2019-2020学年北京市平谷区九年级上册期末数学试题有答案【优质版】

平谷区2019-2020学年度第一学期期末质量监控试卷
初三数学
考生须知
1．试卷分为试题和答题卡两部分，所有试题均在答题卡上．．．．．．作答．2．答题前，在答题卡上考生务必将学校、班级、准考证号、姓名填写清楚．3．把选择题的所选选项填涂在答题卡上；作图题用
2B 铅笔．
4．修改时，用塑料橡皮擦干净，不得使用涂改液．请保持卡面清洁，不要折叠．
一、选择题（本题共
16分，每小题2分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的. 1．已知12
a b
，则
a b
b
的值是（A ）
32
（B ）
23
（C ）
12
（D ）
12
和
2．如图，AD ∥BE ∥CF ，直线12l ,l 与这三条平行线分别交于点A,B,C
D,E,F ．已知AB =1，BC=3，DE=2，则EF 的长是（A ）4
（B ）5
（C ）6
（D ）8
3．下列各点在函数
2
1y x
图象上的是
（A ）（0,0）（B ）（1,1）（C ）（0,﹣1）（D ）（1,0）4．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，CD ⊥AB 于D ，则△CBD 与△ABC 的周长比是（A ）
32（B ）
33
（C ）
14
（D ）
12
5．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则sinB 的值是（A ）
35
（B ）
45
（C ）
34
（D ）
53
6．如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA ，OB ，∠ABO=40°，则∠C 的度数是
（A ）100°（B ）80°（C ）50°（D ）40°7．反比例函数2y
x
的图象上有两点
11A x ,y ，22B x ,y ，若x 1＞x 2，x 1x 2＞0，
则y 1－y 2的值是
（A ）正数（B ）负数（C ）0（D ）非负数8．如图，在平面直角坐标系中，点A （1,1），B （﹣1,1），C （﹣1,﹣2），
D （1,﹣2），按A →B →C →D →A …排列，则第
2018个点所在的坐标是
（A ）（1,1）（B ）（﹣1,1）（C ）（﹣1,﹣2）（D ）（1,﹣2）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．将二次函数2
23y
x
x
化为2
y
x h
k 的形式，则h=，k=．10．圆心角为120°，半径为6cm 的扇形的弧长是
cm （结果不取近似值）．
11．请写出一个过点（1,1），且与x 轴无交点的函数表达
式
．
12．已知菱形
ABCD 中，∠B=60°，AB =2，则菱形ABCD 的面积是．
13．“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体
而无所失矣.”这是我国古代著名数学家刘徽在《九章算术注》中提到的“如何求圆的周长和面积”
的方法，即“割圆术”．“割圆术”的主要意思是用圆内接正多边形去逐步逼近圆．刘徽从圆内接正六边形出发，将边数逐次加倍，并逐次得到正多边形的周长和面积．如图，AB是圆内接正六边
形的一条边，半径OB=1，OC⊥AB于点D，则圆内接正十二边形的边BC的长是（结果不取近似值）．
14．关于x的二次函数221
y ax ax a（a＞0）的图象与x轴的交点情况是．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，△DEF可以看作
是△ABC经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）
得到的，写出一种由△ABC得到△DEF的过程：．
16．下面是“作一个角等于30°”的尺规作图过程．
作法：如图，
（1）作射线AD；
（2）在射线AD上任意取一点O（点O不与点A重合）；
（3）以点O为圆心，OA为半径作⊙O，交射线AD于点B；
（4）以点B为圆心，OB为半径作弧，交⊙O于点C；
（5）作射线AC．
∠DAC即为所求作的30°角．
请回答：该尺规作图的依据是．
三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24题6分，第25题6分，
第26、27题，每小题7分，第28题8分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．计算：
1
1
2sin3083
2
．
18．如图，函数2
y x bx c的图象经过点A，B，C．（1）求b，c的值；
（2）画出这个函数的图象．
19．如图，∠ABC=∠BCD=90°，∠A=45°，∠D=30°，
BC=1，AC，BD交于点O．求BO
DO
的值．
20．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长．
21．缆车，不仅提高了景点接待游客的能力，而且解决了登山困难者的难题．如图，当缆车经过点A到达点B时，它走过了700米．由B到达山顶D时，
它又走过了700米．已知线路AB与水平线的夹角为
16°，线路BD与水平线的夹角β为20°，点A的海
拔是126米．求山顶D的海拔高度（画出设计图，写
出解题思路即可）．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y=k
x
（k＞0，x＞0）的
图象与直线y=2x﹣2交于点Q（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）已知点P（a，0）（a>0）是x轴上一动点，过点P作平行
于y轴的直线，交直线y=2x﹣2于点M，交函数y=k
x
的图象于点
N．
①当a=4时，求MN的长；
②若PM＞PN，结合图象，直接写出a的取值范围．
23．如图，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作
EO⊥BD，交BA延长线于点E，交AD于点F，若EF=OF，∠CBD=30°，
BD=63．求AF的长．
24．如图，点C是以AB为直径的⊙O上一动点，过点C作⊙O直径CD，过点B作BE⊥CD于点E．已知AB=6cm，设弦AC的长为xcm，B，E两点间的距离为ycm（当点C与点A或点B重合时，y的值为0）．
小冬根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．
下面是小冬的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 0 1 1.9 2.6 3 m 0 经测量m的值是（保留一位小数）．
（2）建立平面直角坐标系，描出表格中所有各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（3）在（2）的条件下，当函数图象与直线
1
2
y x相交时（原点除外），∠BAC的度数是．
25．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分
∠BAC交BC于点D，点O是AB边上一点，以O
为圆心作⊙O且经过A，D两点，交AB于点E．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）AC=2，AB=6，求BE的长．
26．已知函数22
y x mx的顶点为点D．
（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（2）求函数22
y x mx的图象与x轴的交点坐标；
（3）若函数22
y x mx的图象在直线y=m的上方，求m的取值范围．
27．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．在平面内任取一点D，连结AD（AD＜AB），将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连结DE，CE，BD．
（1）请根据题意补全图1；
（2）猜测BD 和CE 的数量关系并证明；
（3）作射线BD ，CE 交于点P ，把△ADE 绕点A 旋转，当∠EAC=90°，AB =2，AD=1时，补全图形，直接写出
PB 的长．
28．在平面直角坐标系中，将某点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这个点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”．（1）以O 为圆心，半径为
5的圆上有无数对“互换点”，请写出一对符合条件的
“互换点”；
（2）点M,N 是一对“互换点”，点M 的坐标为(m,n)，且(m ＞n)，⊙P 经过点M,N ．
①点M 的坐标为(4,0)，求圆心P 所在直线的表达式；②⊙P 的半径为5，求m －n 的取值范围．
C
A
B
D
图1
C
A
B
备用图
平谷区2019-2020学年度第一学期期末初三数学答案及评分参考一、选择题（本题共16分，每小题2分）
二、填空题（本题共16分，每小题2分）
9．1；2；10．4π；11．答案不唯一，如：
1
y
x
；12．23；
13．
2
2
13
123 22
；
14．答案不唯一，如：△ABC绕点O逆时针旋转90°；15．有两个不同交点；
16．答案不唯一，如：三边相等的三角形是等边三角形；圆周角的度数等于圆心角度数的一半．
三、解答题（本题共68分，第17-23题，每小题5分，第24题6分，第25题5分，
第26、27题，每小题7分，第28题8分）
解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17．解：原式=
1
22223
2
(4)
=622． (5)
18．解：（1）∵抛物线经过点A（﹣1,0），B（0,3），
∴
10,
3.
b c
c
． (2)
解得
2
3
b
c
． (4)
（2）图略． (5)
19．解：∵∠ABC=∠BCD=90°，
∴AB∥CD． (1)
∴∠A=∠ACD． (2)
∴△ABO∽△CDO． (3)
∴BO AB
CO CD
． (4)
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=45°，BC=1，∴AB=1．
在Rt△BCD中，∠BCD =90°，∠D=30°，BC=1，∴CD=3．
∴
13
3
3
BO
CO
． (5)
20．解：∵∠A=15°，
∴∠COB=30°． (1)
∵AB=4，
∴OC=2． (2)
∵弦CD⊥AB于E，
∴CE=1
2 CD． (3)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C D D A C B B
在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2，
∴CE=1． (4)
∴CD=2． (5)
21．解：如图， (1)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠=16°，AB=700，由sin，
可求BC的长． (2)
即BC=AB·sin=700sin16°，
在Rt△BDE中，∠DBE=90°，∠β=16°，BD=AB=700，由sinβ，
可求DE的长． (3)
即DE=BD·sinβ=700sin20°，
由矩形性质，可知EF=BC=700sin16°， (4)
FH=AG=126．
从而，可求得DH的长． (5)
即DH=DE+EF+FH=700sin20°+700sin16°+126．
22．解：（1）∵直线y=2x﹣2经过点Q（2，m），
∴m=2． (1)
∴Q（2，2）．
∵函数y=k
x
经过点Q（2，2），
∴k=4． (2)
（2）①当a=4时，P（4，0）．
∵反比例函数的表达式为y=4
x ． (3)
∴M（4,6），N（4,1）．
∴MN=5．································································································ 4 ②∵PM ＞PN，
∴a＞2． (5)
23．解：方法一：
∵□ABCD，
∴AD∥BC，OD=1
2
BD=33． (1)
∵∠CBD=30°，∴∠ADB=30°．∵EO⊥BD于O，∴∠DOF=90°．
在Rt△ODF中，tan30°=
3
3 OF
OD
，
∴OF=3． (2)
∴FD=6．
过O作OG∥AB，交AD于点G．
∴△AEF∽△GOF．
∴AF EF GF OF
．
∵EF=OF，
∴AF=GF．
∵O是BD中点，
∴G是AD中点． (3)
设AF=GF=x，则AD=6+x．
∴AG=
6
2
x
x x． (4)
解得x=2．
∴AF=2． (5)
方法二：延长EF交BC于H．
由△ODF≌△OHB可知，
OH=OF． (3)
∵AD∥BC，
∴△EAF∽△EBH．
∴EF AF EH BH
．
∵EF=OF，
∴
1
3
AF
BH
．·
(4)
由方法一的方法，可求BH=6．
∴AF=2．
24．解：（1）m=2.76； (1)
（2）如图； (4)
（3）如图． (5)
∠BAC =30°． (6)
25．（1）证明：连结OD，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠OAD．
∴∠CAD=∠ODA．
∴OD ∥AC ． ············································································· 1 ∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=90°． (2)
即OD ⊥BC 于D ．
∴BC 是⊙O 的切线．·················································································· 3 （2）解：∵OD ∥AC ，
∴△BDO ∽△BCA ．∴
OD BO AC
BA
． (4)
∵AC=2，AB=6，
∴设OD =r ，则BO=6﹣r ．∴
62
6
r r
．
解得r=
32
．
∴AE=3．
∴BE=3． (5)
26．解：（1）2
2y
x
mx
2
2
x m
m ·
························································································ 1 ∴D （m,2
m ）． ······················································································ 2 （2）令y=0，得2
20x mx ．
解得1
2
02x ,x m ．
∴函数的图象与x 轴的交点坐标（0,0）,（2m,0）． (4)
（3）方法一：∵函数2
2y x
mx 的图象在直线y=m 的上方，
∴顶点D 在直线y=m 的上方． (5)
∴
2
m ＞m ． (6)
即2
m m ＜0．
由y=2
m
m 的图象可知，m 的取值范围为：﹣1＜m ＜0． (7)
方法二：∵函数2
2y
x
mx 的图象在直线y=m 的上方，
∴2
2x mx ＞m ．················································································ 5 ∴当2
2x
mx =m 时，抛物线和直线有唯一交点．∴
2
=24m
m
=2
440m
m ．
解得12
0,1m m ． (6)
∴m 的取值范围为：﹣
1＜m ＜0． (7)
27．解：（1）如图 (1)
（2）BD 和CE 的数量是：BD =CE ；··························································· 2 ∵∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE=90°，
∴∠DAB=∠CAE． (3)
∵AD=AE，AB=AC，
∴△ABD≌△ACE．
∴BD=CE． (4)
（3）PB的长是25
5
或
65
5
． (7)
28．解：（1）答案不唯一，如：（4,3），（3,4）； (2)
（2）①连结MN，
∵OM=ON=4，
∴Rt△OMN是等腰直角三角形．
过O作OA⊥MN于点A，
∴点M,N关于直线OA对称． (3)
由圆的对称性可知，圆心P在直线OA上． (4)
∴圆心P所在直线的表达式为y=x． (5)
②当MN为⊙P直径时，由等腰直角三角形性质，可知m－n=52； (6)
当点M,N重合时，即点M,N横纵坐标相等，所以m－n=0； (7)
∴m－n的取值范围是0＜m－n≤52． (8)。