〖汇总3套试卷〗长沙市某实验中学2021年九年级上学期期末监测数学试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x ，则可列方程为（ ）
A ．80（1+x ）2=100
B ．100（1﹣x ）2=80
C ．80（1+2x ）=100
D ．80（1+x 2）=100
【答案】A
【解析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x ，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x ，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x ）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x ）（1+x ）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x ）2=100，
故选A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
2．若将抛物线y=x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（ ） A ．()223y x =++ B ．()223y x =-+ C ．()223y x =+- D ．()223y x =--
【答案】B 【解析】试题分析：∵函数y=x 2的图象的顶点坐标为()0,?
0，将函数y=x 2的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，
∴其顶点也向右平移2个单位，再向上平移3个单位.
根据根据坐标的平移变化的规律，左右平移只改变点的横坐标，左减右加．上下平移只改变点的纵坐标，下减上加.
∴平移后，新图象的顶点坐标是()()02,?
032,?3++⇒. ∴所得抛物线的表达式为()2
23y x =-+. 故选B.
考点：二次函数图象与平移变换．
3．如图，在正方形ABCD 中，AB=4，AC 与BD 相交于点O ，N 是AO 的中点，点M 在BC 边上，P 是OD 的中点，过点P 作PM ⊥BC 于点M ，交OC 于点N′，则PN-MN′的值为（ ）
A．1B．2C．2D．22 3
【答案】A
【分析】根据正方形的性质可得点O为AC的中点，根据三角形中位线的性质可求出PN的长，由PM⊥BC 可得PM//CD，根据点P为OD中点可得点N′为OC中点，即可得出AC=4CN′，根据MN′//AB可得△CMN′∽△CBA，根据相似三角形的性质可求出MN′的长，进而可求出PN-MN′的长.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，AB=4，
∴OA=OC，AD=AB=4，
∵N是AO的中点，P是OD的中点，
∴PN是△AOD的中位线，
∴PN=1
2
AD=2，
∵PM⊥BC，
∴PM//CD//AB，
∴点N′为OC的中点，∴AC=4CN′，
∵PM//AB，
∴△CMN′∽△CBA，
∴
''
MN CN
AB AC
=
1
4
=，
∴MN′=1，
∴PN-MN′=2-1=1，
故选：A.
【点睛】
本题考查正方形的性质、三角形中位线的性质及相似三角形的判定与性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；熟练掌握三角形中位线的性质及相似三角形的判定定理是解题关键.
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故答案为A．
【点睛】
本题考查了中心对称图形和轴对称图形的概念,理解这两个概念是解答本题的关键.
5．把同一副扑克牌中的红桃2、红桃3、红桃4三张牌背面朝上放在桌子上，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为（）
A．4
9
B．
1
3
C．
1
2
D．
2
3
【答案】D
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：根据题意画树状图如下：
∵共有6种等可能的结果，从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的有4种情况，
∴从中随机抽取两张，牌面的数字之和为奇数的概率为：42
63
=；故选：D．
【点睛】
本题考查了用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
6．如图，线段OA=2，且OA与x轴的夹角为45°，将点A 绕坐标原点O 逆时针旋转105°后得到点A'，则A'的坐标为（）
A ．(13)-，
B ．(13)-，
C ．(31)-，
D ．(3)1-，
【答案】C 【分析】如图所示，过A '作A B '⊥y 轴于点B ，作A C '⊥x 轴于点C ，根据旋转的性质得出2OA OA '==，105AOA '∠=︒，从而得出1054560A OB '∠=︒-︒=︒，利用锐角三角函数解出CO 与OB 即可解答．
【详解】解：如图所示，过A '作A B '⊥y 轴于点B ，作A C '⊥x 轴于点C ，
由旋转可知，2OA OA '==，105AOA '∠=︒，
∵AO 与x 轴的夹角为45°，
∴∠AOB=45°，
∴1054560A OB '∠=︒-︒=︒，
∴3sin 6023CO A B A O ''==︒=⨯=， 1cos60212
OB A O '=︒=⨯=， ∴(3,1)A '-，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了旋转的性质以及解直角三角形，解题的关键是得出60A OB '∠=︒，并熟悉锐角三角函数的定义及应用．
7．二次函数2y ax bx c =++的图象如右图所示，那么一次函数y bx a =-的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】可先根据二次函数的图象判断a 、b 的符号，再判断一次函数图象与实际是否相符，判断正误．
【详解】解：由二次函数图象，得出a ＞0，02b a
->，b ＜0， A 、由一次函数图象，得a ＜0，b ＞0，故A 错误； B 、由一次函数图象，得a ＞0，b ＞0，故B 错误；
C 、由一次函数图象，得a ＜0，b ＜0，故C 错误；
D 、由一次函数图象，得a ＞0，b ＜0，故D 正确．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象，应该熟记一次函数y=kx+b 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等.
8．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=，30B ∠=，AD 平分BAC ∠，E 是AD 的中点，若8AB =，则CE 的长为（ ）
A ．4
B 43
C 3
D 23 【答案】B 【分析】首先证明AD BD =，然后再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即12C
E AD =
. 【详解】解：90,30,ACB B ∠=︒∠=︒
60.CAB ∴∠=︒
AD CAB ∠又平分
30CAD DAB ∴∠=∠=︒
DAB B ∴∠=∠
.AD BD ∴=
1.2
Rt ACD CD AD =
在中， 设,AD BD x == 则12
CD x =
, 142AC AB == 在Rt ACD 中，
222AC CD AD += 即222142x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
解得x = E 为AD 中点， 1
2CE AD ∴=
= 故选B
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，含30度角的直角三角形.
9．口袋中有14个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，多次实验后发现摸到白球的频率稳定在0.3，则白球的个数是( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8 【答案】B
【分析】设白球的个数为x ，利用概率公式即可求得.
【详解】设白球的个数为x ，
由题意得，从14个红球和x 个白球中，随机摸出一个球是白球的概率为0.3， 则利用概率公式得：
0.314x x =+， 解得：6x =，
经检验，x=6是原方程的根，
故选：B.
【点睛】
本题考查了等可能下概率的计算，理解题意利用概率公式列出等式是解题关键.
10．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天累计票房收入达10亿元，若设增长率为x ，则可列方程为（ ）
A ．()23110x +=
B ．()()2
31110x x ++++=
C ．()233110x ++=
D ．()()2
3313110x x ++++= 【答案】D 【分析】根据题意可得出第二天的票房为()31x +，第三天的票房为()2
31x +，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．
【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为()31x +，第三天的票房为()231x +，因此，()()23313110x x ++++=．
故选：D ．
【点睛】
本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 11．某细胞的直径约为0.0000008米，该直径用科学记数法表示为（ ）
A ．7810⨯米
B ．7810-⨯米
C ．6810-⨯米
D ．78010-⨯米 【答案】B
【分析】根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯且()
110a ≤≤，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】解：根据科学计数法得： 70.0000008=810-⨯．
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查科学计数法，熟记科学计数法的一般形式是10n a -⨯且()
110a ≤≤是关键，注意负指数幂的书写规则是由原数左边第一个不为零的数字开始数起．
12．如图：已知AD ∥BE ∥CF ，且AB ＝4，BC ＝5，EF ＝4，则DE ＝（ ）
A ．5
B ．3
C ．3.2
D ．4
【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算即可．
【详解】解：∵AD ∥BE ∥CF ， ∴AB DE BC EF =，即454DE ， 解得，DE ＝3.2，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线分线段成比例，正确列出比例式是解题的关键．三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
二、填空题（本题包括8个小题）
13．有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线2x =；乙说：与x 轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x 轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的顶点式是______.
【答案】()21233y x =--，()21233
y x =--+ 【分析】根据对称轴是直线x=2，与x 轴的两个交点距离为6，可求出与x 轴的两个交点的坐标为（-1，0），（5，0）；再根据顶点与x 轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±1，然后利用顶点式求得抛物线的解析式即可．
【详解】解：∵对称轴是直线x=2，与x 轴的两个交点距离为6，
∴抛物线与x 轴的两个交点的坐标为（-1，0），（5，0），
设顶点坐标为（2，y ），
∵顶点与x 轴的交点围成的三角形面积等于9， ∴1692
y ⨯⨯=， ∴y=1或y=-1，
∴顶点坐标为（2，1）或（2，-1），
设函数解析式为y=a （x-2）2+1或y=a （x-2）2-1；
把点（5，0）代入y=a （x-2）2+1得a=-
13
； 把点（5，0）代入y=a （x-2）2-1得a=13； ∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为y=-
13（x-2）2+1或y=13（x-2）2-1． 故答案为：()21233y x =
--，()21233
y x =--+. 【点睛】
此题考查了二次函数的图像与性质，待定系数法求函数解析式．解题的关键是理解题意，采用待定系数法求解析式，若给了顶点，注意采用顶点式简单．
14．如图，四边形ABCD 的项点都在坐标轴上，若//,AB CD AOB 与COD △面积分别为8和18，若双曲线k y x
=恰好经过BC 的中点E ，则k 的值为__________．
【答案】6
【分析】根据AB//CD ，得出△AOB 与△OCD 相似，利用△AOB 与△OCD 的面积分别为8和18，得：AO ：OC=BO ：OD=2：3，然后再利用同高三角形求得S △COB =12，设B 、 C 的坐标分别为（a ，0）、（0，b ），E 点坐标为（12a ，12
b ）进行解答即可. 【详解】解：∵AB//CD ，
∴△AOB ∽△OCD ，
又∵△ABD 与△ACD 的面积分别为8和18，
∴△ABD 与△ACD 的面积比为4：9，
∴AO ：OC=BO ：OD=2：3
∵S △AOB =8
∴S △COB =12
设B 、 C 的坐标分别为（a ，0）、（0，b ），E 点坐标为（
12a ，12
b ） 则OB=| a | 、OC=| b | ∴
12
|a|×|b|=12即|a|×|b|=24 ∴|12a|×|12b|=6 又∵k y x
=，点E 在第三象限 ∴k=xy=12a ×12
b=6 故答案为6.
【点睛】
本题考查了反比例函数综合题应用，根据已知求出S △COB =12是解答本题的关键.
15．如图，A ，B ，C 是⊙O 上三点，∠AOC=∠B ，则∠B=_______度．
【答案】1
【分析】连结OB，可知△OAB和△OBC都是等腰三角形，∠ABC=∠A+∠C=∠AOC，四边形内角和360゜，可求∠B．
【详解】如图，连结OB，
∵OA=OB=OC，
∴△OAB和△OBC都是等腰三角形，
∴∠A=∠OBA，∠C=∠OBC，
∴∠ABC=∠OBA+∠OBC=∠A+∠C，
∴∠A+∠C=∠ABC=∠AOC
∵∠A+ ∠ABC+∠C+∠AOC=360゜
∴3∠ABC=360゜
∴∠ABC=1゜
即∠B=1゜．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查圆周角度数问题，要抓住半径相等构造两个等腰三角形，把问题转化为解∠B的方程是关键．16．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2019的坐标为_______．
【答案】 (-1010,10102)
【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可
求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2019的坐标．
【详解】∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y=x，A1（-1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y=x+2，
解
22
y x y x +
⎧⎨⎩＝
＝
得
1
1
x
y
-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
或
2
4
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴A2（2，4），
∴A3（-2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y=x+6，
解
26
y x y x +
⎧⎨⎩＝
＝
得
2
4
x
y
-
⎧
⎨
⎩
＝
＝
或
3
9
x
y
⎧
⎨
⎩
＝
＝
，
∴A4（3，9），
∴A5（-3，9）
…，
∴A2019（-1010，10102），
故答案为（-1010，10102）．
【点睛】
此题考查二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键．
17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象
限作正方形，点D恰好在双曲线上
k
y
x
=，则k值为_____．
【答案】1
【解析】作DH⊥x轴于H，如图，
当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，则A （1，0），
当x=0时，y=-3x+3=3，则B （0，3），
∵四边形ABCD 为正方形，
∴AB=AD ，∠BAD=90°，
∴∠BAO+∠DAH=90°，
而∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠ABO=∠DAH ，
在△ABO 和△DAH 中
AOB DHA ABO DAH AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩
＝＝＝ ∴△ABO ≌△DAH ，
∴AH=OB=3，DH=OA=1，
∴D 点坐标为（1，1），
∵顶点D 恰好落在双曲线y=
k x
上， ∴a=1×1=1．
故答案是：1.
18．已知线段AB ，点P 是它的黄金分割点，AP PB >，设以AP 为边的正方形的面积为1S ，以PB AB ，为邻边的矩形的面积为2S ，则1S 与2S 的关系是__________．
【答案】12S S 【分析】根据黄金分割比得出AP ，PB 的长度，计算出1S 与2S 即可比较大小．
【详解】解：∵点P 是AB 的黄金分割点，AP PB >， ∴51AP AB -=AB=2， 则51AP =
，251)35BP =-=∴21(51)625S ==-22(35)625S ==-
∴12S S
故答案为：1
2S S ． 【点睛】
本题考查了黄金分割比的应用，熟知黄金分割比是解题的关键．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．解方程：x 2+2x ﹣1=1． 【答案】1212,12x x =-+=--．
【分析】根据公式法解一元二次方程，即可得出结论.
【详解】解：1a =，2b =，1c =-，
244480b ac ==+=>﹣，
方程有两个不相等的实数根，
242221222
b b a
c x a -±--±===-±， 即121212x x =-+=--，，
故答案为121212x x =-+=--，.
【点睛】
本题考查了公式法解一元二次方程2
0(ax bx c a b c ++=，，是常数且0)a ≠.解题的关键是根据系数的特点选用适合的解题方法，选用公式法解题时，判别式24b ac =-，
(1)当0>时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
(2)当0=时，一元二次方程有两个相等的实数根；
(3)当0<时，一元二次方程没有实数根.
20．小晗家客厅装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开．因刚搬进新房不久，不熟悉情况．
(1)若小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是多少？
(2)若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明．
【答案】（1）13；（2）13
.
【解析】试题分析：(1)、3个等只有一个控制楼梯，则概率就是1÷3；(2)、根据题意画出树状图，然后根据概率的计算法则得出概率.
试题解析：(1)、小晗任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：1 3
(2)、画树状图得：
结果：（A，B）、（A，C）、（B，A）、（B，C）、（C，A）、（C，B）
∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，
∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是2
6=
1 3
.
考点：概率的计算.
21．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA ＜OB）．且OA、OB的长分别是一元二次方程x2﹣14x+48＝0的两个根，线段AB的垂直平分线CD交AB 于点C，交x轴于点D，点P是直线AB上一个动点，点Q是直线CD上一个动点．
（1）求线段AB的长度：
（2）过动点P作PF⊥OA于F，PE⊥OB于E，点P在移动过程中，线段EF的长度也在改变，请求出线段EF的最小值：
（3）在坐标平面内是否存在一点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长
为1
2
AB长？若存在，请直接写出点M的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）1；（2）24
5
；（3）存在，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），
M4（1，3）．
【分析】（1）利用因式分解法解方程x2﹣14x+48＝0，求出x的值，可得到A、B两点的坐标，在Rt△AOB 中利用勾股定理求出AB即可．
（2）证明四边形PEOF是矩形，推出EF＝OP，根据垂线段最短解决问题即可．
（3）分两种情况进行讨论：①当点P与点B重合时，先求出BM的解析式为y＝3
4
x+8，设M（x，
3
4
x+8），
再根据BM＝5列出方程（3
4
x+8﹣8）2+x2＝52，解方程即可求出M的坐标；②当点P与点A重合时，先
求出AM的解析式为y＝3
4
x﹣
9
2
，设M（x，
3
4
x﹣
9
2
），再根据AM＝5列出方程（
3
4
x﹣
9
2
）2+（x﹣6）
2＝52，解方程即可求出M的坐标．
【详解】解：（1）解方程x2﹣14x+48＝0，
得x1＝6，x2＝8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；
在Rt△AOB中，∵∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，∴AB＝22
OA OB
+＝22
68
+＝1．
（2）如图，连接OP．
∵PE⊥OB，PF⊥OA，
∴∠PEO＝∠EOF＝∠PFO＝90°，
∴四边形PEOF是矩形，
∴EF＝OP，
根据垂线段最短可知当OP⊥AB时，OP的值最小，此时OP＝OB OA
AB
⋅
＝
24
5
，
∴EF的最小值为24
5
．
（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为1
2 AB
长．
∵AC＝BC＝1
2
AB＝5，
∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点P与点B或点A重合．分两种情况：
①当点P与点B重合时，易求BM的解析式为y＝3
4
x+8，设M（x，
3
4
x+8），
∵B（0，8），BM＝5，
∴（3
4
x+8﹣8）2+x2＝52，
化简整理，得x2＝16，
解得x＝±4，
∴M1（4，11），M2（﹣4，5）；
②当点P与点A重合时，易求AM的解析式为y＝3
4
x﹣
9
2
，设M（x，
3
4
x﹣
9
2
），
∵A（6，0），AM＝5，
∴（3
4
x﹣
9
2
）2+（x﹣6）2＝52，
化简整理，得x2﹣12x+20＝0，
解得x1＝2，x2＝1，
∴M3（2，﹣3），M4（1，3）；
综上所述，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（﹣4，5），M3（2，﹣3），M4（1，3）．
【点睛】
本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的解法，正方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
22．如图，反比例函数y＝k
x
（x＞0）和一次函数y＝mx+n的图象过格点（网格线的交点）B、P．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是：
．
（3）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件：
①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点O，点P；
②矩形的面积等于k的值．
【答案】（1）y＝4
x
，y＝﹣
1
2
x+3；（2）2＜x＜1；（3）见解析
【分析】（1）利用待定系数法即可求出反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象即可求得；
（3）根据矩形满足的两个条件画出符合要求的两个矩形即可．
【详解】（1）∵反比例函数y＝k
x
（x＞0）的图象过格点P（2，2），
∴k＝2×2＝1，
∴反比例函数的解析式为y＝4
x
，
∵一次函数y＝mx+n的图象过格点P（2，2），B（1，1），
∴
22
41
m n
m n
+=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得
1
2
3
m
n
⎧
=-
⎪
⎨
⎪=
⎩
，
∴一次函数的解析式为y＝﹣1
2
x+3；
（2）一次函数值大于反比例函数值时x的取值范围是2＜x＜1，
故答案为2＜x＜1．
（3）如图所示：
矩形OAPE、矩形ODFP即为所求作的图形．
【点睛】
此题是一道综合题，考查待定系数法求函数解析式、矩形的性质，（3）中画矩形时把握矩形特点即可正确解答.
23．如图，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，点M是边AD上一点（与点A，D不重合），射线ME与BC的延长线交于点N．
（1）求证：△MDE≌△NCE；
（2）过点E作EF//CB交BM于点F，当MB＝MN时，求证：AM＝EF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【分析】（1）由平行线的性质得出∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，可证明△MDE≌△NCE（AAS）；
（2）过点M作MG⊥BN于点G，由等腰三角形的性质得出BG＝BN＝1
2
BN，由中位线定理得出EF＝
1
2
BN，
则可得出结论．
【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，
∴∠DME＝∠CNE，∠MDE＝∠ECN，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△MDE≌△NCE（AAS）；
（2）证明：过点M作MG⊥BN于点G，
∵BM＝MN，
∴BG＝BN＝1
2 BN，
∵矩形ABCD中，∠A＝∠ABG＝90°，又∵MG⊥BN，
∴∠BGM＝90°，
∴四边形ABGM为矩形，
∴AM＝BG＝1
2 BN，
∵EF//BN，E为DC的中点，∴F为BM的中点，
∴EF＝1
2 BN，
∴AM＝EF．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，中位线定理，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩
形的性质是解题的关键．
24．如图，点A 是我市某小学，在位于学校南偏西15°方向距离120米的C 点处有一消防车.某一时刻消防车突然接到报警电话，告知在位于C 点北偏东75°方向的F 点处突发火灾，消防队必须立即沿路线CF 赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为110米，问消防车的警报声对学校是否会造成影响？若会造成影响，已知消防车行驶的速度为每小时60千米，则对学校的影响时间为几秒？（13≈3.6，结果精确到1秒）
【答案】4秒
【分析】作AB ⊥CF 于B ，根据方向角、勾股定理求出AB 的长，根据题意比较得到消防车的警报声对听力测试是否会造成影响；求出造成影响的距离，根据速度计算即可．
【详解】解：作AB ⊥CF 于B ，由题意得：
∠ACB=60°，AC=120米，则∠CAB=30°
∴1602
BC AC ==米， ∴cos30603AB AC ==
∵603110，
∴消防车的警报声对学校会造成影响， 造成影响的路程为222110(603)201372-=≈米，
∵600007243600
÷≈秒， ∴对学校的影响时间为4秒．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．
25．组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，则比赛组织者应邀请多少个队参赛？
【答案】比赛组织者应邀请8个队参赛.
【解析】本题可设比赛组织者应邀请x 队参赛，则每个队参加（x-1）场比赛，则共有
(1)2x x -场比赛，可以列出一个一元二次方程，求解，舍去小于0的值，即可得所求的结果．
解：设比赛组织者应邀请x 个队参赛.依题意列方程得： ()11282
x x -=， 解之，得18x =，27x =-.
7x =-不合题意舍去，8x =.
答：比赛组织者应邀请8个队参赛.
“点睛”本题是一元二次方程的求法，虽然不难求出x 的值，但要注意舍去不合题意的解．
26．有一水果店，从批发市场按4元/千克的价格购进10吨苹果，为了保鲜放在冷藏室里，但每天仍有一些苹果变质，平均每天有50千克变质丢弃，且每存放一天需要各种费用300元，据预测，每天每千克价格上涨0.1元．
（1）设x 天后每千克苹果的价格为p 元，写出p 与x 的函数关系式；
（2）若存放x 天后将苹果一次性售出，设销售总金额为y 元，求出y 与x 的函数关系式；
（3）该水果店将这批水果存放多少天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为多少？
【答案】()1?0.14p x =+；()2
2580040000y x x =-++；(3)该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
【分析】（1）根据按每千克4元的市场价收购了这种苹果10000千克，此后每天每千克苹果价格会上涨0.1元，进而得出x 天后每千克苹果的价格为p 元与x 的函数关系；
（2）根据每千克售价乘以销量等于销售总金额，求出即可；
（3）利用总售价-成本-费用=利润，进而求出即可.
【详解】()1根据题意知，0.14p x =+；
()()()220.141000050580040000y x x x x =+-=-++．
()3300410000w y x =--⨯
25500x x =-+
25(50)12500x =--+
∴当50x =时，最大利润12500元，
答：该水果店将这批水果存放50天后一次性售出，可以获得最大利润，最大利润为12500元．
【点睛】
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出w 与x 的函数关系是解题关键.
27．如图，AD 是ABC ∆的角平分线，过点D 分别作AC 、AB 的平行线，交AB 于点E ，交AC 于点F .
（1）求证：四边形AEDF 是菱形.
（2）若13AF =，24AD =.求四边形AEDF 的面积.
【答案】（1）详见解析；（2）120.
【分析】（1）先利用两组对边分别平行证明四边形AEDF 是平行四边形，然后利用角平分线和平行线的性质证明一组邻边相等，即可证明四边形AEDF 是菱形.
（2）连接EF 交AD 于点O ，利用菱形的性质及勾股定理求出OE,OF 的长度，则菱形的面积可求.
【详解】（1）证明：//AB DF ，//AC DE
∴四边形AEDF 是平行四边形 AD 是ABC ∆的角平分线
BAD DAC ∴∠=∠
又//AC DE
ADE DAC ∴∠=∠
ADE BAD ∴∠=∠
EA ED ∴=
∴四边形AEDF 是菱形
（2）连接EF 交AD 于点O
四边形AEDF 是菱形
2EF FO ∴=，1122
AO AD ==，AD EF ⊥ 在Rt AOF ∆中，由勾股定理得
5OF ===
5OE OF ∴==
11112452451202222
AEDF S AD OF AD OE ∴=
⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=四边形 【点睛】
本题主要考查菱形的判定及性质，掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键.
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．已知二次函数221y ax ax =--(a 是常数)，下列结论正确的是（ ）
A ．当1a =-时，函数图象经过点()1,1-
B ．当1a =-时，函数图象与x 轴没有交点
C ．当2a <时，函数图象的顶点始终在x 轴下方
D ．当0a >时，则1x ≥时，y 随x 的增大而增大．
【答案】D
【分析】将1a =-和点()1,1-代入函数解析式即可判断A 选项；利用24b ac =-⊿可以判断B 选项；根据顶点公式可判断C 选项；根据抛物线的增减性质可判断D 选项．
【详解】A. 将1a =-和1x =-代入2
21y ax ax =--41=-≠，故A 选项错误；
B. 当1a =-时，二次函数为221y x x =-+-， ()()22424110b ac =-=-⨯-⨯-=⊿，函数图象与x 轴有一个交点，故B 选项错误；
C. 函数图象的顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭
，，即()11a --，， 当2a <时，1a --不一定小于0，则顶点不一定在x 轴下方，故C 选项错误；
D. 当0a >时，抛物线开口向上，由C 选项得，函数图象的对称轴为1x =，
所以1x ≥时，y 随x 的增大而增大，故D 选项正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、根的判别式以及抛物线与x 轴的交点，掌握抛物线的对称轴、开口方向与系数a b c 、、之间的关系是解题的关键．
2．菱形具有而矩形不具有的性质是（ ）
A ．对角相等
B ．四个角相等
C ．对角线相等
D ．四条边相等
【答案】D
【分析】菱形和矩形都是平行四边形，具有平行四边形的所有性质，菱形还具有独特的性质：四边相等，对角线垂直；矩形具有独特的性质：对角线相等，邻边互相垂直．
【详解】解答： 解：A 、对角相等，菱形和矩形都具有的性质，故A 错误；
B 、四角相等，矩形的性质，菱形不具有的性质，故B 错误；
C 、对角线相等是矩形具有而菱形不具有的性质，故C 错误；
D 、四边相等，菱形的性质，矩形不具有的性质，故D 正确；
故选D ．
考点： 菱形的性质；矩形的性质．
3．如果2是方程x 2-3x+k=0的一个根，则常数k 的值为（ ）
A ．2
B ．1
C ．-1
D ．-2 【答案】A
【分析】把x=1代入已知方程列出关于k 的新方程，通过解方程来求k 的值．
【详解】解：∵1是一元二次方程x 1-3x+k=0的一个根，
∴11-3×1+k=0，
解得，k=1．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
4．如图，矩形OABC 的OA 边在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为()4,2，反比例函数k y x
=
的图象经过矩形对角线的交点P ，则k 的值是（ ）
A ．8
B ．4
C ．2
D ．1
【答案】C 【分析】根据矩形的性质求出点P 的坐标，将点P 的坐标代入k y x
=中，求出k 的值即可． 【详解】∵点P 是矩形OABC 的对角线的交点，点B 的坐标为4,2 ∴点P ()2,1 将点P ()2,1代入k y x
=中 12
k = 解得2k =
故答案为：C ．
【点睛】
本题考查了矩形的性质以及反比例函数的性质，掌握代入求值法求出k 的值是解题的关键．
5．若点()2,6--在反比例函数k y x =
上，则k 的值是（ ） A ．3
B ．3-
C ．12
D ．12- 【答案】C
【分析】将点（-2，-6）代入k y x
=，即可计算出k 的值． 【详解】∵点(-2，-6)在反比例函数k y x =
上， ∴k=(-2)×(-6)=12，
故选：C.
【点睛】
本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，明确函数图象上点的坐标符合函数解析式是解题关键． 6．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”．将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为（ ）
A ．16
B ．13
C ．12
D ．23
【答案】A
【分析】直接利用概率公式计算可得．
【详解】解：从中任意抽取1张，是“红桃”的概率为
16
， 故选A ．
【点睛】
本题主要考查概率公式，随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 7．二次函数图象上部分点的坐标对应值列表如下：
则该函数图象的对称轴是（ ）
A ．直线x ＝﹣3
B ．直线x ＝﹣2
C ．直线x ＝﹣1
D ．直线x ＝0
【答案】B
【分析】根据二次函数的对称性确定出二次函数的对称轴，然后解答即可．
【详解】解：∵x=﹣3和﹣1时的函数值都是﹣3相等，∴二次函数的对称轴为直线x=﹣1．
故选B ．
【点睛】。