§6.1定积分的概念

作和
n
S f (x i)Dxi。
i 1
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记max{Dx1,Dx2,,Dxn}， 如果0时，S 的极限
总存在， 则称 f(x) 在 [a, b] 上是可积的。
并称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分， 记作
b f (x)dx，即 b
按定积分的定义，有
(1) 由连续曲线yf(x) (f(x)0) ，直线xa、xb及x轴
所围成的曲边梯形的面积为
b
S
f (x)dx；
a
(2) 设物体运动的速度vv(t)，则此物体在时间区间
[a, b]内运动的距离s为
b
s
v(t)dt。
a
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二、注意事项：
(1)定积分是一个数值，它只与被积函数及积分区间
们规定
a f(x)dx b f (x)dx。
b
a
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三、几何意义：
当
f(x)0
时，积分
b
f
(x)dx
a
在几何上表示由 y=f (x)、
xa、xb与 x轴所围成的曲边梯形的面积。
y yf (x)
Oa
b
c
b
f (x)dx f (x)dx
f (x)dx。
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返回bxbcba f (x)dx aS f (x)dxc f (x
yf (x)
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a
a
n
f (x)dx lim 0 i1
f (x i)Dxi。
b f (x)dx，即 b
a
a
n
f (x)dx lim 0 i1
f (x i)Dxi。
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定积分的定义即式： b f (x)dxlim n
a
0 i1
f (x i)Dxi，
§6. 2 定积分的定义
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一、定义： 设函数 f(x) 在区间[a, b]上有定义。
在[a, b]内插入分点 xi (xi1< xi，i1, 2, , n1)， 记第 i 个小区间的长度为
Dxi xi xi1 (i1, 2, , n)。
取点 x i[xi1, xi ] (i1, 2, , n) ，
a
a
c
bx
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当f(x)0时，
积分 b f (x)dx 在几何上表示 y a
上述曲边梯形面积的负值。
b
S a[ f (x)]dx
n

lim
0
i1
[
f
(xi
)]Dxi
n
lim 0 i1
f (xi )Dxi
．
Oa
b f (x)dx ．， a
有关，而与积分变量的记法无关，即
b
f(x)dx
b
b
f (t)dt
f(u)du。
a
a
a
(2)无界函数是不可积的，即函数f(x)有界是可积的
必要条件。
(3)有限区间上的连续函数是可积的，有限区间上只
有有限个间断点的有界函数也是可积的。
(4)在定积分的定义中，我们假定a<b，如果b<a，我
定积分的相关名称： ———叫做积分号， f(x) ——叫做被积函数， x ———叫做积分变量， a ———叫做积分下限， b ———叫做积分上限， [a, b] —叫做积分区间。
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定积分的定义即式： b f (x)dxlim n
a
0 i1
f (x i)Dxi，