人教版A版高中数学必修4：1.2.1 任意角的三角函数(5)

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第一章 三角函数
3.锐角三角函数（在单位圆中）
若OP r 1，则
以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.
y
P(a, b)
1
sin MP b OP

o
M
x cosห้องสมุดไป่ตู้ OM a OP
tan MP b OM a
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第一章 三角函数
做一做
1. 若 角 α 的 终 边 与 单 位 圆 相 交 于 点

2，－ 2
22，则
sinα＝________．
解析：因为 r＝

222＋－
222＝1，y＝－
22，
∴sinα＝yr＝－
2 2.
答案：－
2 2
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探
第一章 三角函数
1.根据三角函数的定义，确定它们的定义域
究
（弧度制）
三角函数
sin cos
tan
定义域
R
R

则 cos∠xOP＝cos∠xOP′＝ 23， 8 分 所以∠xOP＝π6，∠xOP′＝－π6. 所以满足条件的所有角 α 的集合是
α－π6＋2kπ≤α≤π6＋2kπ，k∈Z. 10 分
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第一章 三角函数
互动探究 4.若把本例中的题目改为－12≤cosα< 23，试求 α 的集合．
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第一章 三角函数
诱导公式一的应用
例3 求下列三角函数值：
(1)sin－467π； (2)tan265π.
【解】 (1)sin－467π＝sin－8π＋π6
＝sinπ6＝12.
(2)tan265π＝tan4π＋π6＝tanπ6＝
3 3.
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第一章 三角函数
y
sinα＝____r____． x
②比值____r ___叫做α的余弦，记作cosα，即 x
cosα＝____r____． y
③比值____x___叫做α的正切，记作tanα，即 y
tanα＝____x_____(x≠0)．
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第一章 三角函数
想一想 1.sinα是不是sin与α的乘积？ 提示：不是,sinα是一个整体,不是sin与α的乘 积,就如f(x)表示自变量为x的函数一样,离开 自变量的“sin”是没有意义的．
OM a（邻）
o
X
M
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诱思 探究
第一章 三角函数
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
Y
sin MP M P
OP
OP
P(a,b)
P cos OM OM
OP
OP
tan MP M P
a
OM OM
O
M
M
X
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导引
第一章 三角函数
1．2.1 任意角的三角函数
所以∠xOP＝π6，∠xOP′＝56π. 3 分 所以满足条件的所有角 α 的集合是
αα＝π6＋2kπ或α＝56π＋2kπ，k∈Z. 5 分
名师微博 正确作出三角函数线是解决本题的关键.
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第一章 三角函数
(2)如图②所示，过点
B 23，0作 x 轴的垂线，与单位圆交于点 P、P′，
解：图中阴影部分就是满足 条件的角 α 的取值范围， 即{α|2kπ＋π6<α≤2kπ＋23π或 2kπ－23π≤α<2kπ－π6，k∈Z}．
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第一章 三角函数
2.已知角α的终边过点P(4a，－3a)(a<0)，则 2sinα＋cosα的值是________． 解析：∵x＝4a，y＝－3a， ∴r＝ x2＋y2＝|5a|＝－5a. ∴sinα＝yr＝35.cosα＝xr＝－45. ∴2sinα＋cosα＝2×35－45＝25. 答案：2
．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正
切为正，第四象限余弦为正．
二正弦
一全正
三正切
四余弦
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第一章 三角函数
做一做
2.已知α在第三象限，设sinαcosα＝m，则有
()
A．m>0
B．m＝0
C．m<0
D．m的符号不确定
解析：选A.∵α是第三象限角， ∴sinα<0，cosα<0， ∴m＝sinαcosα>0.故选A.
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第一章 三角函数
互动探究 1.如果本例中角α的终边在直线4y＋3x＝0上, 试求sinα，cosα，tanα的值．
解：若 x＝4，则 y＝－3，点 P(4，－3)在第四 象限， r＝5，∴sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34. 若 x＝－4，y＝3，点 P(－4，3)在第二象限． ∴sinα＝35，cosα＝－45，tanα＝－34.
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第一章 三角函数
新知初探思维启动
1.任意角的三角函数 利用角 α 终边上任意一点的坐标定义三角函 数如下： 设 α 是一个任意角，α 的终边上任意一点 P(除 原点外)的坐标是(x，y)，它与原点的距离是 r(r ＝ x2＋y2)，那么：
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第一章 三角函数
y
①比值___r___叫做α的正弦，记作sinα，即
5
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第一章 三角函数
则 M 在23π的终边上，N 在43π的终边上， 则23π＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z. 所以函数的定义域是
x23π＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z.
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第一章 三角函数
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2

k (k
Z )
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第一章 三角函数
2.确定三角函数值在各象限的符号
y
y
（+） +
（
-
o ）（
-
）x
（- ）（+ ）
（
o
- ）（+
）x
sin
cos
y
（ -）（+ ）
（+
o ）
（
-
x ）
tan
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想一想
第一章 三角函数
2.你有记忆的技巧吗？
提示:记忆技巧:一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)
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第一章 三角函数
3.诱导公式
终边相同的角的同一三角函数的值_相___等__， 即 sin(α＋k·2π)＝___s_i_n_α___； cos(α＋k·2π)＝___c_o_s_α___； tan(α＋k·2π)＝___t_a_n_α___，其中k∈Z.
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第一章 三角函数
做一做 3.已知sin 5.1°＝m，则sin365.1°＝_____． 解析：sin 365.1° ＝sin(5.1°＋360°) ＝sin 5.1°＝m. 答案：m
第一章 三角函数
1．2 任意角的三角函数
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新课 导入
第一章 三角函数
在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中:
OM a
MP b
OP r a2 b2
Y
﹒Pa, b

sin MP b（对）
OP r（斜）
c os OM a（邻）
OP
r（斜）
tan MP b（对）
三角函数线的应用
例4 (本题满分 10 分)利用三角函数线，
求满足下列条件的角 α 的集合：(1)sinα＝12；
(2)cosα≥ 【解】
23. (1)如图①所示，过点
A0，12作
x
轴
的平行线，与单位圆交于 P、P′点，则 sin∠
xOP＝sin∠xOP′＝12，
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第一章 三角函数
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第一章 三角函数
典题例证技法归纳
题型探究
用三角函数的定义求三角函数值
例1 已知角α的终边经过点P(－4，3) 求 sinα、cosα、tanα的值．
变式训练 把上 例条件变为点P(－4a，3a)
(a≠0)， 求sinα、cosα、tanα的值．
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第一章 三角函数
【解】 r＝ （－4a）2＋（3a）2＝5|a|. 若 a>0，则 r＝5a，角 α 是第二象限角， sinα＝yr＝35aa＝35，cosα＝xr＝－54aa＝－45， tanα＝xy＝－3a4a＝－34. 若 a<0，则 r＝－5a，角 α 是第四象限角， sinα＝－35，cosα＝45，tanα＝－34.