课件9：2.1.1 向量的物理背景与概念

必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹 角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．
练一练
2．一辆汽车从 A 出发向西行驶了 100 km 到达 B 点，
然后改变方向向西偏北 50°走了 200 km 到达 C 点，
又改变方向，向东行驶了 100 km 到达 D 点．
(1)作出向量
；
2.1.1 向量的物理背景与概念
预习导引区 核心必知
1．预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材的内容，回答下列问题． (1)我们在物理中学习了位移、速度、力等，这些量与我们日 常生活中的年龄、身高、体重、面积、体积等有什么区别？ 提示：位移、速度、力是既有大小又有方向的量，而年龄、 身高、体重、面积、体积等只有大小，没有方向．
【解析】①不正确．由|a|＝|b|只能判断两向量长度相等， 不能确定它们方向的关系． ②正确．因为|a|＝|b|，且 a 与 b 同向，由两向量相等的条件， 可得 a＝b. ③不正确．依据规定：0 与任一向量平行． ④不正确．因为向量 a 与向量 b 若有一个是零向量，则其方向 不定．
⑤正确．对于一个向量只要不改变其大小与方向，是可以任 意移动的． 【答案】②⑤
讲一讲 3．如图所示，四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形．
(1)找出与向量 (2)找出与向量
共线的向量； 相等的向量．
解：(1)依据图形可知
方向相同，
方向相反，所以与向量 共线
的向量为 (2)由四边形 ABCD 与 ABDE 是平行四边形，知 与 长度相等且方向相同，所以与向量 相等的向
量为
类题·通法 寻找共线向量或相等向量的方法
(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或 共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表 示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量． (2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相 等的向量，再确定哪些是与已知向量方向相同的向量．
(3)“若 a∥b，且 b∥c，则 a∥c”这个说法对吗？
提示：不对，若 b＝0，则 a、c 均可以是任意向量， 所以 a、c 不一定平行．平面几何中平行的传递性： a∥b，且 b∥c，则 a∥c，在向量的平行中并不适用． 解题时我们也要充分考虑 0 的特殊性．
知识点 1 向量的有关概念 讲一讲 1．下列说法正确的有________．(填序号) ①若|a|＝|b|，则 a 与 b 的长度相等且方向相同或相反； ②若|a|＝|b|，且 a 与 b 的方向相同，则 a＝b； ③由于 0 方向不确定，故 0 不能与任意向量平行； ④向量 a 与向量 b 平行，则向量 a 与 b 方向相同或相反； ⑤起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量．
知识点 2 向量的表示 讲一讲 2．如图，B，C 是线段 AD 的三等分点，分别以图中各点 为起点和终点，可以写出________个向量．
【解析】由向量的几何表示可知，可以写出 12 个向量， 它们分别是 【答案】12
类题·通法 用有向线段表示向量的方法
用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向， 最后依据向量模的大小确定向量的终点．
(2)求| |.
解：(1)向量
如图所示．
(2)由题意，易知
方向相反，故
所以在四边形 ABCD 中，AB 綊 CD， 所以四边形 ABCD 为平行四边形，
共线．
知识点 3 相等向量与共线向量 思考 1 两个向量相等的条件是什么？ 提示：方向相同，模相等． 思考 2 两个向量共线的条件是什么？ 名师指津：两个非零向量的方向相同或相反，则这两个 向量为平行向量，也叫做共线向量.0 与任意向量共线．
练一练 3．如图，△ABC 和△A′B′C′是在各边的31处相交的两个全 等的等边三角形，设△ABC 的边长为 a，图中列出了长度 均为3a的若干个向量，则
(1)与向量 (2)与向量 (3)与向量
相等的向量有________； 共线，且模相等的向量有________； 共线，且模相等的向量有________．
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)向量的表示方法 ①向量可以用有向线段 表示．向量 的大小，也就是向 量 的 长度 (或称模)，记作| |．
②用字母表示向量：通常在印刷时，用黑体小写字母 a， b，c，…表示向量，在手写时用带箭头的小写字母 ，
，…表示向量．也可用表示向量的有向线段的起 点和终点字母表示，例如， ， . (4)几种特殊的向量 ①零向量：长度为 0 的向量，叫做零向量，记作 0 .
②单位向量：长度等于 1 个单位 的向量叫做单位向量． ③相等向量：长度 相等 且方向 相同 的向量，叫做相等向量． ④平行向量：方向 相同或相反 的非零向量叫做平行向量，如
果向量 a 和 b 平行，记作 a∥b ；规定：零向量与任一向 量 平行 ，即对于任意向量 a，都有 0∥a ．
问题思考 (1)两个向量能比较大小吗？ 提示：不能．因为向量是具有方向的量． (2)向量就是有向线段，这种说法对吗？ 提示：不对，向量与有向线段是两个不同的概念，可以 用有向线段表示向量．
3．本节课要注意两个区别 (1)向量与数量 ①数量只有大小没有方向，向量既有大小又有方向． ②数量可以比较大小，向量不能比较大小．
(2)向量与有向线段 ①区别：从定义上看，向量有大小和方向两个要素，而有 向线段有起点、方向和长度三个要素，因此它们是两个不 同的量．在空间中，有向线段是固定的，而向量是可以自 由移动的． ②联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说向量就是 有向线段．
类题·通法 解决与向量概念有关问题的方法
解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向 和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制； 相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向 没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有 限制，长度是 0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概 念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．
练一练 1．下列说法错误的有_(_1_)_(2_)_(_3_) ．(填上你认为所有符合的序号) (1)两个单位向量不可能平行； (2)两个非零向量平行，则它们所在直线平行； (3)当两个向量 a，b 共线且方向相同时，若|a|＞|b|，则 a＞b. 【解析】(1)错误，单位向量也可以平行； (2)错误，两个非零向量平行，则它们所在直线还可能重合； (3)错误，两个向量是不能比较大小的，只有模可以比较大小．
(2)对既有大小，又有方向的量，如何形象、直观地表示出来？ 提示：用有向线段． (3)若向量 a 与向量 b 相等，则它们应具备什么条件？ 提示：长度相等且方向相同．
2．归纳总结，核心必记 (1)向量的概念 数学中，我们把像力、位移等这种既有 大小 ，又有 方向 的量叫做向量． (2)有向线段 带有 方向 的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、 方向、长度．

【解析】向量相等⇔向量方向相同且模相等． 向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．
————————[课堂归纳·感悟提升]———————— 1．本节课的重点是向量的概念、向量的表示方法及几种特殊 的向量，难点是几种特殊向量的概念及应用． 2．要重点掌握向量的三个问题 (1)向量有关概念的辨析，见讲 1； (2)向量的表示，见讲 2； (3)相等向量与共线向量的应用，见讲 3.