重庆市万州高级中学高级高三数学第二次月考(理科)(有答案)

重庆市万州高级中学高2009级第二次月考
理科数学试卷
考试时间：2008-9-27 PM 15：00-17：00 命题人：曾国荣
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的4个答案中，只有一个是符合题目要求的）
1．设{}210S x x =+>，{}
350T x x =-<，则S T =
A ．φ
B ．1{|}2
x x <-
C ．5{|}3x x >
D ．15{|}23
x x -
<< 2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若357=S ，则=4a
A ．8
B ．7
C ．6
D ． 5
3．设等比数列{}n a 的前10项和为10，前20项和为30，则它的前30项和为
A ．50
B ．70
C ．90
D ．110
4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知5678,S S S S <=>则在下列结论中错误的是
A ．0<d
B ．07=a
C ．59S S >
D ．n S S S 均为76,中的最大值
5．若函数1(0,1)x
y a b a a =+->≠的图象经过二、三、四象限,则
A ．1,0a b <>
B ．1,0a b <<
C ．1,0a b >>
D ．1,0a b >> 6．已知方程()()10x a x b --+=(a <b )有两实根,αβ()αβ<,则
A ．a b αβ<<<
B ．a b αβ<<<
C ．a b αβ<<<
D ．a b αβ<<< 7．已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数,且在(0,1]上单调递增,则不等式
2(1)(1)f x f x -<-的解集是
A ．(2,1)- B
． C ．(0,1)
∪ D ．不能确定
8．已知函数⎩⎨⎧≥+-<=)
0(,4)3()
0(,)(x a x a x a x f x .满足对任意的21x x ≠都有
0)
()(2
121<--x x x f x f 成立，则a 的取值范围是
A. ]41,0(
B. )1,0(
C. )1,4
1[ D. )3,0(
9．设数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为1()3n
n a =，1()()2
n
n b n N +=∈，它们的前n 项
和依次为A n 和B n ，则lim
n
n n
A B →∞=
A ．
21 B ．23 C ．32 D ．3
1
10．设(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，
()()()()0,f x g x f x g x ''+> 且(3)0,g -=则不等式
()()0f x g x <的解集是
A ．
(3,0)(3,)-⋃+∞ B ．(3,0)(0,3)-⋃C ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞D ．(,3)(0,3)-∞-⋃ 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在答题卡中的答题筐内） 11. 等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知3213,2,S S S 成等差数列，则}{n a 的公比为 ______________.
12.若数列221(1)(110)
(10)1
n n n
n n a C n n ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪≥⎪+⎩ 则lim n n a →+∞=_____________；
13.数列{a n }满足递推式a n ＝3a n -1＋3n －1（n ≥2），又a 1＝5，则使得{
3
n n
a λ
+}为等差数列的实数λ＝______
14.已知函数()f x 定义在R 上,存在反函数,且(9)18f =,若(1)y f x =+的反函数是
1(1)y f x -=+,则(2008)f =
15．已知二次函数2
()1f x ax bx =++的导函数为()f x '，(0)0f '>，对任意的数x ，都
有()0f x ≥，则
(1)
(0)
f f '的最小值为_________． 16.已知图象变换: ①关于y 轴对称;②关于x 轴对称; ③右移1个单位; ④左移一个单位; ⑤
右移
12个单位; ⑥左移1
2
个单位; ⑦横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变;⑧横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变.由x y e =的图象经过上述某些变换可得12x y e -=的图象,这些变换可以依次是 (请填上变换的序号).
三、解答题(本题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答时请填入答题卡上相应的答题框内)
17. 当x ∈[0,2]时,函数2()(1)43f x a x ax =++-在x =2时取得最大值,求实数a 的取值范围.
18.已知函数)(,63)4()(23R x n mx x m x x f ∈-+--+=的图像关于原点对称，其中
n m ,为实数，
（1）求n m ,的值；
（2）若22≤≤-x 时，不等式()(log )log m m f x n a a ≥-⋅恒成立，求实数a 的取值范围.
19．设数列11{},10,910.n n n n a n S a a S +==+的前项和为 （1）求证：}{lg n a 是等差数列； （2）设2131
{
},(5)(lg )(lg )4
n n n n T n T m m a a +>-是数列的前项和求使对所有的*N n ∈ 都
成立的最大正整数m 的值.
20. 设函数()(1)()(1)
f x x x x a a =-->
（1）求导数)('x f ，并证明)(x f 有两个不同的极值点21x x 、；
（2）若对于（1）中的21x x 、不等式12()()0f x f x +≤ 成立，求a 的取值范围。

21. 已知函数()f x 的定义域是{|x x ∈R ,,2
k
x k ≠
∈Z },且()(2)0f x f x +-=, 1
(1)()
f x f x +=-
,当102x <<时,()3x f x =.
（1）求证:()f x 是奇函数;
（2）求()f x 在区间1
(2,21)(2
k k k ++∈Z )上的解析式; （3）是否存在正整数k ,使得当x ∈1
(2,21)2
k k ++时,不等式23log ()2f x x kx k >--有
解?证明你的结论.
22.在数列{a n }中，2115
,(*)22(1)
n n n a a a n N a +==∈-.
（1）用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N*); （2）对于n ∈N*，证明
（i ）)2(2
1
21-<
-+n n a a （ii ）a 1+a 2+a 3+…+a n <2n+1
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理科数学参考答案
11．
31 12．12 13. 1
2
- 14．1981- 15．2 16．①⑧⑤ 或①③⑧ 或④⑧①或④①⑧ 三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17.解：若a +1=0，即1a =-,则()43f x x =--，不在x =2时取得最大值. ……………4分
若10a +>,即1a >-,则21a a -+≤1,解得a ≥1
3-. ……………8分
若10a +<,即1a <-,则21a a -+≥2,解得a ≥1
2-,与1a <-矛盾. ……………12分
综上,a 的取值范围是a ≥1
3
-. ……………13分
18. 解：（1） 函数)(x f y =的图象关于原点对称∴)()(x f x f -=- ……………2分
即63)4(63)4(2323+-+---=+-+-+-n mx x m x n mx x m x
所以m=4,n=6 ……………6分 （2）不等式a a n x f m m log )log ()(-≥恒成立
即为a a x x 443
log )log 6(12-≥-恒成立 ……………8分
123)(2'-=x x f ┈┈┈┈┈9分 ∴)(x f 在[-2，2]上单调递减
∴)(x f 的最小值为16)2(-=f ┈┈┈┈┈10分 ∴16log )log 6(44-≤-a a 即8log 4≥a 或2log 4-≥a ┈┈┈┈┈12分
∴84a ≥或1
016a <≤ ┈┈┈┈┈13分
19. 解：（1）依题意，10,1001091
212==+=a a
a a 故， ……………1分
当109,21+=≥-n n S a n 时 ①
又1091+=+n n S a ② ……………3分
②－①整理得：
}{,101
n n
n a a a 故=+为等比数列， ……………5分 且n a q a a n n n n =∴==-log ,1011
*1}{lg ,1)1(lg lg N n a n n a a n n n ∈=-+=-∴+即是等差数列. ……………7分
（2）由（1）知，11
1
3(
)1223
(1)
n T n n =+++
⋅⋅+
111113
3[(1)()()]322311n n n =-+-++-=-++……………10分
,23≥∴n T 依题意有231
(5),24
m m >- ……………12分
16,m -<<解得 故所求最大正整数m 的值为5. ……………13分
20. 解：(1) ax x a x x f ++-=23)1()(
'2()32(1)f x x a x a ∴=-++ ……………1分
22
2213
()1(1)1243()3()3333
a a a a x a x -+
+++=-+-=--……………4分 所以方程0)('=x f 有两个不同的实数解21,x x ，))((3)(21'
x x x x x f --= 不妨设21x x <，则在区间),(1x -∞和),(2+∞x 上，0)('
>x f ，)(x f 是增函数；
在区间),(21x x 上，0)('
<x f ，)(x f 是减函数； ……………6分
故1x 是极大值点，2x 是极小值点。

……………7分
(2) 由0)()(21≤+x f x f 得：3322
121212(1)()()0x x a x x a x x +-++++≤
0)(]2))[(1(]3))[((21212212122121≤++-++--++x x a x x x x a x x x x x x 9分
又 ⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=+=+3)1(322121a x x a x x 且1>a ……………10分
所以
03
)1(2]32)1(94)[1(])1(94)[1(3222≤++-++--++a a a a a a a a ……………11分 整理得
02522≥+-a a ………12分
解得 2≥a ……………13分 21. 解：(1) 由1(1)()
f x f x +=-
得1
(2)()(1)f x f x f x +=-
=+, 所以()f x 是周期为2的函数. ……………2分 ∴()(2)0f x f x +-=即为()()0f x f x +-=,
故()f x 是奇函数. ……………4分
(2)当x ∈1(,1)2时, 1111
()[1(1)](1)(1)3
x f x f x f x f x -=+-=-
==--. ………6分
所以, 当x ∈1(2,21)(2k k k +
+∈Z )时,211
()(2)3
k x f x f x k +-=-=. …………8分 (3) 23log ()2f x x kx k >--即为2
212x k x kx k -->--,亦即2
(1)10x k x -++<.
令2
()(1)1(g x x k x k =-++是正整数),则()g x 在1
(2,21)2
k k ++上单调递增,
而2
113(2)20224
g k k k +=-+>,
∴2
(1)10x k x -++<在1(2,21)2
k k ++上无解,
从而不存在正整数k ,使得当x ∈1(2,21)2
k k ++时,不等式2
3log ()2f x x kx k >--有
解. …12分
22. （1）证明：1）当n=1时，a 1=2
5
>2，结论成立 …………………1分
2）假设n=k(k≥1)不等式a k >2成立
当)
(2,112
1
-+=+=k k
k a a a k n
时 )
1(2)2()1(2442)1(222
2
21--=
-+-=--=-∴+k k k k k k k k a a a a a a a a 由a k >2得a k+1－2>0即a k +1>2
说明当n=k+1时，不等式也成立 根据1）和2），可知不等a n >2对于n ∈N*都成立。

…………………4分 （II ）证明：（i ）由（I ）可知a n >2(n ∈N*)
∴a n+1－2>0 a n －2>0
则1
2212)1(2)2(222
1--⋅=---=--+n n n n n n n a a a a a a a …………………………6分 11
2
0120<--<
-<-<n n n n a a a a 则
)2(2
1
22
1
2211-<
-<--++n n n n a a a a 即则
………………………………8分 （ii ）由（i ）可知，当n≥2时，
n n n n n n a a a a a 2
1
)2(21)2(21)2(21)2(2121133221=-⋅<<-<-<-<----- ………10分
则n
n a 212+
< 123232*********(2)(2)(2)(2)2()22222222
11(1)122221211212
n
n n n n a a a a n n n n ∴++++<++++++++=++++
+-=+=+-<+-
当1122
5
,11+⨯<=
=a n 时，不等式也成立，故对于任意n ∈N*， 都有a 1+a 2+a 3+…+a n <2n+1 ………………12分。