2021年高考数学三轮冲刺小题练习12《函数与方程》(含答案详解)

2021年高考数学三轮冲刺小题练习12
《函数与方程》
一、选择题
1.设a ，b ，c 均为正数，且2a =log 0.5a ，(0.5)b =log 0.5b ，(0.5)c
=log 2c ，则( )
A.a<b<c
B.c<b<a
C.c<a<b
D.b<a<c 2.已知函数f(x)=|2x -2|+b 的两个零点分别为x 1,x 2(x 1>x 2),则下列结论正确的是( ) A.1<x 1<2,x 1+x 2<2 B.1<x 1<2,x 1+x 2<1 C.x 1>1,x 1+x 2<2 D.x 1>1,x 1+x 2<1
3.已知函数f(x)=2ax －a ＋3，若∃x 0∈(－1,1)，使得f(x 0)=0，则实数a 的取值范围是( )
A.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
B.(－∞，－3)
C.(－3,1)
D.(1，＋∞)
4.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧
3|x －1|，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0，
若关于x 的方程[f(x)]2＋(a －1)f(x)－a=0有7个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )
A.[1,2]
B.(1,2)
C.(－2，－1)
D.[－2，－1] 5.下列函数中，在(－1,1)内有零点且单调递增的是( )
A.y=log 12x
B.y=2x －1
C.y=x 2－12
D.y=－x 3
6.函数f(x)=ln(x ＋1)－1
x
的一个零点所在的区间是( )
A.(0,1)
B.(1,2)
C.(2,3)
D.(3,4)
7.函数f(x)=x 2
－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是( )
A.(2，＋∞)
B.[2，＋∞)
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，52
D.⎣
⎢⎡⎭⎪⎫2，103
8.已知a ，b ，c ，d 都是常数，a>b ，c>d.若f(x)=2 021－(x －a)(x －b)的零点为c ，d ，’则下
列不等式正确的是( )
A.a>c>b>d
B.a>b>c>d
C.c>d>a>b
D.c>a>b>d
9.定义在R 上的奇函数f(x)满足条件f(1＋x)=f(1－x)，当x ∈[0,1]时，f(x)=x ，若函数
g(x)=|f(x)|－ae －|x|
在区间[－2 018,2 018]上有4 032个零点，则实数a 的取值范围是( )
A.(0,1)
B.(e ，e 3)
C.(e ，e 2)
D.(1，e 3
)
10.已知函数f(x)=⎩
⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋4x ，x ≤0，xln x ，x ＞0，g(x)=kx －1，若方程f(x)－g(x)=0在x ∈(－2，e)时有
3个实根，则k 的取值范围为( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1e ，32
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2
D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2 11.定义在R 上的偶函数f(x)满足f(2－x)=f(x)，且当x ∈[1,2]时，f(x)=ln x －x ＋1，
若函数g(x)=f(x)＋mx 有7个零点，则实数m 的取值范围为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－ln 28，1－ln 26
B.⎝
⎛⎭
⎪⎫ln 2－16，ln 2－18
C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28
，1－ln 26 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16
，1－ln 28 12.已知函数f(x)=－2x 2
＋1，函数g(x)=⎩⎨⎧≤>+0,
20),1(log 2x x x x ，则函数y=|f(x)|－g(x)的零点的
个数为( )
A.3
B.4
C.5
D.6
13.定义在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，π上的函数f(x)满足f(x)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1π，1时，f(x)=ln x ， 若函数g(x)=f(x)－ax 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1π，π上有零点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ln ππ，0 B.[－πln π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e ，ln ππ D.⎣
⎢⎡⎦⎥⎤－e π，－1π 14.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x<0时，f(x)=(x ＋1)e x
.则对任意的m ∈R ，函数
F(x)=f[f(x)]－m 的零点至多有( )
A.3个
B.4个
C.6个
D.9个 二、填空题 15.设函数f(x)=
(1)若a=1,则f(x)的最小值为 ;
(2)若f(x)恰有2个零点,则实数a 的取值范围是 .
16.已知函数f(x)=1＋x －x 22＋x 33，g(x)=1－x ＋x 22－x
33
，设函数F(x)=f(x －4)·g(x ＋3)，
且函数F(x)的零点均在区间[a ，b](a<b ，a ，b ∈Z)内，则b －a 的最小值为_______.
17.对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b=⎩
⎪⎨
⎪⎧
b ，a －b ≥1，
a ，a －
b ＜1.设f(x)=(x 2
－1)⊗(4＋x)，若函数
g(x)=f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 .
18.已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧
|lg －x |，x<0，x 2－6x ＋4，x ≥0，
若关于x 的方程f 2
(x)－bf(x)＋1=0有8个不同的
实数根，则实数b 的取值范围是________.
19.设a ，b ∈R ，若函数f(x)=x ＋a
x
＋b 在区间(1,2)上有两个不同的零点，
则f(1)的取值范围为________.
20.设函数f(x)=
若f(x)恰有2个零点,则实数a 的取值范围
是 .
答案解析
1.答案为：A ；
解析：法一：分别作出四个函数y=(0.5)x ，y=log 0.5x ，y=2x
，y=log 2x 的图象， 由图象知：a<b<c ，故选A.
法二：∵a>0，∴2a
>1，∴log0.5a>1，∴0<a<12.
∵b>0，∴0<(0.5)b
<1，∴0<log 0.5b<1，∴12<b<1.
∵(0.5)c
>0，∴log 2c>0，∴c>1，∴0<a<12<b<1<c ，故选A.]
2.答案为：A ；
解析：函数f(x)=|2x
-2|+b 有两个零点,即y=|2x
-2|与y=-b 的图象有两个交点,
交点的横坐标就是x 1,x 2(x 2<x 1),在同一坐标系中画出y=|2x -2|与y=-b 的图象(如图), 可知1<x 1<2.
当y=-b=2时,x 1=2,两个函数图象只有一个交点,当y=-b<2时,由图可知x 1+x 2<2. 3.答案为：A ；
解析：依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a －a ＋3)(2a －a ＋3)<0， 解得a<－3或a>1，故选A.] 4.答案为：C ；
解析：函数f(x)=⎩
⎪⎨⎪⎧
3|x －1|，x ＞0，－x 2
－2x ＋1，x ≤0的图象如图：
关于x 的方程[f(x)]2
＋(a －1)f(x)－a=0有7个不等的实数根，
即[f(x)＋a][f(x)－1]=0有7个不等的实数根，易知f(x)=1有3个不等的实数根， ∴f(x)=－a 必须有4个不相等的实数根，由函数f(x)的图象可知－a ∈(1,2)， ∴a ∈(－2，－1).故选C. 5.答案为：B ；
解析：函数y=log 12x 在定义域上单调递减，y=x 2
－12
在(－1,1)上不是单调函数，
y=－x 3在定义域上单调递减，均不符合要求.对于y=2x
－1，
当x=0∈(－1,1)时，y=0且y=2x
－1在R 上单调递增，故选B.
6.答案为：B ；
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)=ln2－1＜0，f(2)=ln3－1
2
＞0，
∴f(x)的零点所在区间为(1,2)，故选B. 7.答案为：D ；
解析：由题意知方程ax=x 2
＋1在⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，3上有解，即a=x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，
设t=x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣
⎢⎡⎭⎪⎫2，103.
∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2，103. 8.答案为：D ；
解析：f(x)=2 021－(x －a)(x －b)=－x 2
＋(a ＋b)x －ab ＋2 021， 又f(a)=f(b)=2 021，c ，d 为函数f(x)的零点，且a>b ，c>d ， 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象， 如图所示，由图可知c>a>b>d ，故选D.]
9.答案为：B ；
解析：f(x)满足条件f(1＋x)=f(1－x)且为奇函数，则f(x)的图象关于x=1对称， 且f(x)=f(2－x)，f(x)=－f(－x)，∴－f(－x)=f(2－x)，即－f(x)=f(2＋x)， ∴f(x ＋4)=f(x)，∴f(x)的周期为4.
令m(x)=|f(x)|，n(x)=ae －|x|
，画出m(x)、n(x)的图象如图，
可知m(x)与n(x)为偶函数，且要使m(x)与n(x)图象有交点，需a ＞0， 由题意知要满足g(x)在区间[－2 018，2 018]上有4 032个零点，
只需m(x)与n(x)的图象在[0,4]上有两个交点，则⎩
⎪⎨⎪⎧
m 1＜n 1，
m 3＞n 3，
可得e ＜a ＜e 3
，故选B. 10.答案为：D ；
解析：由题意得f(0)=0，g(0)=－1，则x=0不是方程f(x)－g(x)=0的实数根，
又f(x)－g(x)=0，所以f(x)－kx ＋1=0，即k=f x ＋1
x
(x ≠0).
令h(x)=
f
x ＋1
x ，则h(x)=⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1
x ＋4，x ＜0，ln x ＋1
x
，x ＞0，
故方程f(x)－g(x)=0在x ∈(－2，e)时有3个实数根，
即直线y=k 与h(x)的图象在x ∈(－2，e)上有3个交点. 函数h(x)在(－2，e)上的图象如图所示，
可得k 的取值范围为⎝
⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.故选D.] 11.答案为：A ；
解析：(数形结合思想)函数g(x)=f(x)＋mx 有7个零点， 即函数y=f(x)的图象与y=－mx 的图象有7个交点.
当x ∈[1,2]时，f(x)=ln x －x ＋1，f ′(x)=1x －1=1－x
x
≤0，此时f(x)单调递减，
且f(1)=0，f(2)=ln 2－1.由f(2－x)=f(x)知函数图象关于x=1对称， 而f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f(x)=f[－(2－x)]=f(x －2)， 故f(x ＋2)=f(x)，即f(x)是周期为2的函数.
易知m ≠0，当－m<0时，作出函数y=f(x)与y=－mx 的图象，如图所示.
则要使函数y=f(x)的图象与y=－mx 的图象有7个交点，需有⎩⎪⎨
⎪⎧
－8m<f
8－6m>f 6
，
即⎩⎪⎨⎪⎧
－8m<ln 2－1
－6m>ln 2－1
，解得1－ln 28<m<1－ln 2
6
.
同理，当－m>0时，可得ln 2－16<m<ln 2－1
8
.
综上所述，实数m 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2－16，ln 2－18∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1－ln 28，1－ln 26.]
12.答案为：C ；
解析：(数形结合思想)函数y=|f(x)|－g(x)的零点的个数，即|f(x)|－g(x)=0的根的个数，可得|f(x)|=g(x)，画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图所示，观察函数的图象，知它们的交点为5个，即函数的零点个数为5，选C.
13.答案为：B ；
解析：令x ∈[1，π]，则1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，因为f(x)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1π，1时， f(x)=ln x ，所以f(x)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x =－ln x ，则f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧
ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，－ln x ，x ∈[1，π]，
在坐标系中画出函数f(x)的图象如图：
因为函数g(x)=f(x)－ax 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1π，π上有零点， 所以直线y=ax 与函数f(x)的图象有交点，由图得，当a 取满足题意的最小值时，
直线y=ax 与f(x)的图象相交于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫1π，－ln π，此时－ln π=a π⇒a=－πln π， 由图可得，实数a 的取值范围是[－πln π，0].故选B.] 14.答案为：A ；
解析：当x<0时，f ′(x)=(x ＋2)e x
，由此可知f(x)在(－∞，－2)上单调递减，
在(－2,0)上单调递增，f(－2)=－e －2
，f(－1)=0，且当x →0时，f(x)→1.
又因为f(x)是定义在R 上的奇函数，故f(0)=0.而当x ∈(－∞，－1)时，f(x)<0， 所以f(x)的图象的草图如图所示.令t=f(x)，则F(x)=0⇔f(t)=m ， 由图可知，当t ∈(－1,1)时，方程f(x)=t 至多有3个根， 当t ∉(－1,1)时，方程f(x)=t 没有根，
而对任意m ∈R ，方程f(t)=m 至多有一个根t ∈(－1,1)， 从而函数F(x)=f[f(x)]－m 的零点至多有3个.故选A.]
15.答案为：(1)-1 (2)≤a<1或a ≥2；
解析:(1)当a=1时,f(x)=
当x<1时,f(x)=2x -1为增函数,f(x)>-1, 当x>1时,f(x)=4(x-1)(x-2)=4(x 2
-3x+2)=
-1,
当1<x<时,函数单调递减,当x>时,函数单调递增, 故当x=时,f(x)min =f()=-1,
(2)设h(x)=2x -a,x<1,g(x)=4(x-a)(x-2a),x ≥1, 令h(x)=0,则2x =a,因为x<1,所以0<2x <2, 即当0<a<2时,函数h(x)有一个零点;
令g(x)=0,易知函数g(x)的零点与x=a,x=2a 有关. 当a ≤0时,g(x)无零点;
当a>0时,若2a<1时,即0<a<时,g(x)无零点. 若a<1≤2a 时,即≤a<1时,g(x)有一个零点. 若a ≥1时,g(x)有两个零点,
综上所述,可知当≤a<1或a ≥2时,函数f(x)恰有2个零点.
16.答案为：6；
解析：因为函数f(x)=1＋x －x 2
2＋x 3
3，f ′(x)=1－x ＋x 2
>0，所以g(x)在R 上单调递增.
而f(0)=1>0，f(－1)=1－1－12－1
3
<0，所以函数f(x)在区间(－1,0)内有零点.
所以函数f(x －4)在[3,4]上有一个零点，函数g(x)=1－x ＋x 22－x
33
，
g ′(x)=－1＋x －x 2
<0.所以g(x)在R 上单调递减，
而g(1)=1－1＋12－13>0，g(2)=1－2＋2－8
3
<0.所以函数g(x)在区间(1,2)内有零点.
所以函数g(x ＋3)在[－2，－1]上有一个零点.函数F(x)=f(x －4)·g(x ＋3)， 所以函数F(x)的零点在区间[－2,4]内，则b －a 的最小值为6.] 17.答案为：[－2,1)；
解析：解不等式x 2
－1－(4＋x)≥1，得x ≤－2或x ≥3，
所以f(x)=⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋4，x ∈－∞，－2]∪[3，＋∞，x 2－1，x ∈－2，3.
函数g(x)=f(x)＋k 的图象与x 轴恰有三个不同的交点转化为函数f(x)的图象和直线y=－k 恰有三个不同的交点.作出函数f(x)的图象如图所示，
所以－1＜－k ≤2，故－2≤k ＜1.
18.答案为：⎝
⎛⎦⎥⎤2，174；
解析：令t=f(x)，则方程f 2(x)－bf(x)＋1=0可化为t 2
－bt ＋1=0. 如图所示.
作出函数f(x)的图象和直线y=t.根据图象可知， 当t>4或t=0时，方程t=f(x)有3个不同的实数根； 当0<t ≤4时，方程t=f(x)有4个不同的实数根； 当－5<t<0时，方程t=f(x)有2个不同的实数根； 当t=－5时，方程t=f(x)有1个实数根； 当t<－5时，方程t=f(x)无实数根.
由方程f 2
(x)－bf(x)＋1=0有8个不同的实数根可知，
方程t 2
－bt ＋1=0有两个不等的实数根存在，且都在区间(0,4]内.
令g(t)=t 2
－bt ＋1，有⎩⎪⎨⎪⎧
g 0＝1>0，
g 4＝17－4b ≥0，
Δ＝b 2
－4>0，
0<b 2
<4，
解得b ∈⎝
⎛⎦⎥⎤2，174.
19.答案为：(0,1)；
解析：函数f(x)=x ＋a
x
＋b 在区间(1,2)上有两个不同的零点，
即方程x 2
＋bx ＋a=0在区间(1,2)上两个不相等的实根，
即⎩⎪⎨
⎪⎧
1<－b
2
<2，
b 2
－4a>0，1＋a ＋b>0，4＋2b ＋a>0，
化简，得⎩⎪⎨⎪⎧
－4<b<－2，b 2
>4a ，
1＋a ＋b>0，
4＋2b ＋a>0，
如图，阴影部分为数对(a ，b)所表示的区域，
目标函数z=f(1)=a ＋b ＋1，z=a ＋b ＋1过点(1，－2)时，z=0， z=a ＋b ＋1过点(4，－4)时，z=1，所以f(1)的取值范围为(0,1). 20.答案为：[,]∪[3,+∞)
解析:若x<1时,函数h(x)=3x -a 有一个零点,则0<a<3, 而此时函数g(x)=π(x-3a)(x-2a)只有一个零点,所以解得≤a<,
若x<1时,函数h(x)=3x -a 没有零点,则a ≤0或a ≥3, 函数g(x)=π(x-3a)(x-2a)必有两个零点,
所以a ≥3,
综上,a ∈[,)∪[3,+∞).。