近世代数课件全 4 2 主理想整环欧式环 优质课件

1 ( f ( x), g( x)) g( x) x[ f ( x) g( x)x]
xf ( x) ( x2 1)g( x)
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例5
在 Z[i] 中, a 8 38i, b 11 7i ,求
s, t 使得(a, b) as bt.
因为 (r1 ) (r2 ) , 故最后必有某个
(不妨设为 rn1 )为零.从而有
(a, b) (b, r1) (r1, r2 ) (rn1, rn ) (rn, 0) rn
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而且 rn rn2 rn1qn rn2 (rn3 rn2qn1 )qn
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做成一个欧氏环.
例1 Z 是欧氏环.
证明： ( x) | x |, x Z
a, b Z, b 0, q, r Z, st. a bq r
且 0 r | b | r 0, 或者 (r) | r | (b) | b | .
Z 是欧氏环.
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近世代数
第四章 整环里的因子分解 §2 主理想整环、欧式环
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一、主理想整环 定义1：如果整环R的每一个理想都是一个
主理想， 称其为主理想环. 引理1：假定R是一个主理想环，若在序列
a1,a2,a3,…,(ai∈R)里每一个元是前面一个的 真因子，那么这个序列一定是一个有限序列.
引理2：假定R是一个主理想环，那么I的 一个不可约元P生成一个最大理想.
，令q a bi, r [( x a) ( y b)i] ,则 q Z[i] ,且 r q Z[i] ,而
(r) [( x a) ( y b)i]( )
( 1 1) ( ) ( )
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所以 Z[i] 是欧氏环.
下证 N (d ).
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.
任给 a N,因为 d 0 ,所以存在 q, r D
,使得 a dq r. 于是, r a dq N
如果 r 0 ,则 (r) (d) ,与 d 的选取
矛盾.所以 r 0, 则a dq,于是 a (d ).
f (x), g(x) s(x) f (x) t(x)g(x).
解 应用辗转相除法得,
f ( x) g( x)q1 r1 q1 x, r1 1 x
g( x) r1q2 r2 q2 x, r2 1
r1 r3 q3 1 x, r3 0
nm
,令
r1( x)

r(x)
b0 c0
xnm g( x)
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则 deg r1( x) deg r( x) .而
r1( x)

r(x)
b0 c0
xnm g( x)
( f ( x) q( x)g( x))
b0
xnm g( x)
c0

f (x)
g( x) q( x)
由 a 的任意性可知 N (d ).
又 d N ,所以 (d ) N,从而 N (d ).
这就证明了, K 的任一理想都是主理想, K
为主理想整环.
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辗转相除法
设 K 关于 做成一个欧氏环
a, b K, b 0 ,则有
a bq1 r1, b r1q2 r2 , r1 r2q3 r3 , , rn2 rn1qn rn , rn1 rnqn1 rn1
f ( x) g( x)q( x) r( x).
下证: deg r( x) deg g( x).
(反证) 如果 deg r( x) deg g( x) ,令
g( x) b0 xm b1xm1 bm (b0 0)
r( x) c0 xn c1xn1 cn (c0 0)

b0 c0
x
nm



与 r( x) 的选取矛盾.
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例3
Z[i] 是欧氏环.
证明 令 : Q[i] Q, a bi a2 b2
,那么,将 限制到 Z[i] 上,称为 Z[i]
到 Z {0} 的映射.
对任意的, Q[i],有 ( ) ( )( )
rn2 (1 qn1qn ) rn3qn
as bt
因此,在欧氏环中,最高公因子可通过 辗转相除法求得,且可通过"回代"法求得 相应的表示式.
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例4 设 f ( x) x3 x2 1, g( x) x2 x 1 Z2[ x]
,求 s( x), t( x) Z2[x] ,使得
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定理2
欧氏环必是主理想整环, 因而也是唯一分解环.
证明 设 K 关于 做成一个欧氏环, N 为 K
的任一理想. 如果 N {0} ,则 N (0);
如果 N (0) ,令 (a) | a N, a 0
则 非空,且 Z {0} 设 d N ,使得 (d ) 为 中的最小数,
解 q1 2 2i, r1 2i q2 3 5i, r2 1 i q3 1 i, r3 0 (a, b) 1 i, s (3 5i), t 17 4i, 1 i (8 38i)(3 5i) (11 7i)(17 4i)
f ( x) g( x)h( x) 0 .令
q( x) h( x), r( x) 0 f ( x) g( x)q( x) r( x)
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（2）如果 0 ,取 r(x) ,使得
deg r( x) 为 中次数最小的多项式,则
存在 q( x) F[x] ,使得
例2
设 F 为域,环 F[x] 是欧氏环. 证明: : f ( x) deg f ( x)
设 f ( x), g( x) F[x], g( x) 0 ,令
{ f (x) g(x)h(x) | h(x) F[x]}
(1)如果 0 ,则存在 h( x) F[x],使得
如果 , Z[i], 0 ,令
/ x yi, x, y Q ,取 a, b Z
,使得 | a x | 1 ,| b y | 1 ，则
2
2
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/ a bi ( x a) ( y b)i
,于是 (a bi) [( x a) ( y b)i]
定理1：一个主理想环R是一个唯一分解环.
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二、欧式环
定义2 设 K 为整环, 为 K {0} 到 Z {0} 的映射. 如果 满足:任给
a, b K, b 0 ,存在 q, r I ,使得 a bq r
这里, r 0或 (r) (b) ,则称 K 关于