高中数学人教A版必修1第二章2

2.2.2幂函数
班级：姓名：小组：【教学目标】
1.通过具体实例了解幂函数的概念.
2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝
1
2
x的图象，并通过其
图象了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用．
【研学流程】
一、【学】
1．幂函数的概念
一般地，叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．2．幂函数的图象与性质
由幂函数y＝x、y＝
1
2
x、y＝x2、y＝x－1、y＝x3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：
(1)幂函数在上都有定义；
(2)幂函数的图象都过点；
(3)当α>0时，幂函数图象都过点与，且在(0，＋∞)上单调；
(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上单调
二、【交】幂函数的概念幂函数的图象和性质
三、【导】
例1在函数y＝1
x2
，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()
A．0 B．1 C．2 D．3
跟踪训练1已知y＝(m2＋2m－2)21
xm ＋2n－3是定义域为R的幂函数，求m，n的值．例2证明幂函数f(x)＝x在[0，＋∞)上是增函数．
跟踪训练2 求证：函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
例3 比较大小： (1)121.5，12
1.7； (2)(－1.2)3，(－1.25)3 ； (3)5.25－1,5.26－1,5.26－
2.
跟踪训练3 比较下列各组数的大小： （1）78
8--和7
819-（）； (2)(－2)－3和(－2.5)－3；
(3)(1.1)－0.1和(1.2)－0.1； (4)25(4.1)，23(3.8)
-和35(1.9).
四、【用】
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝x 3
C ．y ＝2x
D ．y ＝x －1
2．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点）
，（2
22，则f (4)的值等于( ) A ．16 B.116 C ．2 D.12 3．当α∈{－1，12
，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．
答案：
1．幂函数的概念
一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．
2．幂函数的图象与性质
由幂函数y ＝x 、y ＝1
2x 、y ＝x 2、y ＝x －1、y ＝x 3的图象，可归纳出幂函数的如下性质：
(1)幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
(2)幂函数的图象都过点(1,1)；
(3)当α>0时，幂函数图象都过点(0,0)与(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递增；
(4)当α<0时，幂函数的图象都不过点(0,0)，在(0，＋∞)上单调递减．
例1 在函数y ＝1x 2，y ＝2x 2，y ＝x 2＋x ，y
＝1中，幂函数的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
答案 B
跟踪训练1 已知y ＝(m 2＋2m －2)21xm -＋2n －3是定义域为R 的幂函数，求m ，n 的值．
解 由题意得⎩⎨⎧ m 2＋2m －2＝1
m 2－1≠0
2n －3＝0，
解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝－3n ＝32，
所以m ＝－3，n ＝32
； 例2 证明幂函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．
证明 任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1<x 2，
则f (x 1)－f (x 2)＝x 1－x 2 ＝
(x 1－x 2)(x 1＋x 2)x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2， 因为x 1－x 2<0，x 1＋x 2>0，
所以f (x 1)<f (x 2)，
即幂函数f (x )＝x 在[0，＋∞)上是增函数．
跟踪训练2 求证：函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．
证明 设x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1<x 2，则
f (x 1)－f (x 2)＝(－x 31＋1)－(－x 32＋1)
＝x 32－x 31＝(x 2－x 1)(x 21＋x 1x 2＋x 22)．
∵x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，
又∵x 21＋x 1x 2＋x 22＝⎝⎛⎭
⎫x 1＋x 222＋34x 22 且⎝⎛⎭
⎫x 1＋x 222≥0，34x 22≥0. 上式中两等号不能同时取得(否则x 1＝x 2＝0与x 1<x 2矛盾)，
∴x 21＋x 1x 2＋x 22>0，
∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，
∴函数f (x )＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上为减函数．
例3 比较大小：(1)1
21.5，121.7；(2)(－1.2)3，(－1.25)3；(3)5.25－1,5.26－1,5.26－2.
解(1)∵y＝
1
2
x在[0，＋∞)上是增函数，1.5<1.7，
∴
1
2
1.5<
1
2
1.7；
(2)∵y＝x3在R上是增函数，－1.2>－1.25，
∴(－1.2)3>(－1.25)3；
(3)∵y＝x－1在(0，＋∞)上是减函数，5.25<5.26，∴5.25－1>5.26－1；
∵y＝5.26x是增函数，－1>－2，
∴5.26－1>5.26－2.
综上，5.25－1>5.26－1>5.26－2.
跟踪训练3比较下列各组数的大小：
(1)
7
8
8-
-和
7
8
1
9
-（）；(2)(－2)－3和(－2.5)－3；(3)(1.1)－0.1和(1.2)－0.1；(4)
2
5
(4.1)，
2
3
(3.8)-和
3
5
(1.9).
解(1)
7
8
8-
-＝
7
8
1
()
8
-，函数y＝
7
8
x在(0，＋∞)上为增函数，
又1
8>
1
9，则
7
8
1
()
8
>
7
8
1
()
9
，
从而
7
8
8-
-<－
7
8
1
()
9
.
(2)幂函数y＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数，又∵－2>－2.5，∴(－2)－3<(－2.5)－3.
(3)幂函数y＝x－0.1在(0，＋∞)上为减函数，
又∵1.1<1.2，∴1.1－0.1>1.2－0.1.
(4)
2
5
(4.1)>
2
5
1＝1；0<
2
3
(3.8)-<
2
3
1-＝1；
3
5( 1.9)-<0，∴35( 1.9)-<2
3(3.8)-<25(4.1).
1．下列函数中不是幂函数的是( )
A ．y ＝x
B ．y ＝x 3
C ．y ＝2x
D ．y ＝x －1 答案 C
2．已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，
22，则f (4)的值等于( ) A ．16 B.116
C ．2
D.12 答案 D
3．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 的所有α的值为( ) A ．1,3
B ．－1,1
C ．－1,3
D ．－1,1,3
答案 A 4．当α∈{－1，12，1,3}时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．
答案 二、四。