圆内接四边形的性质定理及其推论习题课件 2023—2024学年鲁教版(五四制)数学九年级下册

AD∶BD＝1∶3, AE＝DE＝2，则半圆O的半径长为
()
A． 5
B．2 2
C．3 D．2 3
【点拨】
∵四边形 BCED 是半圆 O 的内接四边形， ∴∠AED＝∠B，∠ADE＝∠C. ∴△ADE∽△ACB.∴DBCE＝AADC. ∵AE＝DE＝2，∴∠A＝∠ADE. ∴∠A＝∠C.∴AB＝BC. 连接 BE，∵BC 为直径，∴∠BEC＝90°，即 BE⊥AC.
(2)连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数． 解：∵∠A＝∠AEB，∴△ABE是等腰三角形． 又∵EO⊥CD，∴CF＝DF. ∴EO是CD的垂直平分线．∴ED＝EC. ∵DC＝DE，∴DC＝DE＝EC. ∴△DCE是等边三角形．∴∠AEB＝60°. ∴△ABE是等边三角形．∴∠A＝60°.
又∵OA＝OC，AC＝4，∴OA＝2 2.
∴⊙O 的半径为 2 2. 【答案】 B
3 如图，四边形ABCD内接于⊙O，DE是⊙O的直径， 连接BD，若∠BCD＝120°，则∠BDE的度数是 () A．25° B．30° C．32° D．35°
【点拨】 连接BE.∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD＋∠BCD＝180°. 又∵∠BCD＝120°，∴∠BAD＝60°. ∴∠BED＝∠BAD＝60°. ∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE＝90°. ∴∠BDE＝90°－∠BED＝90°－60°＝30°.
【点拨】 由题意可知∠AEF＝∠ABC.
又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ABC.∴AAEB＝EBFC＝35. ∵BC 为直径，∴∠BEC＝90°.∴∠BEA＝90°. ∴cos∠BAC＝AAEB＝35.易得 sin∠BAC＝45.
∴在 Rt△ ABE 中，BE＝AB·sin∠BAC＝6×45＝254.
【点拨】 本题没有给出图形，点B可能在弦AC所对的优弧
上，也可能在弦AC所对的劣弧上．易因考虑不全而漏 掉其中一种情况．
10 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，F 是C︵D上一点，且 D︵F＝B︵C，连接 CF 并延长交 AD 的延长线于点 E，连 接 AC，若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E 的度数 为( ) A．60° B．55° C．50° D．45°
13 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长 线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE． (1)求证：∠A＝∠AEB；
证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A＋∠BCD＝180°. 又∵∠DCE＋∠BCD＝180°，∴∠A＝∠DCE. ∵DC＝DE，∴∠DCE＝∠AEB.∴∠A＝∠AEB.
5 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E是BC延 长线上一点．若∠BAD＝114°，则∠DCE的度数是
(B ) A．124°
B．114° C．94° D．66°
6 如图，以BC为直径作⊙O，分别与AB，AC交于F，E
两点，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则BE的长为 24
___5_____．
7 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相
交于点E，AB，DC的延长线相交于点F．若∠A＝ 55°，∠F＝30°，则∠E＝____4_0_°__．
【点拨】 ∵∠A＝55°，∠F＝30°， ∴∠BCF＝∠A＝55°，∠ADC＝180°－∠F－
∠A＝95°. ∴∠ECD＝∠BCF＝55°. 又∵∠ADC＝∠E＋∠DCE，∴∠E＝40°.
8 【2022·雅安】如图，∠DCE是⊙O的内接四边形 ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，则∠BOD的度 数为__1_4_4_°___．
【点拨】 ∵∠DCE＝72°，∴∠A＝72°. ∴∠BOD＝2∠A＝144°.
9 已知△ABC内接于⊙O，OD⊥AC于点D，若 ∠COD＝32°，则∠B的度数为__3_2_°__或__1_4_8_°_．
∴AC＝2AE＝4. ∵AD∶BD＝1∶3，∴BC＝AB＝4AD. ∴4A2D＝A4D，解得 AD＝ 2或－ 2(舍去)． ∴BC＝4AD＝4 2.
∴半圆 O 的半径长为12BC＝2 2. 【答案】 B
12 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BE，DF是⊙O的两 条直径．求证：∠ECF＝∠A．
证明：连接 BF. ∵∠BCD＝12∠BOD，∠EBF＝12∠EOF， ∠BOD＝∠EOF，∴∠BCD＝∠EBF. 又∵∠A＋∠BCD＝180°，∠ECF＋∠EBF＝180°， ∴∠A＝∠ECF.
5.5.2
确定圆的条件
圆内接四边形的性质定理及其推论
1 如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠C＝100°，那么 ∠A的度数是( ) A．60° B．50° C．100° D．80°
【点拨】 ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠A＋∠C＝180°. ∴∠A＝180°－∠C＝180°－100°＝80°.
【点拨】 ∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ABC＝105°，点
E 在 AD 的延长线上，∴∠CDE＝105°. ∵D︵F＝B︵C，∠BAC＝25°，∴∠DCE＝∠BAC＝25°， ∴∠E＝180°－∠CDE－∠DCE＝50°.
【答案】 C
11 【2023·烟台芝罘区期末】如图，以△ABC 的边BC为 直径的半圆O交AB，AC于D，E两点，连接DE，若
【答案】 D
2 【2023·泰安肥城市开学检测】如图，四边形ABCD内 接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝4，则⊙O的半径为 ()
A．4 B．2 2 C． 3 D．4 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
【点拨】 连接 OA，OC.
∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ABC＝135°，
∴∠ADC＝45°.∴∠AOC＝90°.
由勾股定理得 OA2＋OC2＝AC2，
【答案】 B
4 如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，AE⊥CB，交 CB 的延长线于点 E．若 BA 平分∠DBE，AD＝8，CE＝ 2 7，则 AE 的长度为____6____．
【点拨】 连接 AC.∵BA 平分∠DBE，∴∠ABE＝∠ABD. ∵四边形 ABCD 内接于⊙O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°. 又∵∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ABE＝∠ADC. ∴∠ABE＝∠ABD＝∠ADC. ∵∠ACD＝∠ABD，∴∠ACD＝∠ADC. ∴AC＝AD＝8.∴在 Rt△ AEC 中，AE＝ AC2－EC2＝6.