题意错误!解得错误!∴双曲线C的方程为错误!－错误!＝1。

2.（2016·全国乙卷改编）已知方程错误!－错误!＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是________。

答案(－1,3）
解析∵方程错误!－错误!＝1表示双曲线,
∴（m2＋n）·（3m2－n)〉0，解得－m2〈n〈3m2，由双曲线性质，知c2＝（m2＋n)＋（3m2－n）＝4m2(其中c是半焦距）,
∴焦距2c＝2×2|m|＝4，解得｜m｜＝1,∴－1<n<3。

3。

（2016·盐城模拟）已知双曲线错误!－错误!＝1的左,右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若AB＝5，则△ABF1的周长为________.
答案26
解析由双曲线错误!－错误!＝1,知a＝4。

由双曲线定义AF1－AF2＝BF1－BF2＝2a＝8，
∴AF1＋BF1＝AF2＋BF2＋16＝21，
∴△ABF1的周长为AF1＋BF1＋AB＝21＋5＝26。

4。

（2016·北京）已知双曲线x2
a2
－错误!＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点
为（5，0），则a＝________，b＝________.
答案 1 2
解析由2x＋y＝0,得y＝－2x，所以错误!＝2.
又c＝错误!，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
5.已知点F是双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点,过F 且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是____________.
答案（1,2）
解析由题意易知点F的坐标为(－c，0)，A(－c，错误!)，B（－c，－错误!),E（a，0）,
∵△ABE是锐角三角形,∴错误!·错误!〉0,
即错误!·错误!＝（－c－a，错误!)·（－c－a，－错误!)>0，
整理得3e2＋2e〉e4,∴e(e3－3e－3＋1)〈0，
∴e(e＋1)2（e－2)〈0，
解得e∈(0，2)，又e>1，∴e∈(1，2）。

6.（2016·浙江)设双曲线x2－错误!＝1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则PF1＋PF2的取值范围是________.
答案(2错误!，8）
解析如图,由已知可得a＝1，b＝错误!，c＝2，从而F1F2＝4，由对称性不妨设P在右支上,
设PF 2＝m ，
则PF 1＝m ＋2a ＝m ＋2，
由于△PF 1F 2为锐角三角形，
结合实际意义需满足⎩⎨⎧ m ＋22＜m 2＋42，42＜m ＋22＋m 2，
解得－1＋7＜m ＜3，又PF 1＋PF 2＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8.
7.(2016·南京三模）设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为________。

答案 错误!
解析 不妨设双曲线方程为错误!－错误!＝1 （a >0,b 〉0)，设F （－c ，0），线段PF 的中点为(0，b )，则P (c,2b ).由点P 在双曲线上,得错误!－4＝1,所以e ＝错误!。

8.设双曲线错误!－错误!＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6,则点P 的坐标为____________。

答案 （655
，2) 解析 由双曲线错误!－错误!＝1的左，右焦点分别为F 1,F 2,所以F 1F 2＝6，设P （x ，y ） (x 〉0,y 〉0),因为△PF 1F 2的面积为6，所以错误!F 1F 2·y ＝错误!×6×y ＝6，解得y ＝2，将y ＝2代入错误!－错误!＝1得x ＝错误!。

所以P （错误!，2）。

9。

已知F 1，F 2分别是双曲线错误!－错误!＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得（错误!＋错误!)·错误!＝0（其中O 为坐标原点)，且｜错误!｜＝错误!|错误!｜，则双曲线的离心率为______.
答案 错误!＋1
解析 ∵错误!＝错误!－错误!，
∴(错误!＋错误!)·错误!＝(错误!＋错误!）·(错误!－错误!）＝0，
即错误!2－错误!2
＝0，∴|错误!|＝｜错误!｜＝c ，
在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于F 1F 2的一半，可得错误!⊥错误!。

∵｜错误!｜＝错误!|错误!|，
∴可设｜错误!｜＝λ（λ>0），|错误!|＝错误!λ，
得(错误!λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c ，
∴|错误!｜＝错误!c ，|错误!|＝c ，
∴根据双曲线定义得2a ＝｜错误!|－｜错误!|＝（错误!－1）c ，
∴双曲线的离心率e ＝错误!＝错误!＋1.
10.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：错误!－y 2＝1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点，若错误!·错误!〈0，则y 0的取值范围是______________。

答案 错误!
解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝错误!,
∴F 1(－错误!,0），F 2（错误!,0),
∴错误!＝(－错误!－x 0，－y 0）,错误!＝（错误!－x 0，－y 0）。

∵MF 1
→·错误!〈0， ∴（－3－x 0）(错误!－x 0）＋y 错误!<0,
即x 错误!－3＋y 错误!<0。

∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，
∴错误!－y 错误!＝1，即x 错误!＝2＋2y 错误!,
∴2＋2y 错误!－3＋y 错误!<0，∴－错误!<y 0〈错误!.
11。

已知双曲线错误!－错误!＝1（a 〉0，b >0）的左，右焦点分别为F 1，F 2,点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.
答案 错误!
解析由定义,知PF1－PF2＝2a。

又PF1＝4PF2，∴PF1＝错误!a，PF2＝错误!a。

在△PF1F2中,由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝错误!＝错误!－错误!e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝错误!，
即e的最大值为错误!。

12。

(2015·课标全国Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－错误!＝1的右焦点,P是C的左支上一点，A （0，66）。

当△APF的周长最小时，该三角形的面积为________.
答案12错误!
解析设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，
∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小,当A、P、F1三点在一条直线时最小，过AF1的直线方程为错误!＋错误!＝1，与x2－错误!＝1联立，解得P点坐标为（－2,2错误!),此时S△APF＝S△AF1F－S△F1PF＝12错误!。

13.(2016·江西丰城中学模拟)一条斜率为1的直线l与离心率为3的双曲线错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)交于P，Q两点，直线l与y轴交于R点,且错误!·错误!＝－3，错误!＝3错误!，求直线和双曲线的方程。

解∵e＝错误!，∴b2＝2a2，
∴双曲线方程可化为2x2－y2＝2a2。

设直线l的方程为y＝x＋m.
由错误!得
x2－2mx－m2－2a2＝0，
∴Δ＝4m2＋4(m2＋2a2)>0，
∴直线l一定与双曲线相交。

设P(x1,y1），Q（x2，y2)，
则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2。

∵错误!＝3错误!，x R＝错误!＝0,
∴x1＝－3x2，∴x2＝－m,－3x错误!＝－m2－2a2。

消去x2,得m2＝a2.
错误!·错误!＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（x1＋m）(x2＋m)
＝2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2
＝m2－4a2＝－3,
∴m＝±1，a2＝1，b2＝2.
直线l的方程为y＝x±1，双曲线的方程为x2－错误!＝1.
＊14.已知双曲线C:x2
a2
－错误!＝1(a〉0,b>0)的一个焦点是F2（2，0)，且b＝错误!a.
（1）求双曲线C的方程；
(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1），当直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B时，求实数m的取值范围，并证明AB中点M在曲线3（x－1)2－y2＝3上；
（3）设（2)中直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，问是否存在实数m，使得∠AOB为锐角？若存在,请求出m的取值范围；若不存在,请说明理由.
解（1)由已知,得c＝2，c2＝a2＋b2,b＝错误!a，
∴4＝a2＋3a2，∴a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－错误!＝1。

（2)由题意，得直线l：m(x－2）＋y＝0，
由错误!
得(3－m2）x2＋4m2x－4m2－3＝0.
由Δ>0,得4m4＋（3－m2)（4m2＋3）>0,
12m2＋9－3m2〉0，即m2＋1〉0恒成立.
设A(x1，y1），B(x2,y2),
则x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.
又错误!
∴错误!
∴m2>3，∴m∈(－∞，－错误!）∪(错误!，＋∞）。

∵错误!＝错误!，错误!＝－错误!＋2m
＝－错误!，
∴AB的中点M（错误!,－错误!）,
∵3（2m2
m2－3
－1）2－错误!
＝3×错误!－错误!
＝3×错误!＝3，
∴M在曲线3(x－1)2－y2＝3上。

（3)设A(x1，y1)，B（x2，y2），
假设存在实数m，使∠AOB为锐角,则OA→·错误!〉0,∴x1x2＋y1y2>0.
∵y1y2＝（－mx1＋2m)（－mx2＋2m)
＝m2x1x2－2m2（x1＋x2)＋4m2，
∴(1＋m2)x1x2－2m2(x1＋x2）＋4m2>0，
∴（1＋m2）（4m2＋3）－8m4＋4m2（m2－3)>0，
即7m2＋3－12m2>0，∴m2〈错误!，
与m2>3矛盾,
∴不存在实数m，使得∠AOB为锐角.。