《重积分应用举例》PPT课件

b
对 y 轴 的 转 动 惯 量 为 o a x
Iy x2dxd,y D
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20
bdya(1by)x2dx 1 a3b.
00
12
同 理 ： 对 x 轴 的 转 动 惯 量 为
Ix Dy2dxdy112ab3.
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21
三、引力
设空间一物体对物体外一点 P0 x0, y0, z0 处的
zdvdzzdxdyahzdvydydxxoy平面上有设有一平面薄片占有xoy面上的闭区域的转动惯量为薄片对于轴的转动惯量薄片对于轴的转动惯量设一均匀的直角三角形薄板两直角边长分别为ab求这三角形对其中任一直角边的转动惯量
第四节 重积分应用举例
❖一、曲面的面积 ❖二、质心和转动惯量 ❖三、引力
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曲面面积公式为：A 1 x y2 x z 2dy;dz Dyz
３．设曲面的方程为：yh(z,x)
曲面面积公式为：A
1 yz
2 y x
2dz.dx
Dzx
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8
例 1求 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 ， 含 在 圆 柱 体 x 2 y 2 a 内 部 x 的 那 部 分 面 积 .
则有 dAds.
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6
d为dA 在xo面 y 上的 , 投 d 影 dA co , s
cos 1 ,
1fx2fy2
dA 1fx 2fy2d曲面S的面积元素
A 1fx2fy2d, D
曲面面积公式为：A 1(xz)2(yz)2dxd
Dxy
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7
同理可得
２．设曲面的方程为：xg(y,z)
单位质量质点的引力为 F Fx, Fy , Fz
G
x,
y, z
r3
x
x0
dV
,
G
x,
y, z
r3
y
y0
,
G
x,
y, z r3
z
z0
dV
其中 rxx02yy02zz02
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22
例6 求半径为R的均匀圆盘 x2y2R2,z0 面密度为常数 ，对位于0, 0, a 单位质点的引力 a R
的 转 动 惯 量 为
薄片对于x轴的转动惯量
Ixy2(x,y)d, D
薄片对于y轴的转动惯量
Iy x2(x,y)d. D
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19
例 5 设一均匀的直角三角形薄板，两直角边
长分别 为a、b，求这三角形对其中任一直角边
的转动惯量.
解 设 三 角 形 的 两 直 角 边 分 别 在 y
x轴 和 y轴 上 ， 如 图
1 s
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5
１．设曲面的方程为： zf(x,y)
z
在xoy面上的投影区域D,为
如图， 设小区 d 域 D,
M
点 (x,y)d,
为 S上M 过 (x,y,f(x,y))
o
的切 . 平面
x
s
dA
(x, y) y
d
以d边界为准线，母 于z线 轴平 的行 小
柱面，截s曲 为d面 s；截切平 为面 dA，
坐标原点，顶点位于正z轴上，高度为h，求该正棱锥体的形心。
解：设 的形心坐标为 x, y, z 且 x 0, y0
z
zdv
,其中v是 的体积
v
,
Dz
A
h h
z
2
zdv0 hdzzdxdy0 hzD zdz
D z
A
h
2
zdvhA 20hzhz2dzA 1h 22, z
12 Ah
1 h. 4
11
例3 求半径为a，高度为h0ha的球冠的面积。
解： 设球冠的方程为
za2x2y2,x,yD
其中
D x ,y x 2 y 2 2 a h h 2
由公式得球冠的面积
S
D
zx2 zy2 1dxdy
D
a dxdy
a2 x2 y2
2
2ahh2
d
a d2ah
0
0
a2 2
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12
二、质心和转动惯量
1
z Q
P
RO
Ny
L
M(x0,y0,0)
x 整理课件
2
一、曲面的面积
❖ 例1 设一底面为矩形的柱体被一平面所截， 如果截面的法向量为
底面位于 x o y 面，证明截面（平行四边形）的
面积 S 与底面的面积 有如下的关系：
S 1 cos
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3
证 不妨设截面MPQR与底面MNOL的位 置关系如图所示，其中点M的坐标为
解 由积分区域的对称性知 FxFy0, z
FzafD(x2 (yx2, y)a2)2 3d afD(x2y12a2)2 3d
F
o
y
x
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24
af02d0R(r21a2)2 3rdr
2fa
R21a21 a.
所求引力为
0, 0, 2f a
R 2 1a21 a .
整理课件25四Fra bibliotek小结x0, y0, 0 。由解析几何知，截面MPQR
有点法式方程
c o s x x 0 c o s y y 0 c o s z 0 0
将点P的坐标 x0, yy0 代入上式，得
z
cos cos
x0 ，即点P的坐标为
cos
0,
y0
,
cos
x0
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4
又将点R的坐标 xx0, y0 代入上式，得
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3
15
例4
设平面薄板由
x y
a(t a(1
sin t)，(0 cos t )
t
2)
与 x轴围成，它的面密度 1，求形心坐标．
解 先 求 区 域 D 的 面 积 A ，
y(x)
D
0 t 2 ， 0 x 2 a a 2a
2a
2
A 0
y(x)dx a (1 co t)d [s a (t sit)n ] 0
三、设有一等腰直角三角形薄片,腰长为a ,各点处的
面密度等于该点到直角顶点的距离的平方,求薄片 的重心. 四、设均匀薄片(面密度为常数 1)所占闭区域D 由抛物 线 y 2 9 x 与直线 x 2 所围成,求I x 和I y .
2
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五、求面密度为常量 的匀质半圆环形薄片:
R12 y2 x R22 y2 , z 0对位于 z 轴上点 M0 (0,0,a)(a 0)处单位质量的质点的引力F . 六、设由y ln x, y o及x e 所围的均匀薄板(密度1), 求此薄板绕哪一条垂直于 x 轴的直线旋转时转动惯 量最小?
acos
1
d
0
0
a22
2 a24a2.
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10
例2 求旋转抛物面 z x2 y2位于 0z9之间的那一部分的面积。
解： 设 Dx,yx2y29
由公式知 S 2x2 2y2 1dxdy D
4 x2 y2 1dxdy D
2
3
d
42 1d
37
37 1
0
0
6
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2a2(1cot)s2dt3a2. 0
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16
由 于 区 域 关 于 直 线 x a 对 称 ， 所 以 形 心 在 x a 上 ， 即 x a ,
y 1
ydxdy1
2a y(x)
dx ydy
AD
A0
0
61a2
2a[y(x)]2dxa 2[1cot]s3dt
0
60
5 6
0
acos
D
D
8
(b3
a3
)
4
(b2
a2
)
b2 baa2 . 2(b a)
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28
练习题
一、求 锥 面 z x 2 y 2 被 柱 面 z 2 2 x 所 割下 部 分 的 曲面面积.
二、设 薄 片 所 占 的 闭 区 域 D 是 介 于 两 个 圆 r a cos , r b cos (0 a b) 之 间 的 闭 区 域 , 求 均匀薄片的重心.
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1 R12
a
2
)
31
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30
练习题答案
一、 2 .
二、(a 2 ab b2 ,0). 2(a b)
三、( 2 a, 2 a ). 55
四、I x
72 5 ,Iy
96 .
7
五、
F
2
f (ln
R2
R1
R22 a 2 R2 R1 ),
R12 a 2
R22 a 2
R12 a 2
0, fa( 1 R22 a 2
1、质心：
设 xoy平面上有n个质点，它们分别位于
( x1 , y1 )，( x2 , y2 )，,( xn , yn )处，质量分别
为m1, m2 ,, mn．则该质点系的质心的坐标为
n
x
My M
mi xi
i 1 n
，
mi
i 1
n
y
Mx M
mi yi
i 1 n
mi
．
i 1
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设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域D，
几何应用：曲面的面积 物理应用：重心、转动惯量、
对质点的引力
（注意审题，熟悉相关物理知识）
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思考题
求位于r两 ac圆 os,rbcos (0ab)
之间的均匀.薄片的重心
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思考题解答
y
薄片关于 x轴对称
则 y0,
o a bx
x d
x D
d
bcos
2 2d rcosrdr
.
所 求 形 心 坐 标 为 ( a ,6 5 ) .
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2、转动惯量
设xoy 平面上有n 个质点，它们分别位于
( x1 , y1 ) ，( x2 , y2 ) ，, ( xn , yn ) 处，质量分别 为m1 , m2 ,, mn ．则该质点系对于x 轴和y 轴
的转动惯量依次为
n
n
解：由圆盘的对称性及质量分布的均匀性知
Fx Fy 0
又按公式，所求引力沿z轴的分量为
F z D x 2 G y2 0 0 a a 2 32d 2 G a R 2 1 a 2 1 a
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例7 求面密度为常量、半径为 R的均匀圆形 薄片： x2 y2 R2，z 0对位于 z轴上的 点 M0(0,0,a)处的单位质点的引力．(a 0)
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，假定 ( x, y)在
D 上连续，平面薄片的质心
x( x, y)d
y( x, y)d
由元素法 x D
, y D
.
( x, y)d
( x, y)d
D
D
当薄片是均匀的，重心称为形心.
x A1 Dxd,
y A1 Dyd.
其中Ad
D
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例3 设一正棱锥体 的底面位于 x o y 面上，底面中心为
z
cos cos
y0 ，即点R的坐标为
x0
,
0,
cos cos
y0
因而得 M P x0,0,c co os s x0 x0 1 ,0,c co o s s
M R 0,y0,c co o s s y0 y0 0, 1 ,c co o s s
于是得截面面积
SM PM R c co oss ,c co oss ,1 x0y0c o
解 由 对 称 性 知 A 4 A 1 , D 1 ： x 2 y 2 a(x x,y0)
曲 面 方 程 za 2 x 2 y 2 ,
于 是 1 x z2 y z2
a
,
a2 x2 y2
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9
面 积 A 4 1zx2zy2dxdy
D 1
4
D1
a dxdy
a2x2y2
4a 2d
I x mi yi 2 ， I y mi xi 2 .
i 1
i 1
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设 有 一 平 面 薄 片 ， 占 有 xo面 y上 的 闭 区 域
D， 在 点 (x,y)处 的 面 密 度 为 (x,y)， 假 定 (x,y)在 D上 连 续 ， 平 面 薄 片 对 于 x 轴 和 y 轴