广东省惠州市2018-2019学年度第一学期期末质量检测高一数学试题(解析版)

惠州市2018-2019学年第一学期期末考试
高一数学试题
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。

2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。

3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1.已知集合，集合，则集合（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
集合A和集合B的公共元素构成集合A∩B，根据交集的定义可直接求出所求．
【详解】，，所以，
故选：A.
【点睛】本题直接考查了集合的交集，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
2.已知向量，向量．若，则的值是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．
【详解】解：∵；
∴；
∴x＝﹣2．
故选：B．
【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
3.要得到函数的图象，只要将函数的图象（）
A. 向左平移个单位
B. 向右平移3个单位
C. 向左平移3个单位
D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【详解】解：将函数y＝cos2x的图象象左平移个单位，可得函数y＝cos（2x+3）的图象，
故选：A．
【点睛】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
4.函数的一个零点所在的区间为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将x＝﹣1，x＝0，x＝1代入函数的表达式，结合零点的判定定理，得出答案．
【详解】解：∵f（﹣1）1﹣21＜0，f（0）＝1﹣2＝﹣1＜0，
f（1）＝e﹣1﹣2＜0，f（2）＝e2﹣4＞0，
∴函数f（x）的零点在（1，2）内，
故选：B
【点睛】一是严格把握零点存在性定理的条件；
二是连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件；
三是函数f(x)在[a，b]上单调且f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上只有一个零点.
5.已知，则的大小关系为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
分析：由题意结合指数函数、对数函数的性质确定a,b,c的范围，然后比较其大小即可.
详解：由指数函数的性质可知：，，，
且，，据此可知：，
综上可得：.
本题选择D选项.
点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．
6.已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知及诱导公式即可计算求值．
【详解】，，
故选：C.
【点睛】本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
7.函数的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
利用奇偶性与单调性判断选项即可．
【详解】设，定义域为，
，所以函数为偶函数，其图象关于轴对称．且当时，
为单调递增函数．
故选：A
【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.
8.已知函数，若，那么实数的值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
推导出f（﹣1）＝3+1＝4，从而f（f（﹣1））＝f（4）＝4a+2＝18，由此能求出a的值．
【详解】解：∵函数，f（f（﹣1））＝18，
∴f（﹣1）＝3+1＝4，
f（f（﹣1））＝f（4）＝4a+2＝18，
解得a＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.下图是函数的图象的一部分，则该解析式为（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
根据图象，得，故，又由图象可知，点是“五点法”的第二点，，从而，故选D.
【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图象求解析式考查三角函数的性质，属于中档题.利用最值求出,利用图象先求出周期，用周期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.求解析时求参数是确定函数解析式的关键，由特殊点求时，一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点，用五点法求值时，往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口，“第一点”(即图象上升时与轴的交点) 时；“第二点”(即图象的“峰点”) 时；“第三点”(即图象下降时与轴的交点) 时；“第四点”(即图象的“谷点”) 时；“第五点”时.
10.在中，若，则是的（）
A. 外心
B. 内心
C. 重心
D. 垂心
【答案】D
【解析】
【分析】
由得到从而所以OB⊥AC，同理得到OA⊥BC，所以点O
是△ABC的三条高的交点．
【详解】解：∵∴；
∴；
∴OB⊥AC，
同理由，得到OA⊥BC
∴点O是△ABC的三条高的交点．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形五心、向量的数量积及向量的运算，考查转化与数形结合思想．
11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验方式为：弧田面积=，弧田（如图）由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差。

现有圆心角为，半径等于4米的弧田.下列说法不．正确的是（）
A. “弦”米，“矢”米
B. 按照经验公式计算所得弧田面积（）平方米
C. 按照弓形的面积计算实际面积为（）平方米
D. 按照经验公式计算所得弧田面积比实际面积少算了大约0.9平方米（参考数据)
【答案】C
【解析】
【分析】
运用解直角三角形可得AD，DO，可得弦、矢的值，以及弧田面积，运用扇形的面积公式和三角形的面积公式，可得实际面积，计算可得结论．
【详解】解：如图，由题意可得∠AOB，OA＝4，
在Rt△AOD中，可得∠AOD，∠DAO，OD AO，
可得矢＝4﹣2＝2，由AD＝AO sin42，
可得弦＝2AD＝4，
所以弧田面积（弦×矢+矢2）（42+22）＝4平方米．
实际面积，
．
可得A，B，D正确；C错误．
故选：C．
【点睛】本题考查扇形的弧长公式和面积公式的运用，考查三角函数的定义以及运算能力、推理能力，属于基础题．
12.定义域为的偶函数，满足对任意的有，且当，若函数
在上至少有六个零点，则的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
画出函数的图象，利用换元法，转化求解函数的零点个数，推出结果．
【详解】当时，，图象为开口向下，
顶点为的抛物线，函数在上至少有三个零点，令，因为
，所以，可得，
要使函数在上至少有三个零点，
如图要求，，
可得，，所以，
故选：A．
【点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
二、填空题。

13.若的图象过点，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】
把已知点代入函数，即可解得a值.
【详解】解：函数f（x）的图象过点（2，4），可得4＝a2，又a＞0，解得a＝2．
故答案为：2
【点睛】本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．
14._____.
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式变形，再由两角和的余弦求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查两角和的余弦，是基础题．
15.已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__.
【答案】（或）
【解析】
【分析】
由题意，利用判别式△≤0求得a的取值范围．
【详解】关于的不等式在上恒成立，所以图象与轴最多有一个交点，所以判别式
，解得，所以的取值范围为．
故答案为：[，+∞）．
【点睛】本题考查了一元二次不等式恒成立问题，考查数形结合与等价转化思想，是基础题
16.已知函数，则的最小值为____.
【答案】
【解析】
【分析】
化简函数的解析式，利用换元法，通过二次函数的最值的求解即可．
【详解】解：f（x）＝（x2+x）（x2﹣5x+6）
＝x（x+1）（x﹣2）（x﹣3）
＝[x（x﹣2）][（x+1）（x﹣3）]
＝（x2﹣2x）（x2﹣2x﹣3），
不妨令t＝x2﹣2x≥﹣1，则（t≥﹣1），
所以当时，f（x）的取最小值．
故答案为：
【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（1）计算：.
（2）若，求.
【答案】(1)1 (2)
【解析】
【分析】
（1）直接利用对数的运算性质化简求值；
（2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解．
【详解】(1)
，
，
(2) 〖解法1〗由题知
∴.
，
，
〖解法2〗
∴.
，
【点睛】本题考查对数的运算性质，考查三角函数的化简求值，是基础题．
18.已知向量，向量.
（1）求向量的坐标；
（2）当为何值时，向量与向量共线.
【答案】（1）（2）
【解析】
试题分析：（1）根据向量坐标运算公式计算；（2）求出的坐标，根据向量共线与坐标的关系列方程解出k;
试题解析：
（1）
（2），
∵与共线，
∴
∴
19.已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递增区间．
【答案】（1）；（1）.
【解析】
试题分析：（1）化简函数得，利用求解即可；
（2）令，即可求增区间.
试题解析：
（1）==
=
（2）令()
得：.
所以增区间为：.
点睛：函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的性质
(1)奇偶性：φ＝kπ时，函数y＝A sin(ωx＋φ)为奇函数；φ＝kπ＋(k∈Z)时，函数y＝A sin(ωx＋φ)为偶函数．
(2)周期性：y＝A sin(ωx＋φ)存在周期性，其最小正周期为T＝.
(3)单调性：根据y＝sin t和t＝ωx＋φ(ω＞0)的单调性来研究，由－＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调增区间；由＋2kπ≤ωx＋φ≤＋2kπ(k∈Z)得单调减区间．
20.已知函数图象过点．
（1）求实数的值，并证明函数是奇函数；
（2）利用单调性定义证明在区间上是增函数．
【答案】（1），证明略（2）见证明
【解析】
【分析】
（1）代入点，求得m，再由奇函数的定义，即可得证
（2）根据单调性的定义，设值，作差，变形，定符号和下结论即可得证
【详解】（Ⅰ）的图象过点，
∴，∴.
∴，的定义域为，关于原点对称，
，又，∴，
是奇函数．
（Ⅱ）证明：设任意，
则
又，，，∴
∴，
∴，
即在区间上是增函数
【点睛】本题主要考查了函数解析式的求解以及单调性的判断和证明，属于基础题，难度不大，掌握相关基本方法是解决该类题目的关键。

21.已知函数为偶函数，且函数的图象相邻的两条对称轴间的距离为．
（1）求的值；
（2）将的图象向右平移个单位后，再将所得的图象上所有点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的最值．
【答案】（1） (2)见解析
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再由题意利用三角函数的图象和性质求得ω和φ的值，可得函数的解析式，进而求得f（）的值．
（2）利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域求得y＝g（x）在[]上的最值．
【详解】（1）.
，
，
又
，
，
（2）由图象变换可得.
，
结合函数图像可得：
当即时，取最大值为.
【点睛】本题主要考查三角恒等变换，三角函数的图象和性质，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的定义域和值域，属于中档题．
22.设函数是定义域为的奇函数．
（1）若，求使不等式对一切恒成立的实数的取值范围；
（2）若函数的图象过点，是否存在正数，使函数在上的最大值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由f（1）＞0得a又a＞0，求出a＞1，判断函数的单调性f（x）＝a x﹣a﹣x为R上的增函数，不等式整理为x2﹣（k+1）x+1＞0对一切x∈R恒成立，利用判别式法求解即可；
（2）把点代入求出a＝2，假设存在正数m，构造函数设s＝2x﹣2﹣x则（2x﹣2﹣x）2﹣m（2x﹣2﹣x）+2＝s2﹣ms+2，对底数m进行分类讨论，判断m的值．
【详解】（1），由得，又∴ .
∵ ，函数是奇函数，∴
∵ 在上为增函数，即对一切恒成立，
即在恒成立，有，∴
得，所以的取值范围是
（2）假设存在正数符合，∵ 过∴
，
设,
(i) 若，则函数在上最小值为1
∵ 对称轴，（舍）
(ii) 若，则在上恒成立，且最大为1，最小值大于0
①
此时，故不合题意
②无解
综上所述，不存在正数满足条件。

【点睛】本题考查了奇函数的性质，利用奇函数的性质整理不等式，利用构造函数，用分类讨论的方法解决实际问题．。