(常考题)人教版高中数学选修一第一单元《空间向量与立体几何》测试题(包含答案解析)

一、选择题
1．已知正三棱锥P ABC -的侧面PAB 上动点Q 的轨迹是以P 为焦点，AB 为准线的抛物线，若点Q 到底面ABC 的距离为d ，且2PQ d =，点H 为棱PC 的中点，则直线BH 与AC 所成角的余弦值为（ ） A ．
8585
B ．
21 C ．
385
85
D ．
321
2．若(),,0OA m n =，40,
,OB p n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()0,4,0F ，1AF m =+，1BF p =+，则m p +的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．6
3．设,,,A B C D 是空间不共面的四点，且满足AB AC 0⋅=，AB AD 0⋅=，
AC AD 0⋅=，则BCD 是( )
A ．钝角三角形
B ．锐角三角形
C ．直角三角形
D ．等边三角形
4．如图，已知正四面体1234A A A A ，点5A ，6A ，7A ，8A ，9A ，10A 分别是所在棱中点，点P 满足4414243
A P xA A yA A zA A =++且1x y z ++=，记44min ||||A Q A P =，则当1i ≤，10j ≤且i j ≠时，数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是（ ）
A ．3
B ．5
C ．9
D ．21
5．如图，三棱锥S ﹣ABC 中，SA ＝SB ＝SC ，∠ABC ＝90°，AB ＞BC ，E ，F ，G 分别是AB ，BC ，CA 的中点，记直线SE 与SF 所成的角为α，直线SG 与平面SAB 所成的角为β，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ，则（ ）
A ．α＞γ＞β
B ．α＞β＞γ
C ．γ＞α＞β
D ．γ＞β＞α
6．在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）111ABC A B C -中，2AB =，E ，F 分别为11A C 和11A B 的中点，当AE 和BF 所成角的余弦值为1
4
时，AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A ．
62
B ．
64
C ．
104
D ．
102
7．如图，平行六面体中1111ABCD A B C D -中，各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°，则对角线1BD 的长为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
8．已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点
Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ）
A ．131,,243⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．133,,224⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．448,,333⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．447,,333⎛⎫
⎪⎝⎭
9．已知()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，若a 、b 、c 三向量共面，则实数
λ等于（ ）
A ．9
B ．
647
C ．
657
D ．
667
10．已知在四面体ABCD 中，点M 是棱BC 上的点，且3BM MC =，点N 是棱AD 的中点，若MN x AB y AC z AD =++其中,,x y z 为实数，则x y z ++的值是（ ）
A ．
12
B ．12
-
C ．－2
D ．2
11．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+与OB （O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A ．
66
B ．66
±
C ．
62
D ．62
±
12．如图，在60︒二面角的棱上有两点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，若4AB AC BD ===，则线段CD 的长为（ ）
A ．43
B ．16
C ．8
D ．42
13．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，()
1
,2,,8i P i =是上底面上其余的八个点，则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为（ ）
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
二、填空题
14．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为___
15．已知(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫
=-- ⎪⎝⎭
.若a 与b 的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是________.
16．设E ,F 是正方体1AC 的棱AB 和11D C 的中点,在正方体的12条面对角线中,与截面
1A ECF 成60︒角的对角线的数目是______.
17．写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．
18．已知A(1,2,0)，B(0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当0AP BP ⋅=取最小值时，点P 的坐标为__________．
19．已知()1,1,2AB =-，()1,1,BC z =-，()1,,1BP x y =--.若BP ⊥平面ABC ，则
||CP 的最小值为___________.
20．如图，矩形ABCD 中，1,AB BC a ==，PA ⊥平面ABCD ，若在BC 上只有一个点Q 满足PQ DQ ⊥，则a 的值等于________.
21．设向量(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，且//a b ，则a b ⋅的值为__________．
22．已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=-，若,,a b c 三向量共面，则实数
λ=_____.
23．如图，在空间四边形OABC 中，M ，N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN
上，且3MG GN =，用向量OA 、OB 、OC 表示向量OG ，设
OG x OA y OB z OC =⋅+⋅+⋅，则x 、y 、z 的和为______.
24．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，以顶点A 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则1||AC =__________.
25．已知向量a =（4，﹣5，12），b =（3，t ，2
3），若a 与b 的夹角为锐角，则实数t 的取值范围为_____．
26．平面α的法向量u =(x,1,-2),平面β的法向量v =1-1,,
2y ⎛⎫
⎪⎝
⎭
,已知α∥β,则x+y=______.
参考答案
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】
建立空间直角坐标系，用向量法求直线BH 与AC 所成角的余弦值 【详解】
设△ABC 的中心为O ，如图示：以OA 为x 轴，过O 平行于BC 的Oy 为y 轴，OP 为z 轴建立空间直角坐标系，不妨设|BC |=2，则有：
()2333
0,0,0,,,1,0,,1,0333O A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
过Q 作QD ⊥底面ABC 于D ,QE ⊥AB 于E ，由抛物线的定义知：|QE |=|PD |=2d ，|QD |=d . 在Rt △QDE 中，∠QDE =90°，所以°s 1
in ,302
QD QDE QDE QE ∠==∴∠=， 即侧面于底面所成的二面角为30°. 设()0,0,P z 则有3133
3z =
=， 所以()
311331,,,,,3,1,0,626626H BH AC ⎛⎫
⎛⎫--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设直线BH 与AC 所成角为θ，则||
cos |cos ,|||||
BH AC BH AC BH AC θ==
⨯
(()(
)
()()
2
22
2
2
2
33|
310|3313
10626⎛⎫
+-⨯-+ ⎪⎝⎭
=
⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+-+⨯-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
38585
= 即直线BH 与AC 所成角的余弦值为385
85
故选：C 【点睛】
向量法解决立体几何问题的关键： (1)建立合适的坐标系； (2)把要用到的向量正确表示；
(3)利用向量法证明或计算.
2．C
解析：C 【分析】
根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到
11m p =+=+，推出
221632
82230m p n n n n
-+
-++=，配方整理，即可求出最小值. 【详解】
因为(),,0OA m n =，40,
,OB p n ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，()0,4,0F ，1AF m =+，1BF p =+，
所以
1
1m p =+=+，则()222222421
4421m n m m p p p n ⎧+-=++⎪⎨⎛⎫-+=++⎪ ⎪⎝⎭⎩，即()22
421
4421
n m p n
⎧-=+⎪⎨⎛⎫
-=+⎪ ⎪⎝⎭⎩， 所以
22221632164812261628822n n n m p n n n n n ⎛⎫⎛
⎫-++
-+-=++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
+=2
2
444822466n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=+-++=+-+≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
当且仅当4
4n n
+=，即2n =时，22m p +取得最小值3，则m p +的最小值为3. 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：
求解本题的关键在于利用空间向量模的坐标表示，用n 表示出22m p +，即
22164882222n n n m n p ⎛⎫⎛
⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭+=，配方整理，即可求解.
3．B
解析：B 【分析】
由0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=，可得
()()
2
0BC BD AC AB AD AB AB ⋅=--=>，B ∠是锐角，同理可得D ∠，C ∠都是锐
角，从而可得结果． 【详解】
因为0AB AC ⋅=，0AB AD ⋅=，0AC AD ⋅=， 所以
()()
22
0BC BD AC AB AD AB AC AD AC AB AB AD AB AB ⋅=--=⋅-⋅-⋅+=>，
cos 0BC BD B BC BD
⋅∴=
>⋅，故B ∠是锐角，
同理0CB CD ⋅>，0DC DB ⋅>，可得D ∠，C ∠都是锐角， 故BCD 是锐角三角形，故选B ． 【点睛】
本题主要考查向量的数量积的运算以及向量运算的三角形法则，属于中档题．判断三角形的形状有两种基本的方法：①看三角形的角；②看三角形的边.
4．B
解析：B 【分析】
由条件可知点P 在平面123A A A 上，并且由几何意义可知4A Q ⊥平面123A A A ，利用数量积的几何意义求4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数. 【详解】
条件“4414243A P xA A yA A zA A =++且
1x y z ++=”，说明点P 在平面123A A A 上，而44min ||A Q A P =说明Q 为平面123A A A 的中心，此时4A Q ⊥平面123A A A ，由向量数量积的
几何意义，i j A A 在4A Q 的投影有5种情况：0、41
||2
A Q ±
、4||A Q ±，∴数量积4i j A Q A A ⋅的不同取值的个数是5，
故选：B ． 【点睛】
本题考查空间向量共面定理的应用，数量积的几何意义，重点考查转化思想，数形结合思想，属于中档题型.
5．A
解析：A 【分析】
根据题意可知，G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ，故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，利用三角函数结合几何性质，得出结论.
【详解】
因为AB ⊥BC ，SA ＝SB ＝SC ，所以AB ⊥SE ，所以AB ⊥平面SGE ，AB ⊥SG ， 又SG ⊥AC ，所以SG ⊥平面ABC ， 过G 作SE 的垂线l ，显然l 垂直平面SAB ， 故直线SG 与平面SAB 所成的角为β＝∠GSE ，
同理，平面SEG 与平面SBC 所成的锐二面角为γ＝∠FSG ，
由tanγ＝
tan FG EG
SG SG
β>=，得γ＞β，γ也是直线SF 与平面SEG 所成的角， 由cosα＝cosβ•cosγ＜cosγ，则α＞γ，所以α＞γ＞β， 故选：A .
【点睛】
本题考查了异面直线夹角，线面夹角，二面角，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.
6．B
解析：B 【分析】
设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，由AE 和BF 所成角的余弦值为
1
4
，求出t 的值，由此能求出AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值.
【详解】
设1AA t =，以B 为原点，过B 作BC 的垂线为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，则)
3,1,0A
，()0,0,0B ， ()0,2,0C ，33,22E t ⎛⎫
⎪ ⎪
⎝⎭
，31,22F t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ ， 31,22AE t ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，31,22BF t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，
因为AE 和BF BF 所成角的余弦值为
1
4
， 所以222
112
cos ,4
11t AE BF AE BF AE BF
t t -⋅=
=
=
++， 解得：1t =
所以31,12AE ⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭
，平面11BCC B 的法向量()1,0,0n =，
所以AE 与平面11BCC B 所成角的正弦值为3
62sin 421AE n
AE n
α⋅===
⨯ 故选：B 【点睛】
本题考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面的位置关系等基础知识，属于中档题.
7．B
解析：B 【分析】
在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，利用空间向量的加法运算得到
11BD BA BB BC =++，再根据模的求法，结合各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两
所成的角为60°，由
()()2
211BD BA BB BC =++222
111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅求解. 【详解】
在平行六面体中1111ABCD A B C D -中，
因为各条棱长均为1，共顶点A 的三条棱两两所成的角为60°， 所以111111cos120,11cos6022BA BB BA BC BC BB ⋅=⋅=⨯⨯=-⋅=⨯⨯=
， 所以11BD BA BB BC =++，
所以()()221
1BD BA BB BC =++， 222111222BA BB BC BA BB BC BA BB BC =+++⋅+⋅+⋅，
113+22+2222⎛⎫=⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭
， 所以12BD =
故选：B
【点睛】
本题主要考查空间向量的运算以及向量模的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．C
解析：C
【分析】
设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=
时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】
设(,,)Q x y z ，
由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，
即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,
所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,
则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=
时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 9．C
解析：C
【分析】
由题知，a 、b 、c 三个向量共面,则存在常数,p q ，使得c pa qb =+，由此能求出结果.
【详解】
因为()2,1,3a =-，()1,4,2b =--，()7,5,c λ=，且a 、b 、c 三个向量共面, 所以存在,p q 使得c pa qb =+.
所以()()7,5,2,4,32p q p q p q λ=--+- ，
所以274532p q q p p q λ-=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩
， 解得331765,,32777
p q p q λ=
==-= . 故选:C.
【点睛】
本题主要考查空间向量共面定理求参数，还运用到向量的坐标运算. 10．B
解析：B
【分析】 利用向量运算得到131442
MN AB AC AD =-
-+得到答案. 【详解】 ()3113142442MN MB BA AN AB AC AB AD AB AC AD =++=
--+=--+ 故12
x y z ++=-
故选：B
【点睛】 本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力.
11．C
解析：C
【分析】
运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可．
【详解】
解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-， ∴2||12,||2OA OB OB λλ+=+=，
()2OA OB OB λλ+=，
∴2122cos302λλ+⨯⨯︒=，
∴21264λλ+⨯=，则0λ>， ∴62
λ=． 故选：C ．
【点睛】
本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．
12．D 解析：D
【分析】 分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，则由题意可知ACE ∆为等边三角形，CDE ∆为直角三角形，求解CD 即可.
【详解】
分别过点A 、点D 作BD 、AB 的平行线相交于点E ，连接CE ，
则四边形ABDE 为平行四边形.
线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB .
AC AB ∴⊥，AE AB ⊥则CAE ∠为二面角的平面角，即60CAE ∠=
4AB AC BD ===
4AC BD AE AB DE ∴=====，如图所示.
ACE ∴∆为等边三角形，4CE =
AC DE ⊥，AE DE ⊥，AC AE A ⋂=，AC ⊂平面ACE ，AE ⊂平面ACE DE ∴⊥平面ACE
又CE ⊂平面ACE
∴DE CE ⊥
在Rt CDE ∆中22224442CD CE DE =+=+=故选：D
【点睛】
本题考查空间的距离问题，属于中档题.
13．D
解析：D
【分析】
根据平面向量运算法则可知2
i i AB AP AB AB BP ⋅=+⋅，由线面垂直性质可知
i AB BP ⋅=，从而得到21i AB AP AB ⋅==，进而得到结果. 【详解】 ()2
i i i AB AP AB AB BP AB AB BP ⋅=⋅+=+⋅
AB ⊥平面286BP P P i AB BP ∴⊥ 0i AB BP ∴⋅= 21i AB AP
AB ∴⋅== 则()1,2,,8i AB AP i ⋅=⋅⋅⋅的不同值的个数为1个
故选：D
【点睛】
本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用平面向量线性运算将所求向量数量积转化为已知模长的向量和有垂直关系向量的数量积的运算问题，考查了转化与化归的思想. 二、填空题
14．【分析】以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系写出向量的坐标利用空间向量法可求得直线与直线所成角的余弦值【详解】如下图所示以点为坐标原点所在直线分别为轴建立空间直角坐标系则点因此直线与直线 解析：26 【分析】
以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，写出向量1A E 、1B F 的坐标，利用空间向量法可求得直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值.
【详解】
如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，
则点()12,0,4A 、()12,2,4B
、()0,2,2E 、()1,1,0F ， ()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---
，111111cos ,2A E
B F
A E
B F A E B F ⋅<
>===⋅， 因此，直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为9. . 【点睛】 思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下： （1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,
2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的
补角作为两条异面直线所成的角． 15．【分析】由根据与的夹角为钝角由且求解【详解】因为所以因为与的夹角为钝角所以且由得所以若与的夹角为则存在使即所以解得故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 【分析】
由(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛⎫=--
⎪⎝⎭，根据a 与b 的夹角为钝角，由0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠求解.
【详解】
因为(5,3,1)a =，22,,5b t ⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
， 所以2525(2)31355a b t t ⎛⎫⋅=⨯-++⨯-
=- ⎪⎝⎭， 因为a 与b 的夹角为钝角，
所以0a b ⋅<且,180a b ︒〈〉≠，
由0a b ⋅<，得52305
t -<，
所以5215t <. 若
a 与
b 的夹角为180︒，则存在0λ<，使a b λ=， 即2(5,3,1)2,,5t λ⎛
⎫=--
⎪⎝⎭， 所以523215t λλλ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩
，
解得65
t =-
， 故答案为： 6652,,5515⎛⎫⎛⎫-∞-⋃- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 【点睛】
本题主要考查平面向量的数量积的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 16．【分析】由于平面不是特殊的平面故建系用法向量求解以为原点建系正方体三边为坐标轴求出平面的法向量求解面对角线和的夹角即可求得答案【详解】以点为原点所在直线为轴所在直线为轴所在直线为轴设正方体棱长为2如 解析：4
【分析】
由于平面1A ECF 不是特殊的平面,故建系用法向量求解,以D 为原点建系,正方体三边为坐标轴,求出平面1A ECF 的法向量n ,求解面对角线和n 的夹角,即可求得答案.
【详解】
以点D 为原点,AD 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,1DD 所在直线为z 轴 设正方体棱长为2,如图:
则(2,0,0),(0,0,0),(2,2,0),(0,2,0)A D B C
1111(2,0,2),(2,2,2,),(0,2,2),(0,0,2)A B C D ,(2,1,0),(0,1,2)E F
∴ 1(2,1,0),((0,1,2),(2,2,0)EC A E AC =-==-
1
(2,2,0),(2,0,2)BD BC =--=-- 11(0,2,2),(0,2,2)B A A B =--=-
当面对角线与截面1A ECF 成60︒角,
∴ 需保证直线与法向量的夹角为30︒,
即其余弦值± 设平面1A ECF 的法向量(,,)n x y z =
100
n EC n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 可得:2020y z x y -=⎧⎨-+=⎩ ,取2y = ∴ (1,2,1)n = ,则||
6n =
cos ,||||8n AC AC n n AC ⋅
<>==
=≠⋅
cos ,2BD n
<>=
= 1cos ,
2B C n
<>=
≠± 1cos ,B A n <>=
= 1cos ,A B n <>=≠ 当两条面对角线平行时,求解其中一条与面1A ECF 的法向量n 夹角即可.
平面11AA D D 中1AD 与EF 平行,故不符合题意.
综上所述,符合题意的面对角线为:1111,,,BD B D AB DC 共4条.
故答案为:4.
【点睛】
本题考查了线面角求法,根据题意画出几何图形,掌握正方体结构特征是解本题的关键.对于立体几何中角的计算问题,可以利用空间向量法,利用向量的夹角公式求解,属于基础题. 17．【分析】化直线方程为斜截式求出直线的斜率得到直线的一个方向向量进而可求得直线的一个法向量得到答案【详解】由题意化直线的方程为斜截式可得直线的斜率为-2所以直线的一个方向向量为所以直线的一个法向量为故
解析：()21
， 【分析】
化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案．
【详解】
由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，
所以直线的一个方向向量为12-（，）
，所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为21（，）
【点睛】
本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题．
18．(00)【分析】设P(x00)求出·＝x(x －1)＋2＝(x －)2＋再利用二次函数求出函数的最小值和此时点P 的坐标【详解】设P(x00)则＝(x －1－20)＝(x －11)·＝x(x －1)＋2＝(x － 解析：(12
，0,0) 【分析】 设P (x,0,0)，求出
·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，再利用二次函数求出函数的最小值和此
时点P 的坐标.
【详解】
设P (x,0,0)，则＝(x －1，－2,0)，＝(x ，－1,1)， ·＝x (x －1)＋2＝(x －)2＋，
∴当x ＝时，
·取最小值，此时点P 的坐标为(，0,0)． 故答案为(
12，0,0) 【点睛】
(1)本题主要考查空间向量的坐标表示和数量积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 111222121212(,,),(,,),a x y z b x y z a b x x y y z z ==⋅=++. 19．【分析】利用平面得到两个向量垂直从而利用坐标运算得到之间的关系然后再利用模的坐标表示求解最值即可【详解】因为平面都在平面内所以所以又因为所以解得所以所以所以的最小值为故答案为：【点睛】方法点睛：解答 5【分析】
利用BP ⊥平面ABC ，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到y ，x ，z 之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．
【详解】
因为BP ⊥平面ABC ，,AB BC 都在平面ABC 内，
所以,BP AB BP BC ⊥⊥，
所以,BP AB BP BC ⊥⊥，
又因为()1,1,2AB =-，()1,1,BC z =-，()1,,1BP x y =--，
所以(1)20(1)0BP AB x y BP BC x y z ⎧⋅=-++=⎨⋅=---=⎩
， 解得1y x =--，2x z =
所以(2,1,1)CP BP BC x y z =-=-+--，
所以2222||(2)(1)(1)CP x y z =-+++--
()()()222
212x x x =-+-+--
2655x =+，
所以||CP
【点睛】
方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解. 20．【详解】连接AQ 取AD 的中点O 连接OQ ∵PA ⊥平面
ABCDPA ⊥DQPQ ⊥DQ ∴DQ ⊥平面PAQ 所以DQ ⊥AQ ∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ∴BC 与 解析：2
【详解】
连接AQ ，取AD 的中点O ，连接OQ ．
∵PA ⊥平面ABCD ，PA ⊥DQ ，PQ ⊥DQ ，
∴DQ ⊥平面PAQ ，所以DQ ⊥AQ ．
∴点Q 在以线段AD 的中点O 为圆心的圆上，
又∵在BC 上有且仅有一个点Q 满足PQ ⊥DQ ，
∴BC 与圆O 相切，（否则相交就有两点满足垂直，矛盾．）
∴OQ ⊥BC ，∵AD ∥BC ，∴OQ =AB =1，∴BC =AD =2，
即a =2．
故答案为：2．
考点：直线与平面垂直的性质．
21．168【分析】根据向量设列出方程组求得得到再利用向量的数量积的运算公式即可求解【详解】由题意向量设又因为所以即解得所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的共线的坐标运算以及向量的数量积的运算其 解析：168
【分析】
根据向量//a b ，设λa b ，列出方程组，求得12λ=
，得到(2,4,8),(4,8,16)a b ==，再利用向量的数量积的运算公式，即可求解.
【详解】
由题意，向量//a b ，设λa b ，
又因为(2,23,2),(4,21,32)a m n b m n =-+=+-，
所以(2,23,2)(4,21,32)m n m n λ-+=+-，
即2423(21)2(32)m m n n λλλ=⨯⎧⎪-=+⎨⎪+=-⎩，解得17,,622m n λ===， 所以(2,4,8),(4,8,16)a b ==，
所以2448816168a b ⋅=⨯+⨯+⨯=.
故答案为：168.
【点睛】
本题主要考查了向量的共线的坐标运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的共线条件，熟练应用向量的数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
22．【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组求解方程组即可确定的值
【详解】由题意可知存在实数满足：据此可得方程组：求解方程组可得：故答案为【点睛】本题主要考查空间向量基本定理方程的数学思想等知识意在考查 解析：1-
【分析】
由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定λ的值.
【详解】
由题意可知，存在实数,m n 满足：c ma nb =+，
据此可得方程组：325432m n m n m n λ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，求解方程组可得：111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩
. 故答案为1-．
【点睛】
本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
23．【分析】利用向量的加法公式得出再由得出的值即可得出的和【详解】即故答案为：【点睛】本题主要考查了用空间基底表示向量属于中档题 解析：78
【分析】 利用向量的加法公式得出1
11222
MN OA OB OC =-++，再由1324
OG OM MG OA MN =+=+，得出,,x y z 的值，即可得出,,x y z 的和. 【详解】
MN MA AB BN =++
11111()22222
OA OB OA OC OB OA OB OC =+-+-=-++ 13131112424222OG OM MG OA MN OA OA OB OC ⎛⎫∴=+=+=+-++ ⎪⎝⎭
813388
OA OB OC =++ 133,,888
x y z ∴=== 即78x y z ++=
故答案为：
78
【点睛】
本题主要考查了用空间基底表示向量，属于中档题. 24．【分析】设且利用数量积运算即得解【详解】设故答案为：【点睛】本题考查了空间向量的模长数量积运算考查了学生空间想象数学运算能力属于中档题
解析：
【分析】
设1,,AB a AD b AA c
===,且1|||++|AC a b c =，利用数量积运算即得解. 【详解】
设1,,||||||2,,,60o AB a AD b AA c a b c a b a c c b ===∴
===<>=<>=<>=， 222221|||++|||||||22224AC a b c a b c a b a c c b ==+++⋅+⋅+⋅=
||26AC ∴=
故答案为：【点睛】
本题考查了空间向量的模长，数量积运算，考查了学生空间想象，数学运算能力，属于中档题.
25．（﹣∞4）【分析】由题意利用两个向量的夹角的定义两个向量共线的性质求得实数的取值范围【详解】解：向量若与的夹角为锐角且与不共线即且不成立解得则实数的取值范为故答案为：【点睛】本题主要考查两个向量的夹 解析：（﹣∞，4）
【分析】
由题意利用两个向量的夹角的定义，两个向量共线的性质，求得实数t 的取值范围．
【详解】 解：向量(4a =，5-，12)，(3b =，t ，2)3，若a 与b 的夹角为锐角， ∴·0a b >，且a 与b 不共线，
即24351203t ⨯-+⨯>，且2334512
t ==- 不成立，解得4t <， 则实数t 的取值范为(,4)-∞，
故答案为：(,4)-∞．
【点睛】
本题主要考查两个向量的夹角，两个向量共线的性质，属于基础题．
26．【解析】【分析】由α∥β可得∥利用向量共线定理即可得出【详解】因为α∥β所以u ∥v 则即故x+y=【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系向量共线定理考查了推理能力与计算能力属于中档题
解析：154
【解析】
【分析】
由α∥β，可得u ∥v ．利用向量共线定理即可得出．
【详解】
因为α∥β,所以u∥v.则
1-2
1 -1
2 x
y
==
,
即
4,
1
-,
4
x
y
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪⎩
故x+y=
15
4
.
【点睛】
本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。