第一章 直角三角形的边角关系

第一章 直角三角形的边角关系 单元综合检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础达标卷
一、选择题
1．（2021·兰州市九年级期末）计算2cos 30°的值为 （ ）
A ．1
B
C
D ．
1
2
【答案】B
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进行计算即可得出答案．【详解】解:2cos 30°,
故选B ．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
2．如图，ABC V 中，3
7,cos 5
BC B C ==
=，则ABC V 的面积是（ ）
A ．
21
2
B ．12
C ．14
D ．21
【答案】A
【分析】根据已知作出三角形的高线AD ，进而得出AD 的长，即可得出三角形的面积．
【详解】解：过点A 作AD ⊥BC ，
∵△ABC 中，cosB ，sinC =35，BC =5，
∴cosB =BD
AB ，∴∠B =45°，∴AD =BD ，
∵sinC =35=AD
AC ，
∴35
AD AC =
∴4
5
CD AC ==
，∴4
3
CD AD =
，∵7BD CD AD DC BC +=+==，∴3AD =，
则△ABC 的面积是：1
2×AD ×BC =1
2×3×（3+4）=21
2
．故选A ．
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD ⊥BC ，进而得出相关线段的长度是解决问题的关键．
3．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）锐角△ABC 中，∠B ＝45°，BC ，则AC 的长可以是（ ）
A ．1
B
C
D 【答案】D 【分析】
作CD ⊥AB 于D ，先利用等腰直角三角形的性质和三角函数求出BD =CD =1，然后利用勾股定理进行逐一判断四个选项是否满足题意即可.【详解】
解：作CD ⊥AB 于D ，如图所示：∵∠B ＝45°，
∴△BCD 是等腰直角三角形，
∴BD ＝CD ＝sin =1BC B g
，∠BCD ＝45°，当AC ＝1时，点D 与A 重合，△ABC 是直角三角形，选项A 不符合题意；
当AC 时，1AD CD =
==，则△ACD 是等腰直角三角形，∠ACD ＝45°，
∴∠ACB ＝90°，△ABC 是直角三角形，选项B 不符合题意；
当AC AC ＜CD ，∴∠ACD ＞∠A ，则△ABC 是钝角三角形，选项C 不符合题意；
当AC 时，1
2
AD CD ==
<∴∠ACD ＜∠A ，则△ABC 是锐角三角形；选项D 符合题意，故选D ．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，解直角三角形，勾股定理，三角形角与边的关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
4．（2021·江苏扬州中学九年级月考）如图，在正方形网格中有△ABC ，则sin ∠ABC 的值等于（ ）
A B C ．
13
D 【答案】B 【分析】
根据网格的特点求得,,AB AC BC 的长，根据勾股定理的逆定理判断ABC V 是Rt V ，进而根据正弦的定义求得sin ∠ABC 的值．【详解】
∵AB BC AC ∴AB 2＝BC 2+AC 2，∴∠ACB ＝90°．
∴sin ∠ABC ＝AC AB ==故选：B ．
【点睛】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，正弦的定义，求得ABC V 为Rt V 是解题的关键．5．（2021·陕西西安市九年级模拟预测）如图，正方形ABCD 的边长为6，AC 为对角线，取AB 中点E ，DE 与AC 交于点F ．则sin ∠DFC ＝（
）
A B C D
【答案】A
【分析】
连接BD与AC交于点O，利用勾股定理求得DE，OD，根据正方形的性质证明△AFE∽△CFD，然后根据相似三角形的性质求得DF，进而可求．
【详解】
解：连接BD与AC交于点O，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠EAD＝90°，AC⊥BD，OD＝1
2
B D，AB∥CD，AD＝AB＝CD＝6，
∴∠DOF＝90°，∠EAF＝∠DCF，OD＝，∵E为AB中点，
∴AE＝1
2AB＝
1
2
CD＝3，
由勾股定理得，DE=∵∠EAF＝∠DCF，∠AFE＝∠DFC，∴△AFE∽△CFD，
∴
1
2 EF AE
FD CD
==，
∴DF＝2
3
DE＝
∴sin∠DFC＝OD
DF
==
故选：A．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，解题关键是构造直角三角
形和找出相似三角形进行求解．
6．（2021·重庆八中九年级月考）如图，某大楼AB正前方有一栋小楼ED，小明从大楼顶端A测得小楼顶端E 的俯角为45度，从大楼底端B测得小楼顶端E的仰角为24度，小楼底端D到大楼前梯坎BC的底端C有90
i=，则大楼AB的高度为（）（结果精确到1米，参考数据：米，梯坎BC长65米，梯坎BC的坡度1:2.4
°»，cos240.91
°»）
sin240.41
°»，tan240.45
A．217B．218C．242D．243
【答案】B
【分析】
延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，设BH=x米，则CH=2.4x米，在Rt△BCH中，BC=65米，由勾股定
理得出方程，解方程求出BH=25米，CH=60米，得出EG的长度，在Rt△GBE中，利用正切函数得出BG
的长度，证明△AEG是等腰直角三角形，得出AG=EG=150米，即可得出大楼AB的高度．
【详解】
解：如图，延长AB交DC于H，作EG⊥AB于G，
则四边形GHDE为矩形，
∴GH =DE ，EG =DH ，∵梯坎坡度i =1：2.4，∴BH ：CH =1：2.4，设BH =x 米，则CH =2.4x 米，在Rt △BCH 中，BC =65米，由勾股定理得：x 2+（2.4x ）2=652，解得：x =25(负值已舍)，∴BH =25米，CH =60米，
∴EG =DH =CH +CD =60+90=150（米），在Rt △GBE 中，∠BEG =24°，
∴BG =EG tan 24°=150´0.45=67.5（米），在Rt △GAE 中，∠EAG =90°-45°=45°，∴△AEG 是等腰直角三角形，∴AG =EG =150（米），
∴AB =AG +BG =150+67.5≈218（米）；故选：B ．【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出BH ，得出EG 是解决问题的关键．
7．（2021·湖南芙蓉九年级期中）在平面直角从标系中，30°的直角三角尺直角顶点与坐标原点重合，双曲线
11k y x
=
（x ＞0），经过点B ，双曲线22k
y x =（x ＜0），经过点C ，则12k k ＝（ ）
A ．﹣3
B ．3C
．D
【答案】
A
【分析】
作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，由反比例函数系数k 的几何意义得到k 1＝2S △AOM ，k 2＝﹣2S △BON ，解直角
三角形求得o tan 30OB OA =通过证得△AOM ∽△OBN ，得到2
=3AOM BOM
S OA S OB æö=ç÷èøV V 进而得到123k k =-．【详解】
作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N ，∴S △AOM ＝1
2|k 1|，S △BON ＝1
2|k 2|，∵k 1＞0，k 2＜0，
∴k 1＝2S △AOM ，k 2＝﹣2S △BON ，在Rt △AOB 中，∠BAO ＝30°，
∴
o tan 30OB OA =，∵∠AOM +∠BON ＝90°＝∠AOM +∠OAM ，∴∠OAM ＝∠BON ，∵∠AMO ＝∠ONB ＝90°，∴△AOM ∽△OBN ，
∴2
=3AOM BOM S OA S OB æö=ç÷èøV V ，∴
12232AOM
BOM
k S k S ==--V V ,故选A ．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，相似三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌
握相关知识进行求解．
8．（2021·山东青岛市中考真题）如图，在四边形纸片ABCD 中，//AD BC ，10AB =，60B Ð=°．将纸片折叠，使点B 落在AD 边上的点G 处，折痕为EF ．若45BFE Ð=°，则BF 的长为（
）
A ．5
B ．
C ．
D 【答案】C 【分析】
过点A 作AH BC ^ 于H ，由折叠知识得：90BFG Ð=° ，再由锐角三角函数可得AH =然后根据//AD BC ，可证得四边形AHFG 是矩形，即可求解．【详解】
解：过点A 作AH BC ^ 于H ，
由折叠知：BF =GF ，∠BFE =∠GFE ，
45BFE Ð=°Q ，90BFG \Ð=° ，
在Rt ABH V 中，10AB =，60B Ð=°，
sin sin 601010AH B AB =´=°´=
= ，//AD BC Q ，
90GAH AHB \Ð=Ð=° ，90GAH AHB BFG \Ð=Ð=Ð=° ，\ 四边形AHFG 是矩形，
FG AH \== ，
BF GF \==．
故选：C ．【点睛】
本题主要考查了折叠变换，解直角三角形，矩形的判定和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
9．（2021·贵阳市第十九中学九年级月考）
如图，ABC V 中，CD AB ^，BE AC ^，sin A 的值为35
，则DE
BC =（
）
A B C ．
35
D ．
45
【答案】D 【分析】
根据CD AB ^，BE AC ^，可得ADC AEB V V ∽,进而可得ADE ACB V V ∽，进而可得DE AD
BC AC
=，根据已知条件设3CD a =，则5AC a =，求得AD ，即可求得答案．【详解】
Q CD AB ^，BE AC ^，\90ADC AEB Ð=Ð=°，
A A Ð=ÐQ ，
\ADC AEB V V ∽，
AD AC
AE AB
\
=，A A Ð=ÐQ ，
\ADE ACB V V ∽，
DE AD
BC AC
\
=，3sin 5CD A AC
=
=Q ，
设3CD a =，则5AC a =，
4AD a \==，
44
=55
DE AD a BC AC a \
==．故选D ．【点睛】
本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，相似三角形的性质与判定，根据两边成比例夹角相等证明三角形相似是解题的关键．
10．（2021·甘肃兰州市中考真题）如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BD 上，连接
AE ，CE ，60ABC Ð=°，15BCE Ð=°，2ED =+AD =（
）
A ．4
B ．3
C ．
D ．2
【答案】A 【分析】
根据菱形的性质以及已知条件，可得ABC V 是等边三角形，可得OB =
，进而根据15BCE Ð=°，可得
45ECO Ð=°，进而可得OC OE =,根据DE OE OD =+， 2ED =+，AD BC =，即可求得AD ．
【详解】
Q 四边形ABCD 是菱形，
AC BD \^,,,AO OC BO OD AB BC ===，Q 60ABC Ð=°，\ABC V 是等边三角形，
\160,,sin 2
ACB BAC OC BC OB BC ACB Ð=Ð=°==×Ð=
，Q 15BCE Ð=°，
601545ECO ACB \Ð=Ð=°-°=°，
Q AC BD ^，
45CEO \Ð=°，
OC OE \=，
2DE OE OD OE OB =+=+=+Q
即122BC BC =+，4BC \=，
4AD BC \==．
故选A ．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
二、填空题
11．（2021·江苏灌云九年级期中）在ABC V 中，若A Ð，B Ð满足1cos sin 2A B -
+，则C Ð的度数是_______．
【答案】75°
【分析】
根据绝对值的非负性，可得出cosA 及sinB 的值，从而得出∠A 及∠B 的度数，利用三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．
【详解】
解：∵1cos sin 2A B -
+，
∴cosA =12，sinB 则∠A =60°，∠B =45°，
故∠C =180°-∠A -∠B =75°．
故答案为：75°．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值及非负数的性质，解答本题的关键是得出cosA 及sinB 的值，另外要求我们熟练掌握一些特殊角的三角函数值．
12．（2021·福建省福州屏东中学九年级二模）如图，点()2,A m 在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为a ，5tan 4
a =，则m =_____．
【答案】
52
【分析】利用三角函数的定义求m 的值．
【详解】解：由三角函数的定义得：5tan 24m a =
=．∴52
m =．故答案为：
52．【点睛】
本题考查三角函数的定义，利用定义得到关于m 的方程是求解本题的关键．
13．在Rt ABC V 中，90C Ð=°，且cos A B =
Ð平分线的长为26，则a =______，b =______，=c ___．
【答案】；
39； 【分析】
根据三角函数值cos A =，可求∠A =30°，由90C Ð=°，可求∠ABC =60°，由BD 平分∠ABC ，可得∠CBD =∠DBA =30°=∠A ，利用等腰三角形判定可得AD =BD =26，利用三角函数可求CD =BD ×sin 30°=13，
AC =AD +DC =39， 利用三角函数BC =
=30°角直角三角形可求AB =2BC =【详解】
解：∵cos A =
∴∠A =30°，
∵90C Ð=°
∴∠A +∠ABC =90°，
∴∠ABC =60°，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠CBD =∠DBA =30°=∠A ，
∴AD =BD =26，
∴CD =BD ×sin 30°=26×12=13，
∴AC =AD +DC =26+13=29，
在Rt △CBD 中，cos BC BD =，
∴26BC ===
∴AB =2BC =
∴a BC ==39b AC ==，c AB ==．
故答案为，39，【点睛】
本题考查锐角三角函数值求角度，角平分线定义，等腰三角形判定，解直角三角形，掌握锐角三角函数值求角度，角平分线定义，等腰三角形判定，解直角三角形是解题关键．
14．（2021·哈尔滨市九年级月考）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB ，AB ＝15，AD ＝7，则AC ＝_____．
【答案】
356
．【分析】如图，过点B 作BH ∥AC ，交AD 的延长线于H ，作BG ⊥AH 于G ，设DG ＝x ，证明△ACD ∽△HBD ，根据相似三角形的性质与判定，进而得出比例式求解即可得AC ．
【详解】
如图，过点B 作BH ∥AC ，交AD 的延长线于H ，作BG ⊥AH 于G ，
设DG＝x，
∵AC∥BH，
∴∠CAD＝∠H，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴∠BAD＝∠H，
∴AB＝BH＝15，
∵BG⊥AH，
∴AG＝GH＝7+x，
∴DH＝7+2x，
∵∠ADC＝∠BDH，∠CAD＝∠H，∴△ACD∽△HBD，
∴AC AD
BH DH
=，即
7
1572
AC
x
=
+
，
∴AC
105
72x
=
+
，
∵∠CAD＝∠H，
∴cos∠CAD＝cos∠H，
∴AC GH
AD BH
=，即
105
7
72
715
x
x+
+=，
解得：x1＝﹣16（舍），x2＝5.5，
∴AC
10535 7116
==
+
．
故答案为：35
6
．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰三角形的性质，添加辅助线，证明△ACD∽△HBD 是解题的关键．
15．（2021·成都嘉祥外国语学校九年级月考）如图所示，CD、EF表示高度不同的两座建筑物，已知CD高15米，小明站在A处，视线越过CD，能看到它后面的建筑物的顶端E，此时小明的视角∠FAE＝45°，为了能看到建筑物EF上点M的位置，小明沿直线FA由点A移动到点N的位置，此时小明的视角∠FNM＝30°，则小明由点A移动到点N的距离是___米．
【答案】15
【分析】
本题中，CD是直角三角形CDN和ACD的公共边，因此可用CD求出DN和AD，然后再求AN．
【详解】
解：直角三角形CDN中，tan30
DN CD
=¸°=
直角三角形CDA中，tan4515
AD CD
=¸°=米，
因此，15)
AN DN AD
=-=米，
故答案是：15．
【点睛】
本题考查了利用锐角三角函数解直角三角形，解题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
16．（2021·山东南区九年级期末）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，AD是BC边上的高，AD＝4，则tanC＝___．
【答案】4
5
或
4
11
根据勾股定理先求出BD 的长，本题有两种情况，若高AD 在△ABC 内部，CD ＝BC ﹣BD ，若高AD 在△ABC 外部，CD ＝BC +BD ，再根据三角函数的知识求出tanC 的值．
【详解】
解：如图所示：
BD ==3，
若高AD 在△ABC 内部，
CD ＝BC ﹣BD ＝5，
∴tanC 45
AD CD ==．若高AD 在△ABC 外部，
CD ＝BC +BD ＝11，tanC 411
AD CD ==．
故答案为：
45或411
【点睛】本题考查了分类讨论的数学思想及三角函数的定义．
17．（2021·宜兴市实验中学九年级二模）如图，点B 在x 的正半轴上，且BA OB ^于点B ，将线段BA 绕点B 逆时针旋转60°到BB ¢的位置，且点B ¢的坐标为()1,1．若反比例函数k y x
=
()0x >的图象经过A 点，则k =______．
【答案】2+
过点B′作B′D ⊥x 轴于点D ，根据BA ⊥OB 于点B 及图形旋转的性质求出∠B′BD 的度数，再由直角三角形的性质得出BD 及BB′的长，故可得出点A 的坐标，进而可得出结论．
【详解】
解：如图，过点B′作B′D ⊥x 轴于点D ，
∵BA ⊥OB 于点B ，
∴∠ABD ＝90°．
∵线段BA 绕点B 逆时针旋转60°到BB′的位置，
∴∠ABB′＝60°，
∴∠B′BD ＝90°−60°＝30°．
∵点B′的坐标为（1，1），
∴OD ＝ B′D ＝1，
∴BB′＝2B′D ＝2，BD ＝1tan 30°
∴1OB =+AB ＝BB′＝2，
∴(12)A ，
∴2(12k =´=+．
故答案为：2+【点睛】
本题考查的是坐标与图形变化−旋转，根据题意作出辅助线，利用锐角三角函数的定义得出A 点坐标是解答此题的关键．
三、计算题
18．（2021·济宁市第十五中学九年级月考）求下列各式的值：
（1）222sin 303sin 604tan 45°+°-°；
（2）()1
01tan 6042cos304p -æö°--+°+ç÷èø．
【答案】（1）54
-；（2）3【分析】
（1）利用特殊角的三角函数计算即可；
（2）根据特殊角的三角函数值，零指数幂及负整数指数幂的意义完成即可．
【详解】
（1）222sin 30604tan 45°°-°
2
212+3412æö=´´-´ç÷èø19424
=+-5
4
=-（2）()1
01tan 6042cos304p -æö°--+°+ç÷èø
124=-+
3=【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数，零指数和负整数指数幂的意义，牢记特殊角的三角函数值，掌握零指数和负整数指数幂幂的意义是解答本题的关键．
19．（2021·济宁市九年级月考）计算：
（1）22sin 456cos303tan 454sin 60-++o o o o （2）011tan 60(4)2cos30()4p ---++o o
【答案】（1）4；（2）3
【分析】
（1）根据特殊角的三角函数值，即可得出计算结果；
（2）根据特殊角三角函数值，零指数幂以及负整数指数幂即可得出计算结果．
【详解】
解：（1）原式＝2
26314
´-´+
＝13
-+
＝4；
（2124
+
＝3．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算等知识点，熟知相关运算法则以及特殊角的三角函数值是解本题的关键．
四、解答题
20．在Rt ABC
V中，90
BCA
Ð=°，CD是AB边上的中线，8,5
BC CD
==，求sin,cos
ACD ACD
ÐÐ和tan ACD
Ð．
【答案】.
4
sin
5
ACD
Ð=，
3
cos
5
ACD
Ð=，
4
tan
3
ACD
Ð=
【分析】
利用90
BCA
Ð=°，CD是AB边上的中线，5
CD=先求解,
AB证明,
ACD A
Ð=Ð再利用勾股定理求解,
AC再由等角的三角函数值相等，从而可得答案.
【详解】
解：如图，90
BCA
Ð=°，CD是AB边上的中线，5
CD=
210,5,
AB CD CD AD BD
\=====
,
ACD A
\Ð=Ð
10,8,90,
AB BC C
==Ð=°
Q
6,
AC
\==
4sin sin ,5BC ACD A AB \Ð==
= 3cos cos ,5AC ACD A AB Ð==
= 4tan tan .3
BC ACD A AC Ð==
=【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数的定义，掌握锐角的正弦，余弦，正切的定义是解题的关键.
21．（2021·山东济宁九年级月考）如图，三条笔直公路两两相交，交点分别为A ，B ，C ，测得∠CAB =30°，∠ABC =45°，AC =8千米，求A ，B 两点间的距离．（结果保留根号）
【答案】A 、B 两点间的距离约为（）千米．
【分析】
过点C 作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △ACD 中，通过解直角三角形可求出AD ，CD 的长，在Rt △BCD 中，由∠BDC =90°，∠CBD =45°可得出BD =CD ，再结合AB =AD +BD 即可求出A 、B 两点间的距离．
【详解】
解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，如图所示．
在Rt △ACD 中，AC =8（千米），∠CAD =30°，∠CDA =90°，
∴CD =AC •sin ∠CAD =4（千米），AD =AC •cos ∠CAD ．
在Rt △BCD 中，CD =4（千米），∠BDC =90°，∠CBD =45°，
∴∠BCD =45°，
∴BD =CD =4（千米），
∴AB =AD +BD （千米）．
答：A 、B 两点间的距离约为（）千米．
【点睛】
本题考查了解直角三角形以及等腰直角三角形，通过解直角三角形以及利用等腰直角三角形的性质，找出AD ，BD 的长是解题的关键．
22．（2021·重庆巴蜀中学九年级开学考试）如图，在矩形 ABCD 中，AD =10，tan ÐAEB =
34
，点E 为BC 上的一点，ED 平分ÐAEC ，
（1）求BE 的值；
（2）求sin ÐEDC ．
【答案】（1）8；（2【分析】（1）根据矩形的性质，角平分线的定义，可得AD AE =，进而根据已知正切的值以及勾股定理即可求得BE ;（2）由（1）可得,BE AB 的长，根据矩形的性质，以及勾股定理和正弦的定义即可求得sin ÐEDC ．
【详解】
（1）Q ED 平分ÐAEC ，
AED CED \Ð=Ð，
Q 四边形ABCD 是矩形，
//AD BC \，90B Ð=°，
ADE CED =Ð\Ð，
AED ADE \Ð=Ð，
AD AE \=，
Q tan ÐAEB =AB BE =34
，设3AB k =,则4BE k =，
5AE k \==，
10AE AD ==Q ，
2k \=，
68AB BE \==，，
（2）Q 四边形ABCD 是矩形，
,AB CD AD BC \==，90C Ð=°，
10,8BC AD BE ===Q ，
2CE BC BE \=-=，
6CD AB ==Q ，
DE \===
sin EC EDC ED \Ð=
==．【点睛】本题考查了矩形的性质，等角对等边，解直角三角形，掌握锐角三角函数的基本定义是解题的关键．23．（2021·杭州市九年级开学考试）如图，//AB CD ，90ACB BDC Ð=Ð=°，CE AB ^于点E ，DF CB ^于点F ．
（1）求证：ABC BCD △∽△；
（2）已知tan 2ABC Ð=，求DF CE
的值．
【答案】（1）证明见解析；（2【分析】
（1）根据平行线性质得∠ABC =∠BCD ，即可求证△ABC ∽△BCD ；
（2）设BC =k ，则AC =2k ，根据勾股定理可求得AB ，再根据△ABC ∽△BCD 得对应边比值相等即可解题．
【详解】
（1）∵//AB CD ，
∴ABC BCD Ð=Ð，
又∵90ACB BDC Ð=Ð=°
∴ABC BCD △∽△；
（2）∵tan 2
ABC Ð=∴可设2AC k =，则BC k =，
∵90ACB Ð=°，
∴22225AB AC BC k =+=，
∴AB =，
∵ABC BCD △∽△，
∴BAC CBD Ð=Ð，90ACB BDC Ð=Ð=°，
∴sin sin BAC CBD Ð=Ð，
∵CE AB ^于点E ，DF CB ^于点F ，
∴DF DF BC CE BD AB ====【点睛】
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质．
24．（2021·辽宁盘锦中考真题）如图，小华遥控无人机从点A 处飞行到对面大厦MN 的顶端M ，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A 测得大厦底部N 的俯角为31°，两楼之间一棵树EF 的顶点E 恰好在视线AN 上，已知树的高度为6米，且12
FN FB =，楼AB ，MN ，树EF 均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM 约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos 31°≈0.86， tan 31°≈0.60， cos 37°≈0.80，
tan 37°≈0.75）
【答案】38米
【分析】
过A 作AC MN ^于C ，易证EFN ABN △∽△，得318()AB EF m ==，则18CN m =，再由锐角三角函数求出30()AC m »，然后在Rt ACM V 中，由锐角三角函数定义求出AM 的长即可．
【详解】
解：过A 作AC MN ^于C ，如图所示：
则CN AB =，AC BN =，Q
12FN FB =，\13
FN BN =，由题意得：6EF m =，AB BN ^，EF BN ^，
//AB EF \，
EFN ABN \△∽△，\13
EF FN AB BN ==，318()AB EF m \==，
18CN m \=，
在Rt ACN △中，3tan tan 310.605
CN CAN AC Ð=
=°»=，551830()33AC CN m \»=´=，在Rt ACM V 中，4cos cos370.805AC MAC AM Ð=
=°»=，553038()44
AM AC m \»=´»，即无人机飞行的距离AM 约是38m ．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明EFN ABN △∽△是解题的关键．
25．（2021·四川仁寿九年级期末）如图，矩形ABCD 中，M 为BC 上一点，EM ⊥AM 交AD 的延长线于点E ．
①求证：△ABM ∽△EMA ．
②若AB ＝4，BM ＝3，求sinE 的值．
【答案】①见解析；②sinE＝3 5
【分析】
①根据矩形的性质得到∠B＝90°，AD∥BC，则∠EAM＝∠AMB，然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
②利用△ABM∽△EMA得到∠E＝∠BAM，再利用勾股定理计算出AM，然后根据正弦的定义得到sin∠BAM
＝3
5
，从而得到sinE的值．
【详解】
①证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠EAM＝∠AMB，
∵EM⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∵∠B＝∠AME，∠AMB＝∠EAM，
∴△ABM∽△EMA；
②解：∵△ABM∽△EMA，
∴∠E＝∠BAM，
在Rt△ABM中，AM5，
∴sin∠BAM＝
3
5 BM
AM
=，
∴sinE＝3
5
．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键.
26．（2021·四川内江市中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度．如图所示，测得斜坡BE的坡度1:4
i=，坡底AE的长为8米，在B处测得树CD顶部D的仰角为30°，在E处测得树CD
顶部D 的仰角为60°，求树高CD ．（结果保留根号）
【答案】3)米．
【分析】
作BF ⊥CD 于点F ，设DF =x 米，在直角△DBF 中利用三角函数用x 表示出BF 的长，在直角△DCE 中表示出CE 的长，然后根据BF -CE =AE 即可列方程求得x 的值，进而求得CD 的长．
【详解】
解：作BF CD ^于点F ，设DF x =米，
在Rt DBF D 中，tan DF DBF BF Ð=
，
则tan 30DF BF =
°（米)，∵14
AB AE =，且AE =8∴2AB =
∴2CF AB ==
在直角DCE D 中，(2)DC x CF x =+=+米，
在直角DCE D 中，tan DC DEC EC
Ð=，
22)tan 60x EC x +\==+°米．
BF CE AE -=Q 2)8x +=．
解得：1x =，
则123)CD =+=米．
答：CD 的高度是3)米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
27．（2021·厦门市九年级二模）如图，在Rt ABC △中，∠BAC ＝90°，将Rt ABC △绕直角顶点A 逆时针旋转一定角度后得到Rt ADE △，当点D 在边BC 上时，连接CE ．
（1）若旋转角为60°，求∠ACB 的度数；
（2）若AB ＝3，AC ＝4，求sin ∠DAC 的值．
【答案】（1）30°；（2）
725
【分析】（1）由旋转的性质得出AD AB =，60BAD Ð=°，进而由等腰三角形的性质及三角形的内角和得出
60B ADB Ð=Ð=°，最后再由直角三角形的两个锐角互余即可求得答案；
（2）由勾股定理求出5BC =，过点A 作AF BC ^于点F ，由三角形的面积求出AF 的长，进而可求出CD ，DE 的长，则可得出答案．
【详解】
解：（1）Q 将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，旋转角为60°，
AD AB \=，60BAD Ð=°，
60B ADB \Ð=Ð=°，
90BAC Ð=°Q ，
9030ACB B \Ð=°-Ð=°，
∴∠ACB 的度数为30°；
（2）90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，
5BC \===，
如图，过点A 作AF BC ^于点F ，
\1122ABC S AB AC BC AF =
×=×V ，341255AB AC AF BC ×´\===，
95
BF \===，=Q AD AB ，AF BC ^，
95
DF BF \==，75CD BC BD \=-=
，设AC 与DE 相交于点K ，
∵将Rt ABC △绕直角顶点A 旋转一定角度后得到Rt ADE △，
AD AB \=，AE AC =，90BAC DAE Ð=Ð=°，
B ADB \Ð=Ð，ACE AE
C Ð=Ð，
90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，∴90BAD DAC CAE DAC Ð+Ð=Ð+Ð=°，
BAD CAE \Ð=Ð，
又1
902B BAD Ð=°-ÐQ ，1902
ECA CAE Ð=°-Ð，ECA B \Ð=Ð，
又∵旋转，
∴B ADE Ð=Ð，5DE BC ==，
ECA B ADE Ð=Ð=ÐQ ，AKD EKC Ð=Ð，
DAC CED \Ð=Ð，
90ACB B Ð+Ð=°Q ，ECA B Ð=Ð，
90ACB ECA \Ð+Ð=°，
7
75sin sin 525
CD DAC CED DE \Ð=Ð===．【点睛】
本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
28．（2021·珠海市九年级期中）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 为△ABC 的角平分线，将线段BM 绕点B 顺时针方向旋转使点M 刚好落在AM 的延长线上的点N 处，此时作ND ⊥BC 于点D ．
（1）求证：∠ABN ＝90°；
（2）求证：CM ＝BD ；
（3）若32
BD DM =，AB ＝10，求线段BN 的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）5
【分析】
（1）根据旋转的性质，可得对应线段相等，根据根据等腰三角形的性质，可得∠BMN 与∠BNM 的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得答案；
（2）根据角平分线的性质，可得ME ＝CM ，根据AAS ，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案；（3）根据勾股定理，可得DN 的长，根据等角的锐角三角函数相等，可得答案．
【详解】
（1）证明：∵线段BM绕点B旋转后得线段BN
∴BM＝BN
∴∠BMN＝∠BNM，
∵AM平分∠BAC
∴∠CAM＝∠BAM
∠AMC＝∠BMN＝∠BNM
∴△ACM∽△ABN
∴∠ABN＝∠C＝90°；
（2）证明：作ME⊥AB于E，
∵AM平分∠BAC，∠C＝90°，ME⊥AB
∴ME＝CM，
∵ND⊥BC于D
∴∠MEB＝∠NDB＝∠ABN＝90°
∴∠MBE＋∠MBN＝∠MBN＋∠BND＝90°
∴∠MBE＝∠BND
∵∠MEB＝∠NDB，∠MBE＝∠BND，BM＝BN
∴△MEB≌△BDN（AAS），
∴ME＝BD
∴CM＝BD；
（3）解：设DM＝2x，则CM＝BD＝3x，BN＝BM＝BD＋DM＝5x
在Rt△BDN中，DN4x
=
在Rt△MDN中，
21
42 tan
DM x
D
MN
x
D
N
===
Ð，
∵∠C＝∠NDM＝90°
∴AC∥DN
∴∠BAM＝∠CAM＝∠MND，
∴
1 tan tan
2 BAM MND
Ð=Ð=
在Rt△ABN中，
1
tan105
2
BN AB BAM
=×Ð=´=．
【点睛】
本题主要考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，补角的性质，全等三角形的判定与性质，等角的锐角三角函数相等等知识，熟练掌握上述知识是解题的关键．。