指数函数基础训练题2(有详解
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5．A
【解析】
【分析】
利用函数解析式，对四个函数分别求出 与 ，结合“作差法”，“基本不等式法”，比较大小即可得结论.
【详解】
① 满足 = ，①不满足条件；
② ， = ，②不满足条件；
③ ， ，③不满足条件;
④ , ,
可得 ，④满足条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查函数的解析式的应用以及比较两个数的大小问题，属于简单题.比较两个数的大小主要有三种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.
14．对于函数 定义域中任意 ， 有如下结论：
（ ） ．
（ ） ．
（ ） ．
（ ） ．
其中正确结论的序号是__________．
15．函数 的定义域为__________；值域为__________．
三、解答题
16．已知函数 .
（1）作出函数 的图象；
（2）若函数 的图象与函数 （ 为实数）的图象有两个交点，求实数 的取值范围．
17．已知函数 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
18．已知函数 ，求其单调区间及值域
19．求函数 的值域．
20．已知函数 为奇函数．
（ ）求函数 的解析式；
（ ）利用定义法证明函数 在 上单调递增．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性和幂函数的单调性比较即可.
【详解】
因为 是单调递减函数， ，所以 ，
【详解】
设 ，
则 ，且函数 在区间 上单调递减，
又由函数 为单调递减函数，所以 ，
即函数 的值域为 ；
又由复合函数的同增异减可得，函数 单调递增区间为 .
【点睛】
本题主要考查了复合函数的性质及复合函数的单调性的判定，其中熟记复合函数的性质的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
指数函数基础训练题2（有详解)
一、单选题
1．下列关系中正确的是（）
A． B．
C． D．
2．已知函数 （ 且 ）在区间 上是 的减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 恒过定点（）
A． B． C． D．
4．三个数 ， ， 之间的大小关系是（）
A． B． C． D．
5．给出下列函数① ；② ；③ ；④ 其中满足条件 > 的函数的个数是（）
根据指数函数性质求定点.
【详解】
因为 ,所以 =0,因此过定点 ,选C.
【点睛】
本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
先与1比较大小，再根据幂函数单调性确定大小.
【详解】
因为 ， ,
又 为 上单调递增函数，所以 ,
综上 ，选B.
【点睛】
本题考查比较大小以及幂函数单调性，考查基本分析判断能力.
7．A
【解析】
【分析】
由题可知，当 时， 有解，构造函数 ，将不等式问题转化为 ，再根据复合函数的单调性，确定函数的单调性和最大值，即可求出 的取值范围.
【详解】
由题可知，当 时， 有解，
令 ， ,则将不等式问题转化为 ，
令 ， ，
，
当 或 时取得最大值
故选A.
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查不等式存在解转化为求函数最值的问题，考查构造函数法和换元法在解题中的灵活运用，以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题.
函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：
① 存在解 ； 恒成立 ；
② 存在解 ； 恒成立 .
8．B
【解析】
有解等价于 有解，由于 ，所以 ，由此 ,可得关于x的方程 有解，则 的取值范围是 ，故选B.
9．
【解析】
【分析】
由题意函数 是 上的减函数，则满足 ，即可得到答案.
因为幂函数 在 上递增， ；
所以 ，
即 ，故选D.
【点睛】
同底指数幂比较大小常用的方法是利用指数函数的单调性，不同底数指数幂比较大小一般应用幂函数的单调性.
2．B
【解析】
【分析】
根据复合函数 在区间 上是单调递减函数，得到 ，即可求解.
【详解】
由题意， 且 ，则 为单调递减函数，
所以函数 为单调递减函数，
11．30
【解析】
【分析】
直接利用指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.
【详解】
化简
故答案为 .
【点睛】
指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）
要使得函数 在区间 上是单调递减函数，则 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性，以及函数的定义域的应用，其中解答中熟记复合函数的单调性“同增异减”的原则，以及函数的定义域的应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
3．C
【解析】
【分析】
6．A
【解析】
【分析】
根据函数y=ax经过第一、第二象限，可得函数f（x）=ax+6的图象经过的象限．
【详解】
当0＜a＜1时，由于函数y=ax经过第一、第二象限，函数f（x）=ax+6的图象是把y=ax向上平移6个单位得到的，
故函数f（x）的图象一定过第一、第二象限，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的图象特征，属于基础题．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．若0<a<1，则函数f（x）=ax+6的图象一定经过
A．第一、二象限B．第二、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
7．定义 ，如 ，且当 时， 有解，则实数k的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．关于x的方程 有解，则a的取值范围是（ ）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A． B． C． D．
【详解】
由题意函数 ，且 是 上的减函数，
则满足 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了分段函数的性质的应用，其中解答中熟记分段函数的单调性的判定方式，准确列出相应的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
10．
【解析】
【分析】
根据复合函数的性质及复合函数的同增异减的原则，即可得到答案.
二、填空题
9．已知函数 ，若 是 上的减函数，则实数 的取值范围是___________．
10．函数 的值域为____________，单调递增区间是_________．
11． =___________．
12．若函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式 的解集为__________．
13．设 ， ，则两个数的大小关系是 __________ ．（填“ ”或“ ”）
【解析】
【分析】
利用函数解析式，对四个函数分别求出 与 ，结合“作差法”，“基本不等式法”，比较大小即可得结论.
【详解】
① 满足 = ，①不满足条件；
② ， = ，②不满足条件；
③ ， ，③不满足条件;
④ , ,
可得 ，④满足条件，故选A.
【点睛】
本题主要考查函数的解析式的应用以及比较两个数的大小问题，属于简单题.比较两个数的大小主要有三种方法：（1）作差法；（2）作商法；（3）函数单调性法；（4）基本不等式法.
14．对于函数 定义域中任意 ， 有如下结论：
（ ） ．
（ ） ．
（ ） ．
（ ） ．
其中正确结论的序号是__________．
15．函数 的定义域为__________；值域为__________．
三、解答题
16．已知函数 .
（1）作出函数 的图象；
（2）若函数 的图象与函数 （ 为实数）的图象有两个交点，求实数 的取值范围．
17．已知函数 在区间[－1,1]上的最大值是14，求a的值.
18．已知函数 ，求其单调区间及值域
19．求函数 的值域．
20．已知函数 为奇函数．
（ ）求函数 的解析式；
（ ）利用定义法证明函数 在 上单调递增．
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
利用指数函数的单调性和幂函数的单调性比较即可.
【详解】
因为 是单调递减函数， ，所以 ，
【详解】
设 ，
则 ，且函数 在区间 上单调递减，
又由函数 为单调递减函数，所以 ，
即函数 的值域为 ；
又由复合函数的同增异减可得，函数 单调递增区间为 .
【点睛】
本题主要考查了复合函数的性质及复合函数的单调性的判定，其中熟记复合函数的性质的求解方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
指数函数基础训练题2（有详解)
一、单选题
1．下列关系中正确的是（）
A． B．
C． D．
2．已知函数 （ 且 ）在区间 上是 的减函数，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．函数 恒过定点（）
A． B． C． D．
4．三个数 ， ， 之间的大小关系是（）
A． B． C． D．
5．给出下列函数① ；② ；③ ；④ 其中满足条件 > 的函数的个数是（）
根据指数函数性质求定点.
【详解】
因为 ,所以 =0,因此过定点 ,选C.
【点睛】
本题考查指数函数性质以及定点问题，考查基本分析求解能力，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
先与1比较大小，再根据幂函数单调性确定大小.
【详解】
因为 ， ,
又 为 上单调递增函数，所以 ,
综上 ，选B.
【点睛】
本题考查比较大小以及幂函数单调性，考查基本分析判断能力.
7．A
【解析】
【分析】
由题可知，当 时， 有解，构造函数 ，将不等式问题转化为 ，再根据复合函数的单调性，确定函数的单调性和最大值，即可求出 的取值范围.
【详解】
由题可知，当 时， 有解，
令 ， ,则将不等式问题转化为 ，
令 ， ，
，
当 或 时取得最大值
故选A.
【点睛】
本题考查新定义的理解和运用，考查不等式存在解转化为求函数最值的问题，考查构造函数法和换元法在解题中的灵活运用，以及二次函数在闭区间上的最值，属于中档题.
函数存在性和恒成立问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：
① 存在解 ； 恒成立 ；
② 存在解 ； 恒成立 .
8．B
【解析】
有解等价于 有解，由于 ，所以 ，由此 ,可得关于x的方程 有解，则 的取值范围是 ，故选B.
9．
【解析】
【分析】
由题意函数 是 上的减函数，则满足 ，即可得到答案.
因为幂函数 在 上递增， ；
所以 ，
即 ，故选D.
【点睛】
同底指数幂比较大小常用的方法是利用指数函数的单调性，不同底数指数幂比较大小一般应用幂函数的单调性.
2．B
【解析】
【分析】
根据复合函数 在区间 上是单调递减函数，得到 ，即可求解.
【详解】
由题意， 且 ，则 为单调递减函数，
所以函数 为单调递减函数，
11．30
【解析】
【分析】
直接利用指数幂的运算法则求解即可，化简过程注意避免出现计算错误.
【详解】
化简
故答案为 .
【点睛】
指数幂运算的四个原则：（1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算；（2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；（3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数；（4）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答（化简过程中一定要注意等价性，特别注意开偶次方根时函数的定义域）
要使得函数 在区间 上是单调递减函数，则 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了复合函数的单调性，以及函数的定义域的应用，其中解答中熟记复合函数的单调性“同增异减”的原则，以及函数的定义域的应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
3．C
【解析】
【分析】
6．A
【解析】
【分析】
根据函数y=ax经过第一、第二象限，可得函数f（x）=ax+6的图象经过的象限．
【详解】
当0＜a＜1时，由于函数y=ax经过第一、第二象限，函数f（x）=ax+6的图象是把y=ax向上平移6个单位得到的，
故函数f（x）的图象一定过第一、第二象限，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，指数函数的图象特征，属于基础题．
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．若0<a<1，则函数f（x）=ax+6的图象一定经过
A．第一、二象限B．第二、四象限
C．第一、二、四象限D．第二、三、四象限
7．定义 ，如 ，且当 时， 有解，则实数k的取值范围是（）
A． B． C． D．
8．关于x的方程 有解，则a的取值范围是（ ）ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A． B． C． D．
【详解】
由题意函数 ，且 是 上的减函数，
则满足 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查了分段函数的性质的应用，其中解答中熟记分段函数的单调性的判定方式，准确列出相应的条件是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
10．
【解析】
【分析】
根据复合函数的性质及复合函数的同增异减的原则，即可得到答案.
二、填空题
9．已知函数 ，若 是 上的减函数，则实数 的取值范围是___________．
10．函数 的值域为____________，单调递增区间是_________．
11． =___________．
12．若函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则不等式 的解集为__________．
13．设 ， ，则两个数的大小关系是 __________ ．（填“ ”或“ ”）