2024届广州顺德区数学高一下期末综合测试试题含解析

2024届广州顺德区数学高一下期末综合测试试题
注意事项：
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
1．若(3,1)P 为圆2
2
2240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．250x y +-= B ．20x y --= C ．250x y --=
D ．270x y +-=
2．不等式20x x ->的解集是： A ．()1,0- B ．()(),10,?-∞-⋃+∞ C ．()0,1
D ．()(),01,-∞⋃+∞ 3．如图，一个边长为4的正方形里有一个月牙形的图案，为了估算这个月牙形图案的面积，向这个正方形里随机投入了1000粒芝麻，经过统计，落在月牙形图案内的芝麻有350粒，则这个月牙图案的面积约为（ ）
A ．5.6
B ．3.56
C ．1.4
D ．0.35
4．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A ．2
1y x =+
B ．1
y x
=
C ．22x x y -=+
D ．e x y =
5．在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,1)的直线与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，则OAB ∆的面积的最小值为（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
6．如图，在ABC ∆中，,,4AB a AC b BC BD ===，用向量a ，b 表示AD ，正确
的是
A ．1144AD a b =+
B ．51
44AD a b =
+ C ．31
44
AD a b =+
D ．51
44
AD a b =-
7．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140
B ．280
C ．168
D ．56
8．设a, b, c 均为不等于1的正实数, 则下列等式中恒成立的是 A ．·
log log log a c c b a b = B ．log log log b c
a a c
b =
C ．log ()log ?log a a a bc b c =
D ．()log g og o l l a a a b b c c +=+ 9．等差数列的公差是2，若
成等比数列，则
的前项和
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
10．已知函数()1
πsin 2
3f x x ⎛⎫=-
⎪⎝⎭，则
A ．f （x ）的最小正周期为π
B ．f （x ）为偶函数
C ．f （x ）的图象关于2π03⎛⎫
⎪⎝⎭，对称 D ．π3f x ⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
为奇函数 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11．已知双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作
圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=，则C 的离心率为__________． 12．若tan 3α=-，则2
1
sin 2cos =+αα
__________． 13．已知数列
中，11a =-，11n n n n a a a a ++⋅=-，则数列通项n a =___________
14．已知二面角l αβ--为60°，动点P 、Q 分别在面α、β内，P 到β3
Q 到α的距离为23，则P 、Q 两点之间距离的最小值为 ． 15．直线23120x y -+=在y 轴上的截距是__________.
16．已知两个正实数x ，y 满足21
x y
+＝2，且恒有x+2y ﹣m ＞0，则实数m 的取值范围是______________
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知函数()sin y A ωx φ=+0,0,02A πωϕ⎛⎫
>><<
⎪⎝
⎭
的图象如图所示.
（1）求这个函数的解析式，并指出它的振幅和初相； （2）求函数在区间,212π
π⎡⎤-
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值，并指出取得最值时的x 的值． 18．如图，在四棱锥 P ABCD -中，PA PD =，底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ,E 是AD 的中点.
（1）求证：//AD 平面PBC ； （2）求证：AB ⊥平面PAD .
19．在ABC ∆中，三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足
(2)cos cos 0c a B b C -+=.
（1） 求角B 的大小；
（2） 若12,27BA BC b ⋅==a ，c 的值.（其中a c <）
20．某中学的高二（1）班男同学有45名，女同学有15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组.
（1）求课外兴趣小组中男、女同学的人数；
（2）经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学做完后，再从小组内剩下的同学中选一名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；
（3）试验结束后，第一次做试验的同学得到的试验数据为68，70，71，72，74，第二次做试验的同学得到的试验数据为69,70,70,72,74 ，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由.
21．已知圆心在x 轴的正半轴上，且半径为2的圆C 被直线y =（1）求圆C 的方程；
（2）设动直线(2)y =k x -与圆C 交于,A B 两点，则在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1、D 【解题分析】
圆2
2
2240x y x +--=的圆心为O ，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到
OP AB ⊥，求出直线OP 的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线AB 的斜率，
利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程. 【题目详解】
设圆2
2
2240x y x +--=的圆心为O ，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：
OP AB ⊥，因为011
132
OP k -=
=-，所以2AB k =-， 因此直线AB 的方程为12(3)270y x x y -=--⇒+-=，故本题选D.
【题目点拨】
本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式. 2、C 【解题分析】
把不等式20x x ->转化为不等式(1)0x x -<，即可求解，得到答案． 【题目详解】
由题意，不等式20x x ->，等价于(1)0x x -<，解得01x <<， 即不等式20x x ->的解集为(0,1)，故选C ． 【题目点拨】
本题主要考查了一元二次不等式的求解，其中解答中熟记一元二次不等式的解法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3、A 【解题分析】
根据几何概型直接进行计算即可. 【题目详解】
月牙形图案的面积约为：350
44 5.61000
⨯⨯= 本题正确选项：A 【题目点拨】
本题考查几何概型的应用，属于基础题. 4、D 【解题分析】
利用奇函数偶函数的判定方法逐一判断得解. 【题目详解】
A.函数的定义域为R,关于原点对称，2()1()f x x f x -=+=,所以函数是偶函数；
B.函数的定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称. 1
()()f x f x x
-=-=-,所以函数是奇函数；
C.函数的定义域为R,关于原点对称，()22()x x f x f x --=+=,所以函数是偶函数；
D. 函数的定义域为R,关于原点对称，()()x f x e f x --=≠，()()x f x e f x --=≠-，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数.
故选D 【题目点拨】
本题主要考查函数的奇偶性的判断，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 5、B 【解题分析】
利用直线的方程过点(1,1)分别与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于,A B 两点， 可得AB l ：
11
1a b
+=，0,0a b >>，结合基本不等式的性质即可得出. 【题目详解】
在平面直角坐标系xOy 中，过点(1,1)的直线
与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于,A B 两点，且构成OAB ∆， 所以，直线AB 斜率一定存在， 设(),0A a ，()0,B b ，
AB l ：
11
1a b
+=，0,0a b >>，
则有： 111a b =
+≥，0,0a b >>， 解得4ab ≥，当且仅当：
11
a b
=，即2a b ==时，等号成立， OAB ∆的面积为：1
22
OAB S ab ∆=≥.
故选：B 【题目点拨】
本题考查了直线的截距式方程、基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 6、C 【解题分析】 由4BC BD =得14BD BC =
，再由向量的加法得1
4
AD AB BD AB BC =+=+，最后把,AB a AC b ==代入，求得答案. 【题目详解】
因为111
()44344
AD AB BD AB BC AB AC AB a b =+=+=+-=+，故选C. 【题目点拨】
本题考查向量的加法和数乘运算的几何意义，考查平面向量基本定理在图形中的应用. 7、A 【解题分析】
由等差数列的性质得，5611028a a a a +==+，∴其前10项之和为
()
110101028
1402
2
a a +⨯=
=，故选A. 8、B
【解题分析】
根据对数运算的规律一一进行运算可得答案. 【题目详解】
解：由a, b,c≠1. 考察对数2个公式: ，log log log a a a xy x y =+,log log log b c
a a c
b =
对选项A: log log ?log log log =
log c a c c a c a
b b a b b
=⇒,显然与第二个公式不符，所以为假. 对选项B: c c c c c log log ?log log log =
log a b
b a b b a
=⇒,显然与第二个公式一致，所以为真. 对选项C: log ()log ?log a a a bc b c =,显然与第一个公式不符，所以为假. 对选项D: ()log g og o l l a a a b b c c +=+,同样与第一个公式不符，所以为假. 所以选B. 【题目点拨】
本题主要考查对数运算的性质，熟练掌握对数运算的各公式是解题的关键. 9、A 【解题分析】 试题分析：由已知得，
，又因为
是公差为2的等差数列，故，，解得，所以
，故
．
【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 10、C
【解题分析】
对于函数()1
πsin 2
3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，它的最小正周期为2π
12
=4π，故A 选项错误；函数f
（x ）不满足f （–x ）=f （x ），故f （x ）不是偶函数，故B 选项错误；令x =2π
3，可得f
（x ）=sin0=0，故f （x ）的图象关于2π03⎛⎫
⎪⎝⎭
，对称，C 正确；由于f （x –π3）=sin （12x –ππ–63）
=–sin （
π1–22x ）=–cos （1
2
x ）为偶函数，故D 选项错误，故选C ．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

11、
23
3
【解题分析】 如图所示，
由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ， ∵∠MAN=60°， ∴3
， ∴22223
||||4
OA PA a b -=
-
设双曲线C 的一条渐近线y=b a
x 的倾斜角为θ，则tan θ=22
3||2||34
AP OP a b =- 又tan θ=
b a
， 22
323
4
b a a b =-，解得a 2=3b 2， ∴22
123
113b a +=+=．
答案：3
点睛：
求双曲线的离心率的值（或范围）时，可将条件中提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量,,a b c 的方程或不等式，再根据222b c a =-和c
e a
=
转化为关于离心率e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值（或取值范围）． 12、2- ； 【解题分析】
把分子的1换成22sin cos αα+，然后弦化切，代入计算． 【题目详解】
2222221sin cos tan 1(3)1
2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 12(3)1
ααααααααα++-+====-+++⨯-+．
故答案为－1． 【题目点拨】
本题考查三角函数的化简求值．解题关键是“1”的代换，即221sin cos αα=+，然后弦化切． 13、1n
-
【解题分析】
分析：在已知递推式两边同除以1n n a a +，可得新数列1
{
}n
a 是等差数列，从而由等差数列通项公式求得1
n
a ，再得n a ．
详解：∵11n n n n a a a a ++⋅=-， ∴两边除以1n n a a +⋅得，
1111n n a a +-=，即1111n n
a a +-=-， ∵11a =-，∴
1
1
1a =-， ∴1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
是以1-为首项，以1-为公差的等差数列，
∴()()1
111n
n n a =-+-⨯-=-， ∴1n a n =-
． 故答案为1
n
-．
点睛：在求数列公式中，除直接应用等差数列和等比数列的通项公式外，还有一种常用方法：对递推式化简变形，可构造出新数列为等差数列或等比数列，再由等差（比）数列的通项公式求出结论．这是一种转化与化归思想，必须掌握． 14、23 【解题分析】 如图 分别作于A,
于C,
于B,
于D,
连CQ,BD 则
,,
又
当且仅当
,
即点A 与点P 重合时取最小值. 故答案选C.
【题目点拨】 15、4 【解题分析】
把直线方程化为斜截式，可得它在y 轴上的截距． 【题目详解】
解：直线23120x y -+=，即2
43
y x =
+，故它在y 轴上的截距是4，
故答案为：4．
【题目点拨】
本题主要考查直线方程的几种形式，属于基础题．
16、 (-∞,1)
【解题分析】
由x +2y 12=（x +2y ）（21x y +）12
=（14x y y x ++），运用基本不等式可得x +2y 的最小值，由题意可得m ＜x +2y 的最小值．
【题目详解】
两个正实数x ，y 满足21x y
+=2， 则x +2y 12=（x +2y ）（21x y +）12
=（14x y y x ++）
12≥（1， 当且仅当x ＝2y ＝2时，上式取得等号，
x +2y ﹣m ＞0，即为m ＜x +2y ，
由题意可得m ＜1．
故答案为：（﹣∞，1）．
【题目点拨】
本题考查基本不等式的运用：“乘1法”求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）函数的解析式为2sin 26y x π⎛⎫=+
⎪⎝⎭，其振幅是2，初相是6π（2）12x π=-时，函数取得最大值0；3x π=-
时，函数取得最小值勤-2 【解题分析】
（1）根据图像写出A ，由周期求出ω，再由点,26π⎛⎫
⎪⎝⎭确定ϕ的值． （2）根据x 的取值范围确定26x π
+的取值范围，再由2sin y t = 的单调求出最值
【题目详解】
（1）由图象知，函数的最大值为2，最小值为-2，∴2A =， 又∵4612T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
，∴T π=，2ππω=，∴2ω=. ∴函数的解析式为()2sin 2y x ϕ=+. ∵函数的图象经过点,26π⎛⎫ ⎪⎝⎭
， ∴2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝
⎭， 又∵02π
ϕ<<，∴6
π=ϕ. 故函数的解析式为2sin 26y x π⎛
⎫
=+ ⎪⎝⎭，其振幅是2，初相是6
π. （2）∵,212x ππ⎡⎤∈-
-⎢⎥⎣⎦，∴52,066x ππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦. 于是，当206x π+
=，即12x π=-时，函数取得最大值0； 当262x π
π
+=-，即3x π=-时，函数取得最小值为-2.
【题目点拨】
本题考查由图像确定三角函数、给定区间求三角函数的最值，属于基础题．
18、（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解题分析】
（1）利用//AD BC 即可证明；
（2）由面面垂直的性质即可证明．
【题目详解】
证明：（1）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，
//AD BC ∴， 又AD ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ；
//AD ∴平面PBC ；
（2）侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD
平面ABCD AD =， AB AD ⊥，AB
平面ABCD ， AB ∴⊥平面PAD
【题目点拨】
本题考查了空间线面平行、垂直的证明，属于基础题.
19、（1）3
π；（2）4，6 【解题分析】
（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B 的值，即可确定出B 的度数；（2）根据平面向量数量积的运算法则计算得到一个等式cos 12ac B =，记作①，把B 的度数代入求出ac 的值,记作②,然后利用余弦定理表示出2b ，把,b ac 及cos B 的值代入求出22a c +的值，利用完全平方公式表示出()2a c +，把相应的值代入，开方求出a c +的值,由②③可知a 与c 为一个一元二次方程的两个解,求出方程的解,根据c 大于a ，可得出a ，c 的值.
【题目详解】
（1）已知等式()2cos cos 0c a B b C -+=，
利用正弦定理化简得
()sin 2sin cos sin cos 0C A B B C -+=， 整理得sin cos sin cos 2sin cos C B B C A B +=，
即()sin
sin 2sin cos B C A A B +==， 1sin 0,cos 2A B ≠∴= ， 则3B π
=
. （2）由12BA BC ⋅=，得cos 12ac B =， ①
又由（1）60,24B ac =∴= ，②
由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，
将b =2252a c +=，
()2
22252224100a c a c ac ∴+=++=+⨯=， 10a c ∴+=，③
由②③可知a 与c 为一个一元二次方程210240t t -+=的两个根，
解此方程，并由c 大于a ，可得4,6a c ==.
【题目点拨】
以三角形和平面向量为载体，三角恒等变换为手段，正弦定理、余弦定理为工具，对三角函数及解三角形进行考查是近几年高考考查的一类热点问题，一般难度不大，但综合
性较强.解答这类问题，两角和与差的正余弦公式、诱导公式以及二倍角公式，一定要熟练掌握并灵活应用，特别是二倍角公式的各种变化形式要熟记于心.
20、 (1) 男、女同学的人数分别为3人，1人；(2)
12；(3) 第二位同学的实验更稳定，理由见解析
【解题分析】
（1）设有x 名男同学，利用抽样比列方程即可得解
（2）列出基本事件总数为12，其中恰有一名女同学的有6种，利用古典概型概率公式计算即可
（3）计算出两位同学的实验数据的平均数和方差，问题得解
【题目详解】
（1）设有x 名男同学，则45604
x =，∴3x =，∴男、女同学的人数分别为3人，1人 （2）把3名男同学和1名女同学记为123,,,a a a b ，则选取两名同学的基本事件有12(,)a a ，13(,)a a ，1(,)a b ，21(,)a a ，23(,)a a ，2(,)a b ，31(,)a a ，32(,)a a ，3(,)a b ，1(,)b a ，2(,)b a ，3(,)b a 共12种，其中恰有一名女同学的有6种， ∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为61122
P =
= （3）16870717274715x ++++==，26970707274715x ++++== 22222
2
1
(6871)(7071)(7171)(7271)(7471)45s -+-+-+-+-==，22222
2
2
(6971)(7071)(7071)(7271)(7471) 3.25s -+-+-+-+-== 因22
12s s >，所以第二位同学的实验更稳定.
【题目点拨】
本题主要考查了分层抽样比例关系及古典概型概率计算公式，还考查了样本数据的平均数及方差计算，考查方差与稳定性的关系，属于中档题
21、（1）22(1)4x y -+=（2）当点N 为(5,0)时，直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，详见解析
【解题分析】
（1）设圆C 的方程为22
()4,(0)x a y a -+=>，由垂径定理求得弦长，
可求得a ，从而得圆的方程；
（2）假设存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则AN BN k k =-，同时设()()1122(,0),,,,N t A x y B x y ，直线方程代入圆方程后用韦达定理得1212,x x x x +，AN BN k k =-即为
12120y y x t x t
+=--，代入1212,x x x x +可求得t ，说明存在． 【题目详解】 （1）设圆C 的方程为：22()4,(0)x a y a -+=>
圆心(,0)a
0y -=
的距离2d =
=
根据垂径定理得22222r d =+=⎝⎭
， 2313444
a ∴+=，解得1a =±， 0,1a a >∴=，故圆C 的方程为22(1)4x y -+=
（2）假设存在定点N ，使得直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，
那么AN BN k k =-，
设()()1122(,0),,,,N t A x y B x y
联立22(1)4(2)
x y y k x ⎧-+=⎨=-⎩得：
()()()2222142430k x k x k +-++-=
2122212242143
1k x x k k x x k ⎧++=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩
由12120,AN BN y y k k x t x t
=-∴+=-- ()()1212220k x k x x t x t
--∴+=-- ()12122(2)40x x t x x t ∴-+++=
()
()222224342(2)4011k k t t k k -++∴-+=++
()()()22224342(2)410k k t t k ∴--+++-=.
2100t ∴-=
5t ∴=
故存在，当点N 为(5,0)时，直线AN 与直线BN 关于x 轴对称.
【题目点拨】
本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系．在解决存在性命题时，一般都是假设存在，然后根据已知去推理求解．象本题定点问题，就是假设存在定点(,0)N t ，用设而不求法推理求解，解出t 值，如不能解出t 值，说明不存在．。