2020版高考物理一轮复习通用版讲义：第九章第59课时带电粒子在组合场中的运动(题型研究课)含答案

第59课时 带电粒子在组合场中的运动(题型研究课)
命题点一 磁场与磁场的组合
[典例] 如图所示xOy 坐标系中，在y 轴右侧有一平行于y 轴的边界P Q ，P Q 左侧和右
侧存在磁感应强度大小分别为B 与B
2的匀强磁场，磁场方向均垂直于
xOy 平面向里。

电荷量为q 、质量为m 的带正电粒子，以某一速度从坐标系原点O 处沿x 轴正方向射出，经过
时间t ＝
4πm
3qB
时恰好到达y 轴上的A (0，l )点，不计粒子的重力作用。

(1)求粒子在左、右两侧磁场中做圆周运动的半径大小之比r 1∶r 2； (2)求边界P Q 与y 轴的距离d 和粒子从O 点射出的速度大小v 0；
(3)若相同的粒子以更大的速度从原点O 处沿x 轴正方向射出，为使粒子能经过A 点，粒子的速度大小应为多大？
[解析] (1)带电粒子在左、右两侧磁场中均做匀速圆周运动，则有q v 0B ＝m v 02r 1，q v 0·B 2＝m v 0
2
r 2
解得r 1∶r 2＝1∶2。

(2)粒子射出后经过时间t ＝4πm
3qB
时恰好到达A 点，运动情况如图1所示，设图中圆弧
DE 对应的圆心角为θ，
则粒子从O 点运动到A 点的时间为 θ360°T 2＋180°－θ360°T 1＝4πm
3qB 其中T 1＝2πm qB ，T 2＝4πm qB 解得θ＝60°
△C 1C 2C 3为等边三角形，根据几何关系得l ＝2r 1＋(r 2－r 1)，d ＝r 1sin θ 解得P Q 与y 轴的距离d ＝
3
6
l 粒子从O 点射出的速度大小v 0满足q v 0B ＝m v 02
r 1
解得v 0＝qBl
3m。

(3)速度更大的粒子，必从y 轴高点处转向下方时经过A 点，一个周期的运动轨迹如图
2，粒子在一个周期内沿y 轴方向的位移为
y ＝2r 1′＋2(r 2′－r 1′)sin α－2r 1′，其中r 2′＝2r 1′ 即y ＝2r 1′sin α，其中cos α＝
d r 1′
， 粒子经过A 点的条件是ny ＝l ，n ＝1,2,3，… 且q v B ＝m v 2
r 1′
得v ＝qBl 2m
13＋1
n 2
，n ＝1,2,3，… 因v >v 0，故n 只能取1或2，故粒子的速度大小为 v ＝
3qBl 3m 或v ＝21qBl
12m。

[答案] (1)1∶2 (2)36l qBl
3m (3)3qBl 3m 或21qBl 12m
[规律方法]
关注两段圆弧轨迹的衔接点
磁场与磁场的组合问题实质就是两个有界磁场中的圆周运动问题，带电粒子在两个磁场中的速度大小相同，但轨迹半径和运动周期往往不同。

解题时要充分利用两段圆弧轨迹的衔接点与两圆心共线的特点，进一步寻找边角关系。

[集训冲关]
1.(2017·全国卷Ⅲ)如图，空间存在方向垂直于纸面(xOy 平面)向里的磁场。

在x ≥0区域，
磁感应强度的大小为B 0；x <0区域，磁感应强度的大小为λB 0(常数λ>1)。

一质量为m 、电荷量为q (q >0)的带电粒子以速度v 0从坐标原点O 沿x 轴正向射入磁场，此时开始计时，当粒子
的速度方向再次沿x 轴正向时，求：(不计重力)
(1)粒子运动的时间； (2)粒子与O 点间的距离。

解析：(1)在匀强磁场中，带电粒子做圆周运动。

设在x ≥0区域，圆周半径为R 1；在x ＜0区域，圆周半径为R 2。

由洛伦兹力公式及牛顿第二定律得
qB 0v 0＝m v 02
R 1①
q λB 0v 0＝m v 02
R 2
②
粒子速度方向转过180°时，所需时间t 1为 t 1＝
πR 1
v 0
③ 粒子再转过180°时，所需时间t 2为 t 2＝
πR 2
v 0
④ 联立①②③④式得，所求时间为 t 0＝t 1＋t 2＝πm
B 0q ⎝
⎛⎭⎫1＋1λ。

⑤ (2)由几何关系及①②式得，所求距离为 d 0＝2(R 1－R 2)＝
2m v 0B 0q ⎝⎛⎭
⎫
1－1λ。

⑥
答案：(1)πm
B 0q ⎝⎛⎭⎫1＋1λ (2)2m v 0B 0q ⎝
⎛⎭⎫1－1λ
2.如图所示，M 、N 、P 为很长的平行边界，M 、N 与M 、P 间距分别为l 1、l 2，其间分别有磁感应强度为B 1
和B 2的匀强磁场区域，磁场Ⅰ和Ⅱ方向垂直纸面向里，B 1≠B 2。

有一电荷量为q 、质量为m 的带正电粒子，以某一初速度垂直边界N 及磁场方向射入MN 间的磁场区域。

不计粒子的重力。

求：
(1)要使粒子能穿过磁场Ⅰ进入磁场Ⅱ，粒子的初速度v 0至少应为多少；
(2)若粒子进入磁场Ⅰ的初速度v 1＝2qB 1l 1
m ，则粒子第一次穿过磁场Ⅰ所用时间t 1是多少；
(3)粒子初速度v 为多少时，才可恰好穿过两个磁场区域。

解析：(1)设粒子的初速度为v 0时恰好能进入磁场Ⅱ，则进入磁场Ⅱ时速度恰好沿边界M ，所以运动半径r ＝l 1， 由B 1q v 0＝m v 02r ，解得v 0＝B 1ql 1m 。

(2)粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动， 由B 1q v 1＝m v 12
r 1
，解得r 1＝2l 1，
设粒子在磁场Ⅰ中做匀速圆周运动(轨迹如图甲)对应的圆心角为α，则有sin α＝l 1r 1＝12，所以α＝π
6，
所以粒子第一次穿过磁场Ⅰ所用时间为 t 1＝α2πT ＝112×2πm B 1q ＝πm
6B 1q。

(3)设粒子速度为v 时，粒子在磁场Ⅱ中的轨迹恰好与边界P 相切，轨迹如图乙所示， 由Bq v ＝m v 2R 可得R 1＝m v B 1q ，R 2＝m v B 2q ，
由几何关系得sin θ＝
l 1R 1＝qB 1l 1
m v
， 粒子在磁场Ⅱ中运动有R 2－R 2sin θ＝l 2， 解得v ＝
qB 1l 1＋qB 2l 2
m。

答案：(1)B 1ql 1m (2)πm
6B 1q
(3)qB 1l 1＋qB 2l 2m 命题点二 电场与磁场的组合
考法1 先电场后磁场
1．带电粒子先在电场中做匀加速直线运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：
2．带电粒子先在电场中做类平抛运动，然后垂直进入磁场做圆周运动，如图：
[例1] (2018·全国卷Ⅲ)如图，从离子源产生的甲、乙两种离子，由静止经加速电压U
加速后在纸面内水平向右运动，自M 点垂直于磁场边界射入匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁场左边界竖直。

已知甲种离子射入磁场的速度大小为v 1，并在磁场边界的N 点射出；乙种离子在MN 的中点射出；MN 长为l 。

不计重力影响和离子间的相互作用。

求：
(1)磁场的磁感应强度大小； (2)甲、乙两种离子的比荷之比。

[解析] (1)设甲种离子所带电荷量为q 1、质量为m 1，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R 1，磁场的磁感应强度大小为B ，由动能定理有
q 1U ＝1
2
m 1v 12①
由洛伦兹力公式和牛顿第二定律有 q 1v 1B ＝m 1v 12
R 1②
由几何关系知 2R 1＝l ③ 由①②③式得 B ＝4U
l v 1。

④
(2)设乙种离子所带电荷量为q 2、质量为m 2，射入磁场的速度为v 2，在磁场中做匀速圆周运动的半径为R 2。

同理有
q 2U ＝1
2m 2v 22⑤
q 2v 2B ＝m 2v 22
R 2⑥
由题给条件有 2R 2＝l 2
⑦
由①②③⑤⑥⑦式得，甲、乙两种离子的比荷之比为 q 1m 1∶q 2
m 2
＝1∶4。

⑧
[答案] (1)4U
l v 1 (2)1∶4
考法2 先磁场后电场
[例2] 如图所示，真空中有一以O 点为圆心的圆形匀强磁场区域，半径为R ＝0.5 m ，
磁场方向垂直纸面向里。

在y >R 的区域存在沿y 轴负方向的匀强电场，电场强度为E ＝1.0×105 V/m 。

在M 点有一正粒子以速率v ＝1.0×106 m/s 沿x 轴正方向射入磁场，粒子穿出知粒子的比荷为q
m ＝
磁场进入电场，速度减小至0后又返回磁场，最终又从磁场离开。

已1.0×107 C/kg ，粒子重力不计。

求：
(1)圆形磁场区域磁感应强度的大小；
(2)沿x 轴正方向射入磁场的粒子，从进入磁场到再次穿出磁场所走过的路程。

[解析] (1)沿x 轴正方向射入磁场的粒子在进入电场后，速度减小到0，粒子一定是从
如图所示的P 点竖直向上射出磁场，逆着电场线运动，所以可得粒子在磁场中做圆周运动
的半径r ＝R ＝0.5 m ，
根据Bq v ＝m v 2r ，得B ＝m v
qR ，
代入数据得B ＝0.2 T 。

(2)粒子返回磁场后，经磁场偏转后从N 点射出磁场[如(1)中图所示]，MN 的长度等于直径，粒子在磁场中的路程为二分之一圆周长，即s 1＝πR ，
设粒子在电场中运动的路程为s 2，
根据动能定理得Eq ·s 22＝12m v 2
，得s 2＝m v 2Eq ，
则总路程s ＝πR ＋m v 2
Eq ， 代入数据得s ＝(0.5π＋1)m 。

[答案] (1)0.2 T (2)(0.5π＋1)m
考法3 先后多个电磁场
[例3] 如图所示，宽度为3L 的区域被平均分为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，其中区域Ⅰ、Ⅲ有3L 、宽为L
2的矩形
匀强磁场，它们的磁感应强度大小相等，方向垂直纸面且相反。

长为abcd 紧邻磁场下方，与磁场边界对齐，O 为dc 边中点，P 为dc 中垂线上一点，OP ＝3L 。

矩形内有匀强电场，电场强度大小为E ，方向由a 指向O 。

电荷量为q 、质量为m 、重力不计的带电粒子由a 点静止释放，经电场加速后进入磁场，运动轨迹刚好与区域Ⅲ的右边界相切。

求：
(1)该粒子经过O 点时的速度大小v 0； (2)匀强磁场的磁感应强度大小B ；
(3)若在aO 之间距O 点x 处静止释放该粒子，粒子在磁场区域中共偏转n 次到达P 点，x 应满足的条件及n 的可能取值。

[解析] (1)由题意，根据几何关系可知aO ＝L ，粒子在电场中从a 到O 加速，由动能定理得：qEL ＝1
2m v 02①
解得v 0＝
2qEL
m 。

②
(2)粒子在磁场区域Ⅲ中的运动轨迹如图，设粒子轨迹半径为R 0， 由几何关系可得： R 0－R 0cos 60°＝
3
3
L ③ 由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得：q v 0B ＝m v 02
R 0④
联立②③④式得：B ＝
3mE
2qL。

⑤ (3)若粒子在磁场中一共经过n 次偏转到达P ，设粒子轨迹半径为R ， 由图中几何关系有：2n ⎝⎛⎭
⎫3L 6tan 30°＋R cos 30°＝3L ⑥ 依题意有0<R ≤R 0⑦
联立③⑥⑦式得9
7≤n <9，且n 取正整数⑧
设粒子在磁场中的运动速率为v ，有：q v B ＝m v 2
R ⑨
在电场中的加速过程，由动能定理得：qEx ＝1
2m v 2⑩
联立⑤⑥⑨⑩式得：x ＝⎝⎛⎭⎫32n －162
L ，其中n ＝2,3,4,5,6,7,8。

[答案] (1)
2qEL
m
(2) 3mE
2qL
(3)x ＝⎝⎛⎭⎫32n －162
L ，n ＝2,3,4,5,6,7,8 [规律方法]
(1)带电粒子在电场中加速，一般应用动能定理，即可求出加速后进入磁场前的速度。

(2)带电粒子进入磁场，在有界磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，再结合几何关系即可求解运动半径、周期等物理量。

(3)在有界磁场中运动时，要根据不同的边界确定临界条件，还要注意多解问题。