5.GRD建模与内插

(x2 a0，a1，a2可以根据三个已知参考点如P1(x1，y1，z1)， P2(x2， 可以根据三个已知参考点如P (x1 (x3 计算求得。 y2，z2)， P3(x3，y3，z3)计算求得。这三个参数可以根据下面的式 子进行严密计算： 子进行严密计算：
3.2、 3.2、双线性内插
基本思路： 基本思路：
基本思路： 基本思路：
使用最靠近插值点的三个已知数据点， 使用最靠近插值点的三个已知数据点，确定一个 平面，继而求出内插点的高程值。基于TIN TIN的内插广 平面，继而求出内插点的高程值。基于TIN的内插广 泛采用这种简便的方法。 泛采用这种简便的方法。
函数形式 ：
Z = a0 + a1X + a2Y
DEM内插方法分类 DEM内插方法分类
数据分布
规则分布内插法 不规则分布内插法 等高线数据内插法 整体内插法 局部内插法 逐点内插法 纯二维内插 曲面 内插 内插 线 高 插 插 内插法 内插法 内插法 曲面 内插法 内插 分 内插 数内插法 线 插
内插范围 DEM DEM DEM DEM DEM DEM 内 插 内插曲面与采 点
内插
数
二 Kriging法 Kriging法
2、模型整体内插
整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表面 整体内插：在整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表面
模型整体内插原理
特点： 特点：
就是在整个研究区域用一个数学曲面函数来逼近地形表 就是 在 整个研究区域 用一个数学曲面函数来逼近地形表 整体内插函数通常采用高次多项式 高次多项式。 面，整体内插函数通常采用高次多项式。不能提供内插区域 的局部特性，因此常被用于模拟大范围内的宏观变化趋势 宏观变化趋势。 的局部特性，因此常被用于模拟大范围内的宏观变化趋势。
1 y y2 3 y
双三次多项式函数形式： 双三次多项式函数形式：
∂z 2 2 3 T R= = 0 1 2 x 3x C 1 y y y ∂x ∂z 2 3 2 T S= = 1 x x x C 0 1 2 y 3y ∂y ∂z 2 2 T T= = 0 1 2 x 3x C 0 1 2 y 3 y ∂x∂y
3、分块内插
分块内插：将地形区域按一定的方法进行分块 对每一个 分块内插：将地形区域按一定的方法进行分块,对每一个 分块根据地形曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插。 分块根据地形曲面特征单独进行曲面拟合和高程内插。
分块内插原理
分而治之－－把需要建立数字高程模型的地形区域按一 分而治之－－把需要建立数字高程模型的地形区域按一 －－ 一定尺寸的规则分块 定的方法进行分块（切割成有一定尺寸的规则分块, 定的方法进行分块 （ 切割成有 一定尺寸 的规则分块 , 形状通 常为正方形； 常为正方形；它的尺寸根据地区地貌复杂程度和数据源的比 例尺选定） 例尺选定 ） , 对每一个分块根据地形曲面特征单独进行曲面 拟合和高程内插。 拟合和高程内插。 重点在于如何分块并保证各分块的连续性。 重点在于如何分块并保证各分块的连续性。 如何分块并保证各分块的连续性
第五讲、 第五讲、 DEM表面内插方法 表面内插方法
模型内插概述 模型整体内插方法 模型分快内插方法 模型逐点移面内插方法 模型内插的效率问题 基于内插的GRD模型生成
回顾： 回顾：格网DEM生产流程
模型内插概述（ 模型内插概述（1）
为何需要对模型进行内插? 为何需要对模型进行内插
1. 地球表面起伏不平，崎岖曲折，很难用一定数学规律 地球表面起伏不平，崎岖曲折， 曲面函数）来描述，只得借助于原始高程采样数据。 （曲面函数）来描述，只得借助于原始高程采样数据。 数字高程模型原始样点(参考点 参考点)的位置和密度不一定能 2. 数字高程模型原始样点 参考点 的位置和密度不一定能 满足专题应用的要求。 满足专题应用的要求。
内插曲面与采内插曲面与采内插曲面与采样点关系样点关系样点关系内插函数性质内插函数性质内插函数性质地形特征理解地形特征理解地形特征理解规则分布内插法规则分布内插法规则分布内插法不规则分布内插法不规则分布内插法不规则分布内插法等高线数据内插法等高线数据内插法等高线数据内插法数据分布数据分布数据分布内插范围内插范围内插范围整体内插法整体内插法整体内插法局部内插法局部内插法局部内插法逐点内插法逐点内插法逐点内插法纯二维内插纯二维内插纯二维内插曲面拟合内插曲面拟合内插曲面拟合内插krigingkrigingkriging法多层曲面叠加内插法法多层曲面叠加内插法法多层曲面叠加内插法加权平均值内插分形内插加权平均值内插分形内插加权平均值内插分形内插傅立叶级数内插法傅立叶级数内插法傅立叶级数内插法样条内插法样条内插法样条内插法有限元内插法有限元内插法有限元内插法最小二乘配置内插法最小二乘配置内插法最小二乘配置内插法多项式内插线性插值双线性插值多项式内插线性插值双线性插值多项式内插线性插值双线性插值高次多项式插值高次多项式插值高次多项式插值整体内插
方格网数据点条 件下 ：
样条函数内插
双三次多项式函数形式： 双三次多项式函数形式：
z = 1, x, x 2 , x 3
(
)
C 00 C 10 C 20 C 30
C 01 C 02 C11 C 12 C 21 C 22 C 31 C 32
C 03 C13 C 23 C33
使用最靠近插值点的四个已知数据点组成一个四 边形, 确定一个双线性多项式来内插待插点的高程。 边形 , 确定一个双线性多项式来内插待插点的高程 。 基于格网的内插广泛采用这种方法。 基于格网的内插广泛采用这种方法。
函数形式 ：
Z=f(x,y)=a0+a1x+a2y+a3xy
(x1 ,z1 a0,a1,a2,a3, 可 以 通 过 四 边 形 的 4 个 顶 点 P1(x1 ， y1,z1), (x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3 (x4,y4,z4 的抽样数值代入上式即可。 P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3) ， P4(x4,y4,z4) 的抽样数值代入上式即可 。
基本思路 ：
常用内插方法： 常用内插方法：
不同的分块单元可采用不同的内插函数， 不同的分块单元可采用不同的内插函数，常用的内插方 法有线性内插 双线性内插、多项式内插、样条函数内插、 线性内插、 法有线性内插、双线性内插、多项式内插、样条函数内插、 多层曲面叠加内插等 内插等。 多层曲面叠加内插等。
模型内插概述（ 模型内插概述（2）
模型内插的两个应用需求： 模型内插的两个应用需求：
将离散型分布的数据点转化成规则格网分布的数值， ① 将离散型分布的数据点转化成规则格网分布的数值，即 离散数据的网格化； 离散数据的网格化； 使原始数据更加满足应用的要求，需要加密数据。 ② 使原始数据更加满足应用的要求，需要加密数据。
主要优点： 主要优点：
采用局部函数内插 在陆地表面随机划出一个范围, 采用局部函数内插 ，在陆地表面随机划出一个范围,范 局部 围的面积愈小,内部的起伏变化会愈简单，可用简单曲面函 围的面积愈小 , 内部的起伏变化会愈简单 ， 可用简单曲面函 较好描述地形曲面。 数较好描述地形曲面。
3.1、 3.1、线性内插
z值的误差方程为： 值的误差方程为： 在最小二乘的意义下： 在最小二乘的意义下：
N i =1
Q = ∑ wi [ f ( x i , y i ) − z i ] = ∑ wi v i = [wvv ] = min
2 i =1
2
n
最小二乘拟合法
∑ wi ∑ xi wi ∑ y w i i A= ∑ xi yi wi x 2w ∑ i 2 i ∑ yi wi
模型内插的特点： 模型内插的特点：
要求保形甚于光滑
模型内插的实质： 模型内插的实质：
实施插值运算，也就是以取样点为已知数据， 实施插值运算，也就是以取样点为已知数据，用一定的数学 方法进行插值加密，也就是插值逼近或曲面拟合； 方法进行插值加密，也就是插值逼近或曲面拟合；内插的中 心问题是邻域的确定和选择适当的插值函数。 心问题是邻域的确定和选择适当的插值函数。
函数表达 ：
为参加插值计算的简单数学面,又称多面函数的核函数; Q(x,y,xi,yi)为参加插值计算的简单数学面,又称多面函数的核函数; n为简单数学面的张数,或多层叠加面的层数,它的值与分块扩充范围内参考点的个数相等; 为简单数学面的张数,或多层叠加面的层数,它的值与分块扩充范围内参考点的个数相等; Ki(i=1,2,3,..,n)为待定参数 它代表了第i个核函数对多层叠加面的贡献。 为待定参数, Ki(i=1,2,3,..,n)为待定参数,它代表了第i个核函数对多层叠加面的贡献。
主体函数： 主体函数：
要求地形采样点的数目等于或大于多项式的系数个数， 要求地形采样点的数目等于或大于多项式的系数个数，分 等于 多项式的系数个数 别对应纯二维插值 曲面拟合插值。 纯二维插值和 别对应纯二维插值和曲面拟使用某种局部内插方法对区域进行内插前，从数据中去 在使用某种局部内插方法对区域进行内插前，从数据中去 一些不符合总体趋势的宏观地物特征或用于粗差检测 不符合总体趋势的宏观地物特征或用于粗差检测。 除一些不符合总体趋势的宏观地物特征或用于粗差检测。
多面函数内插的核函数
为了计算方便,多层叠加面中的n 为了计算方便,多层叠加面中的n个核函数一般选用同 一类型的简单函数,通常是围绕竖向轴旋转的曲面, 一类型的简单函数,通常是围绕竖向轴旋转的曲面,这条竖 轴正好通过某一参考点, 轴正好通过某一参考点, 锥面： [(x(y锥面： Q1(x,y,xi,yi)=C + [(x-xi) 2 + (y-yi)2] 1/2 双曲面： Q2(x,y,xi,yi)=[(x-xi) 2 + (y-yi)2 + 6] 1/2 )=[(x(y双曲面： 三次曲面： )=C+[(x(y三次曲面： Q3(x,y,xi,yi)=C+[(x-xi) 2 + (y-yi)2] 3/2 曲面 旋转面： )=1－ 旋转面： Q4(x,y,xi,yi)=1－Di2/a2 多面叠加一个重要的优点是如果希望对地形增加各种 约束和限制, 约束和限制,则可以设计某一函数将其增加到多面叠加的函 数体内。 数体内。
整体内插的缺点
DEM通常不采用整体内插法 原因在于： 通常不采用整体内插法,原因在于 通常不采用整体内插法 原因在于： 整体内插保凸性较差：大范围内的地形很复杂， 整体内插保凸性较差：大范围内的地形很复杂， 用整体内插法若选取参考点个数较少时， 用整体内插法若选取参考点个数较少时，不足以 描述整个地形； 描述整个地形；而若选用较多的参考点则多项式 易出现振荡现象 导致保凸性较差。 振荡现象， 易出现振荡现象，导致保凸性较差。 很难获得稳定的数值解: 很难获得稳定的数值解: 高阶线性方程组结算时 的计算舍入误差和采样误差会引起高阶多项式系 数的极大变化。 数的极大变化。 高阶多项式系数无明显物理意义。 高阶多项式系数无明显物理意义。 不能提供区域的局部地形特征。 不能提供区域的局部地形特征。
模型内插的数学基础： 模型内插的数学基础：
数学基础是二元函数逼近，即利用已知离散点 数学基础是二元函数逼近， 集的三维空间坐标数据，展铺一张连续数学曲面， 集的三维空间坐标数据，展铺一张连续数学曲面， 将任一待求点的平面坐标代入曲面方程， 将任一待求点的平面坐标代入曲面方程，可算得该 点的高程数值；实际是利用地形局部的光滑起伏， 点的高程数值；实际是利用地形局部的光滑起伏， 即邻近采样点间的空间相关性。 即邻近采样点间的空间相关性。
双线性多项式曲面插值
xP yP yP xP xP yP xP yP ZP = Z4 (1− )(1− ) + Z3 (1− )( ) + Z2 ( )( ) + Z1 (1− )( ) L L L L L L L L
3.3、 3.3、样条函数内插
算法来源： 算法来源：
为保证各分块曲面间的光滑性, 为保证各分块曲面间的光滑性 , 按照弹性力学条 件使所确定的n 件使所确定的n次多项式曲面与其相邻分块的边界上 所有n 次导数都连续。 所有n-1次导数都连续。
( (
) ( ) (
)
)
(
) (
)
3.4、 3.4、多面函数内插
基本思路： 基本思路：
任何一个规则的或不规则的连续曲面均可以由若 干个简单面(或称单值数学面)来叠加逼近。 干个简单面(或称单值数学面)来叠加逼近。 在每个数据点上建立一个曲面,然后在Z方向上将 在每个数据点上建立一个曲面,然后在Z 各个曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面, 各个曲面按一定比例叠加成一张整体的连续曲面 , 使 之严格地通过各个数据点。 之严格地通过各个数据点。
3.5、 3.5、最小二乘拟合法
也即趋势面分析法：根据一系列离散的已知数据点{xi {xi， 也即趋势面分析法：根据一系列离散的已知数据点{xi， yi，zi}，采用按距离加权的最小二乘法， yi，zi}，采用按距离加权的最小二乘法，为局部内插拟 合一个曲面。 合一个曲面。如二次多项式趋势拟合
f ( x, y ) = c 00 + c10 x + c 01 y + c 20 x 2 + c11 xy + c 02 y 2