2016_17学年高中数学3.3三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修1

3.3 三角函数的积化和差与和差化积
1.能根据公式S α±β和C α±β进行恒等变换，推导出积化和差与和差化积公式.(难点)
2.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的特点，提高推理、运算能力.(重点)
[基础·初探]
教材整理 积化和差与和差化积公式 阅读教材P 149内容，完成下列问题. 1.积化和差公式：
cos αcos β＝1
2[cos(α＋β)＋cos(α－β)]；
sin αsin β＝－1
2[cos(α＋β)－cos(α－β)]；
sin αcos β＝1
2[sin(α＋β)＋sin(α－β)]；
cos αsin β＝1
2[sin(α＋β)－sin(α－β)].
2.和差化积公式：
设α＋β＝x ，α－β＝y ，则α＝x ＋y
2
，β＝
x －y
2
.这样，上面的四个式子可以写成，
sin x ＋sin y ＝2sin x ＋y
2cos x －y
2； sin x －sin y ＝2cos x ＋y 2sin x －y 2； cos x ＋cos y ＝2cos
x ＋y
2
cos
x －y
2
； cos x －cos y ＝－2sin
x ＋y
2
sin
x －y
2
.
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)sin(A ＋B )＋sin(A －B )＝2sin A cosB.( )
(2)sin(A ＋B )－sin(A －B )＝2cos A sinB.( ) (3)cos(A ＋B )＋cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) (4)cos(A ＋B )－cos(A －B )＝2cos A cosB.( ) 【答案】 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：_________________________________________________________
[小组合作型]
(2)求值：sin 20°sin 40°sin 60°sin 80°.
【精彩点拨】 在利用积化和差与和差化积公式求值时，尽量出现特殊角，同时注意互余角、互补角的三角函数间的关系.
【自主解答】 (1)sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°＝1
2(sin 90°－sin 50°)
－1
2
(cos 60°－cos 40°) ＝14－12sin 50°＋1
2cos 40° ＝14－12sin 50°＋12sin 50°＝14
. (2)原式＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70° ＝
3
2
cos 10°cos 50°cos 70°
＝
32⎣⎢⎡⎦⎥⎤1
2cos 60°＋cos 40°·cos 70° ＝38cos 70°＋3
4cos 40°cos 70° ＝
38cos 70°＋3
8(cos 110°＋cos 30°) ＝
38cos 70°＋38cos 110°＋316＝316
.
给角求值的关键是正确地选用公式，以便把非特殊角的三角函数相约或相消，从而化为特殊角的三角函数.
[再练一题]
1.求sin 2
20°＋cos 2
50°＋sin 20°·cos 50°的值.
【解】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 100°2＋12(sin 70°－sin 30°)
＝1＋12(cos 100°－cos 40°)＋12sin 70°－1
4
＝34＋12(－2sin 70°sin 30°)＋1
2sin 70° ＝34－12sin 70°＋12sin 70°＝34
.
(2016·平原高一检测)已知cos α－cos β＝2，sin α－sin β＝－1
3
，求
sin(α＋β)的值.
【导学号：72010090】
【精彩点拨】 解答本题利用和差化积公式，对所求式子进行变形，利用所给条件求解. 【自主解答】 ∵cos α－cos β＝1
2，
∴－2sin α＋β2sin α－β2＝1
2.①
又∵sin α－sin β＝－1
3，
∴2cos α＋β2sin α－β2＝－13
.②
∵sin α－β2
≠0，
∴由①②，得－tan α＋β2＝－32，即tan α＋β2＝3
2.
∴sin(α＋β)＝2sin α＋β2cos
α＋β2
sin 2α＋β2＋cos
2α＋β2
＝2tan α＋β21＋tan 2α＋β
2＝2×
3
21＋
94
＝12
13
.
对于给值求值问题，一般思路是先对条件化简，之后看能否直接求结果；若不满足，再对所求式化简，直到找到两者的联系为止
.
[再练一题]
2.(2016·银川高一检测)已知sin α＝－45，π＜α＜32π，求sin α2，cos α2，tan
α
2的值.
【解】 ∵π＜α＜32π，sin α＝－4
5，
∴cos α＝－35，且π2＜α2＜3
4π，
∴sin α
2＝
1－cos α2＝25
5
， cos α
2
＝－
1＋cos α2＝－55，tan α
2＝sin
α
2cos
α
2
＝－2. [探究共研型]
探究1 【提示】 注意三角形中的隐含条件的应用，如A ＋B ＋C ＝π，a ＋b >c 等. 探究2 在△ABC 中有哪些重要的三角关系？ 【提示】 在△ABC 中的三角关系：
sin(A ＋B )＝sin C ， cos(A ＋B )＝－cos C ， sin
A ＋B
2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2
， sin(2A ＋2B )＝－sin 2C ， cos(2A ＋2B )＝cos 2C .
在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B －sin C ＝4sin A 2sin B 2cos C
2.
【精彩点拨】 利用和差化积进行转化，转化时要注意A ＋B ＋C ＝π. 【自主解答】 左边＝sin(B ＋C )＋2sin B －C
2
·cos
B ＋C
2
＝2sin B ＋C
2
cos
B ＋C
2＋2sin B －C
2
cos
B ＋C
2
＝2cos
B ＋
C 2⎝
⎛
⎭
⎪⎫
sin
B ＋
C 2
＋sin
B －
C 2
＝4sin A
2sin B
2cos C
2＝右边，
∴原等式成立.
证明三角恒等式的基本思路是根据等式两端特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右归一、变更论证等方法，使等式两端的“异”化为“同”，分式不好证时，可变形为整式来证.
[再练一题]
3.在△ABC 中，求证：sin A ＋sin B ＋sin C ＝4cos A 2·cos B 2cos C
2.
【证明】 由A ＋B ＋C ＝180°， 得C ＝180°－(A ＋B )，
即C 2＝90°－A ＋B
2， ∴cos C 2＝sin A ＋B 2
.
∴sin A ＋sin B ＋sin C ＝2sin A ＋B
2·cos A －B
2＋sin(A ＋B ) ＝2sin
A ＋
B 2
·cos
A －
B 2
＋2sin
A ＋B
2
·cos
A ＋B
2
＝2sin
A ＋
B 2⎝
⎛
⎭
⎪⎫
cos
A －B
2
＋cos
A ＋
B 2
＝2cos C 2·2cos A
2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫
－B 2
＝4cos A
2cos B 2cos C
2
，∴原等式成立. [构建·体系]
1.计算sin 105°cos75°的值是( ) A.1
2 B.14 C.－14
D.－12
【解析】 sin 105°cos 75°＝12(sin 180°＋sin 30°)＝1
4.
【答案】 B
2.sin 75°－sin 15°的值为( ) A.1
2 B.22
C.32
D.－12
【解析】 sin 75°－sin 15
＝2cos 75°＋15°2sin 75°－15°2＝2×22×12＝22.
故选B. 【答案】 B
3.函数y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6cos x 的最大值为( )
【导学号：72010091】
A.12
B.14
C.1
D.22
【解析】 ∵y ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x －π6cos x
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6－x
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝
⎛
⎭⎪⎫2x －π6－12
＝12sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫2x －π6－14.
∴取最大值1
4.
【答案】 B
4.已知sin(α＋β)＝23，sin(α－β)＝1
5，则sin αcos β＝________.
【解析】 sin αcos β＝12sin(α＋β)＋12sin(α－β)＝12×23＋12×15＝13
30.
【答案】
13
30
5.化简下列各式： (1)
cos A ＋＋B ＋－B
sin B ＋
＋A －
－A
； (2)sin A ＋2sin 3A ＋sin 5A sin 3A ＋2sin 5A ＋sin 7A
. 【解】 (1)原式＝cos A ＋2cos 120°cos B
sin B ＋2cos 120°sin A
＝cos A －cos B
sin B －sin A ＝2sin A ＋B 2sin
B －A 22cos A ＋B 2sin
B －A
2
＝tan
A ＋B
2
.
(2)原式＝A ＋sin 5A ＋2sin 3A
A ＋sin 7A ＋2sin 5A
＝2sin 3A cos 2A ＋2sin 3A
2sin 5A cos 2A ＋2sin 5A
＝
2sin 3
A A ＋2sin 5
A
A ＋
＝
sin 3A
sin 5A
.
我还有这些不足：
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________ 我的课下提升方案：
(1)_________________________________________________________ (2)_________________________________________________________
学业分层测评(二十九) (建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.sin 37.5°cos 7.5°＝( ) A.
2
2 B.24 C.2＋1
4
D.
2＋2
4
【解析】 原式＝1
2[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝12(sin 45°＋sin 30°)＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＝2＋14. 【答案】 C
2.(2016·吉林高一检测)sin 10°＋sin 50°sin 35°·sin 55°＝( )
A.14
B.12
C.2
D.4
【解析】 原式＝2sin 30°cos 20°sin 35°cos 35°＝cos 20°12sin 70°＝2cos 20°
cos 20°
＝2.
【答案】 C
3.若cos(α＋β)cos(α－β)＝13
，则cos 2α－sin 2
β等于( )
A.－23
B.－13
C.13
D.23
【解析】 ∵cos(α＋β)cos(α－β) ＝1
2
(cos 2α＋cos 2β) ＝12[(2cos 2α－1)＋(1－2sin 2
β)] ＝cos 2
α－sin 2
β， ∴cos 2α－sin 2
β＝13.
【答案】 C
4.(2016·沈阳高一检测)在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2
C
2，则△ABC 是( )
A.等边三角形
B.等腰三角形
C.不等边三角形
D.直角三角形
【解析】 由sin A sin B ＝cos 2C 2，得12cos(A －B )－12cos(A ＋B )＝1＋cos C 2， ∴12cos(A －B )＋12cos C ＝12＋1
2cos C ， 即cos (A －B )＝1， ∴A －B ＝0，即A ＝B . ∴△ABC 是等腰三角形. 【答案】 B
5.求值：sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80 °＝( ) A.12 B.22
C.32
D.1
【解析】 sin 20°＋sin 40°＋sin 60°－sin 80° ＝2sin 30°cos 10°＋sin 60°－sin 80° ＝2×12×sin 80°＋32－sin 80°＝32.
【答案】 C 二、填空题
6.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x 的最大值是________. 【解析】 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π3－2x
＝12⎩⎨⎧
cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋
⎭
⎬⎫cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋cos 4x ＝1
2cos 4x －14.
∴取最大值1
4.
【答案】 1
4
7.直角三角形中两锐角为A 和B ，则sin A sin B 的最大值为________. 【解析】 ∵A ＋B ＝π
2
，
sin A sin B ＝1
2[cos(A －B )－cos(A ＋B )]
＝1
2
cos(A －B )， 又－π2＜A －B ＜π
2，∴0＜cos(A －B )≤1，
∴sin A sin B 有最大值12.
【答案】 1
2
8.(2016·日照高一检测)化简：sin 42°－cos 12°＋sin 54°＝________.
【导学号：72010092】
【解析】 sin 42°－cos 12°＋sin 54° ＝sin 42°－sin 78°＋sin 54°
＝－2cos 60°sin18°＋sin 54°＝sin 54°－sin 18° ＝2cos 36°sin 18°＝2cos 36°sin 18°cos 18°
cos 18°
＝cos 36°sin 36°cos 18°＝2cos 36°sin 36°
2cos 18°
＝
sin 72°2cos 18°＝1
2
.
【答案】 12
三、解答题
9.(2016·济宁高一检测)已知A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，y ＝tan A 2＋2cos A 2sin A 2＋cos B －C 2，若任意交换两个角的位置，y 的值是否变化？并证明你的结论.
【解】 ∵A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，
∴A ＋B ＋C ＝π，A 2＝π2－B ＋C 2
. ∴y ＝tan A 2＋2sin B ＋C 2cos B ＋C 2＋cos B －C 2
＝tan A 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin B 2cos C 2＋cos B 2sin C 22cos B 2cos C 2
＝tan A 2＋tan B 2＋tan C 2
. 因此，任意交换两个角的位置，y 的值不变. 10.求函数f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3的最小正周期与最值. 【解】 f (x )＝sin x ⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin x －sin ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π3 ＝sin x ·2cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－sin x cos ⎝
⎛⎭⎪⎫x ＋π6 ＝－12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋14. ∴最小正周期为T ＝2π2
＝π. ∵sin ⎝
⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,1]，
∴取最大值34，取最小值－14
. [能力提升]
1.若sin α＋sin β＝
33
(cos β－cos α)且α∈(0，π)，β∈(0，π)，则α－β等于( )
A.－2π3
B.－π3
C.π3
D.2π3 【解析】 ∵α，β∈(0，π)，∴sin α＋sin β＞0，
∴cos β－cos α＞0，
∴cos β＞cos α，又在(0，π)上，y ＝cos x 是减函数，
∴β＜α，0＜α－β＜π，由原式可知：
2sin α＋β2cos α－β2
＝33⎝ ⎛⎭
⎪⎫－2sin α＋β2sin β－α2， ∴tan α－β2＝3，∴α－β2＝π3，∴α－β＝2π3
. 【答案】 D
2.在△ABC 中，若B ＝30°，则cos A sin C 的取值范围是( )
A.[－1,1]
B.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 C.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，14 【解析】 cos A sin C ＝12[sin(A ＋C )－sin(A －C )]＝14－12
sin(A －C )，∵－1≤sin(A －C )≤1，
∴cos A sin C ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－14，34. 【答案】 C
3.sin 220°＋cos 2
80°＋3sin 20°cos 80°＝________.
【解析】 原式＝1－cos 40°2＋1＋cos 160°2
＋ 32sin 100°－32sin 60°
＝14－12cos 40°－12cos 20°＋32
sin 100° ＝14－12×2cos 30°cos 10°＋32
cos 10° ＝14－32cos 10°＋32cos 10°＝14
. 【答案】 14
4.已知3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π12，求证：sin 2α＝1. 【证明】 ∵3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝tan ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π12， ∴3sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α－π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12 ＝sin ⎝
⎛⎭⎪⎫α＋π12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π12， ∴32⎝
⎛⎭⎪⎫sin 2α－sin π6＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α＋sin π6， ∴3sin 2α－32＝sin 2α＋12
， ∴sin 2α＝1.。