高中数学 模块综合测试(B)北师大版必修5(2021年整理)

2016-2017学年高中数学模块综合测试（B）北师大版必修5
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模块综合测试（B)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是( )
A。

错误!＜错误!B。

错误!＜错误!
C．a2＜b2D．|a｜＞|b｜
解析：如果a＜0，b＞0，那么错误!＜0，错误!＞0,
∴错误!＜错误!.
答案：A
2．已知两个正数a，b的等差中项为4，则a，b的等比中项的最大值为( )
A．2 B．4
C．8 D．16
解析：错误!≤错误!＝4,故选B。

答案:B
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，若c＝错误!,b＝错误!，B＝120°，则a ＝( ）
A。

错误!B．2
C. 3
D.错误!
解析：由正弦定理，得错误!＝错误!，
∴sin C＝错误!.
又∵C为锐角，则C＝30°，∴A＝30°,
△ABC为等腰三角形，a＝c＝错误!,故选D.
答案:D
4．在等差数列｛a n｝中,若a4＋a6＝12,S n是数列{a n}的前n项和,则S9的值为( ）A．48 B．54
C．60 D．66
解析: 因为a4＋a6＝a1＋a9＝a2＋a8＝a3＋a7＝2a5＝12，
所以S9＝a1＋…＋a9＝54.
答案：B
5．不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是错误!，则a＋b的值是( )
A．10 B．－10
C．－14 D．14
解析：不等式ax2＋bx＋2＞0的解集是错误!，即方程ax2＋bx＋2＝0的解为x＝－错误!或错误!，
故错误!解得错误!
∴a＋b＝－14.
答案：C
6．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a sin A sin B＋b cos2A＝错误!a，则错误!＝( )
A．2错误!B．2错误!
C.错误!D。

错误!
解析：由正弦定理，得sin2A sin B＋sin B cos2A＝错误!sin A，即sin B·(sin2A＋cos2A）＝错误!sin A，sin B＝错误!sin A，∴错误!＝错误!＝错误!。

答案：D
7．已知等差数列｛a n｝的公差d≠0且a1,a3，a9成等比数列，则错误!等于( )
A.错误!B。

错误!
C.13
16
D。

错误!
解析: 因为a错误!＝a1·a9,所以（a1＋2d)2＝a1·（a1＋8d)．
所以a1＝d.
所以错误!＝错误!＝错误!。

答案：C
8．数列｛a n}满足a1＝1，a2＝2,2a n＋1＝a n＋a n＋2,若b n＝错误!,则数列{b n}的前5项和等于（)
A．1 B。

错误!
C.1
6
D.错误!
解析: ∵2a n＋1＝a n＋a n＋2，∴{a n｝是等差数列．又∵a1＝1，a2＝2，∴a n＝n.
又b n＝
1
a n·a n
＋1
＝错误!＝错误!－错误!，
∴b1＋b2＋b3＋b4＋b5
＝错误!＋错误!＋…＋错误!
＝1－错误!＝错误!，故选B.
答案：B
9．实数x，y满足不等式组错误!则k＝错误!的取值范围是（)
A.错误! B。

错误!
C。

错误! D。

错误!
解析：
作平面区域如图所示，k＝错误!表示点（x,y）与点(－1，1)连线的斜率，故选D。

答案：D
10．等比数列{a n｝中，已知对任意自然数n，a1＋a2＋a3＋…＋a n＝2n－1,则a2，1＋a22＋a2，3＋…＋a错误!＝（)
A．(2n－1）2 B.错误!(2n－1)
C．4n－1 D.错误!（4n－1)
解析：由已知等比数列｛a n｝的前n项和S n＝2n－1，
所以a1＝S1＝1，a2＝S2－a1＝2,所以公比q＝2.
又因为错误!＝错误!2＝q2＝4，
所以数列｛a错误!}是以q2＝4为公比的等比数列,
所以a2，1＋a错误!＋a错误!＋…＋a错误!＝错误!＝错误!(4n－1）．
答案:D
11．已知x，y∈R＋，2x＋y＝2，c＝xy,那么c的最大值为（）
A．1 B。

错误!
C。

错误! D.错误!
解析：由已知,2＝2x＋y≥2错误!＝2错误!，所以c≤错误!.
答案：B
12．在△ABC中，已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦值是错误!，则△ABC的面积是( ）
A.错误!
B.错误!错误!
C.错误!错误!
D.错误!错误!
解析：由题可知a＝b＋2,b＝c＋2,∴a＝c＋4.
∵sin A＝错误!,∴A＝120°.
又cos A＝cos 120°＝错误!＝错误!
＝c2－4c－12
2c c＋2
＝－错误!，
整理得c2－c－6＝0，
∴c＝3(c＝－2舍去），从而b＝5，
∴S△ABC＝错误!bc sin A＝错误!错误!。

故选B.
答案：B
二、填空题（本大题共4小题,每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上）
13．若错误!则z＝2y－2x＋4的最小值为________．
解析：作出可行域，如图所示，
当直线z＝2y－2x＋4过可行域上点B时，直线在y轴上的截距最小，z最小，又点B坐标为(1，1),
所以z min＝2×1－2×1＋4＝4.
答案：4
14．在等比数列｛a n}中，若a9·a11＝4，则数列log错误!a n前19项之和为________．解析：由题意a n＞0，且a1·a19＝a2·a18＝…＝a9·a11＝a210，
又a9·a11＝4,
所以a10＝2，故a1a2…a19＝（a10)19＝219.
故log错误!a1＋log错误!a2＋...＋log错误!a19＝log错误!（a1a2 (19)
＝log错误!219＝－19.
答案：－19
15．在△ABC中，若b＝1,c＝错误!，∠C＝错误!，则a＝________。

解析：∵c2＝a2＋b2－2ab cos∠C，
∴（3）2＝a2＋12－2a·1·c os错误!π，
∴a2＋a－2＝0,
∴（a＋2）(a－1）＝0
∴a＝1
答案：1
16．设关于x的不等式ax＋b＞0的解集为{x|x＞1｝，则关于x的不等式
ax＋b
x2－5x－6
＞0的
解集为________．
解析:
由题意得:
a＞0且－错误!＝1.
又原不等式可变为（x－6）(x＋1)(ax＋b）＞0,
故由右图可知{x｜－1＜x＜1或x＞6}．
答案：｛x｜－1＜x＜1或x＞6｝
三、解答题（本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分12分）解不等式组错误!.
解析：错误!⇒错误!⇒
错误!⇒错误!⇒－2＜x＜－1。

∴不等式组的解集为{x|－2＜x＜－1}．
18．(本小题满分12分)设S n是公差不为0的等差数列{a n｝的前n项和，且S1，S2，S4成等比数列．
(1)求a
2
a
1
的值；
（2)若a5＝9，求a n及S n的表达式．
解析：(1）设等差数列｛a n}的公差是d.
∵S1，S2，S4成等比数列，
∴S错误!＝S1S4，即（2a1＋d）2＝a1（4a1＋6d)，
化简得d2＝2a1d，注意到d≠0，
∴d＝2a1。

∴错误!＝错误!＝错误!＝3。

(2)a5＝a1＋4d＝9a1＝9,∴a1＝1,d＝2。

∴a n＝a1＋(n－1)d＝2n－1，S n＝错误!＝n2。

19．（本小题满分12分）在△ABC中,a,b，c分别是角A，B，C的对边，且（2a＋c）cos B ＋b cos C＝0。

(1）求角B的大小；
(2）若b＝错误!；a＋c＝4,求△ABC的面积．
解析：（1）由余弦定理得cos B＝错误!，
cos C＝错误!，
将上式代入（2a＋c）cos B＋b cos C＝0，
整理得a2＋c2－b2＝－ac，
∴cos B＝错误!＝错误!＝－错误!，
∵B为△ABC的内角，∴B＝错误!π。

（2）由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，
即b2＝（a＋c)2－2ac－2ac cos B,
将b＝13,a＋c＝4，B＝错误!π代入上式得，
13＝16－2ac错误!，∴ac＝3。

∴S△ABC＝错误!ac sin B＝错误!。

20．(本小题满分12分）设集合A、B分别是函数y＝错误!与函数y＝lg（6＋x－x2)的定义域，C＝{x|x2－4ax＋3a2＜0}．若A∩B⊆C，求实数a的取值范围．
解析: 由x2＋2x－8＞0，得x＜－4或x＞2，
所以A＝{x｜x＜－4或x＞2｝;
由6＋x－x2＞0，即x2－x－6＜0，得－2＜x＜3，
所以B＝{x｜－2＜x＜3｝．
于是A∩B＝{x｜2＜x＜3｝．
由x2－4ax＋3a2＜0，得(x－a）（x－3a）＜0，
当a＞0时，C＝{x｜a＜x＜3a｝,
由A∩B⊆C，得错误!，所以1≤a≤2；
当a＝0时,不等式x2－4ax＋3a2＜0
即为x2＜0，解集为空集，此时不满足A∩B⊆C；
当a＜0时，C＝｛x|3a＜x＜a},
由A∩B⊆C，得错误!,此不等式组无解．
综上，满足题设条件的实数a的取值范围为｛a|1≤a≤2｝．
21．(本小题满分12分)某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机,由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金（百
元）月资金供
空调机洗衣机
应量(百元）成本3020300
劳动力（工资）510110
单位利润68
解析: 设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台，总利润是z,则z＝6x＋8y
由题意有错误!x，y均为整数．
由图知直线y＝－错误!x＋错误!z过M(4,9)时，纵截距最大．这时z也取最大值z max＝6×4＋8×9＝96(百元）．
故当月供应量为空调机4台,洗衣机9台时,可获得最大利润9 600元．
22．(本小题满分14分)设数列{a n｝的前n项和为S n，且满足S n＝2－a n，n＝1，2,3，…。

（1)求数列｛a n}的通项公式；
（2)若数列{b n｝满足b1＝1，且b n＋1＝b n＋a n，求数列｛b n}的通项公式；
（3)设c n＝n（3－b n)，数列{c n}的前n项和为T n,求证:T n＜8。

解析：(1)∵n＝1时，a1＋S1＝a1＋a1＝2,
∴a1＝1。

∵S n＝2－a n，即a n＋S n＝2，
∴a n＋1＋S n＋1＝2。

两式相减:a n＋1－a n＋S n＋1－S n＝0.
即a n＋1－a n＋a n＋1＝0
故有2a n＋1＝a n，
∵a n≠0，∴错误!＝错误!(n∈N＋），
∴a n＝错误!n－1。

（2)∵b n＋1＝b n＋a n（n＝1,2，3,…)，
∴b n＋1－b n＝错误!n－1.
得b2－b1＝1，b3－b2＝错误!,b4－b3＝错误!2，…
b n－b n
＝错误!n－2(n＝2，3，…）．
－1
将这n－1个等式相加,得
b n－b
＝1＋错误!＋错误!2＋错误!3＋…＋错误!n－2
1
＝错误!＝2－错误!n－2.
又∵b1＝1，∴b n＝3－错误!n－2(n＝1，2,3…）．（3）证明：∵c n＝n（3－b n)＝2n错误!n－1。

∴T n＝
2错误!.①
而错误!T n＝
2错误!.②
①－②得
错误!T n＝2错误!－2×n×错误!n。

T n＝4×错误!－4×n×错误!n
＝8－错误!－4×n×错误!n
＝8－错误!（n＝1,2，3，…）．
∴T n＜8.。