19版高中数学全程学习方略选修2-1人B3.2.3 直线与平面的夹角

所以 BuuDur=(1,-1,0), =Duu(Au0ur1 ,1,1),
uuur OP

(
1
,

1
,
m),
22
m∈[0,1].
设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),
uuur
ngBuuDuur 0，得 ngDA1 0，
x y

y z

0， 0，
解得一个法向量n=(1,1,-1),
(2)因为PF⊥BF,BF∥ED,所以PF⊥ED, 又PF⊥PD,ED∩DP=D,所以PF⊥平面PED, 所以PF⊥PE, 设AB=4,则EF=4,PF=2,所以PE=32 , 过P作PH⊥EF交EF于H点,
由平面PEF⊥平面ABFD, 所以PH⊥平面ABFD,连接DH,
则∠PDH即为直线DP与平面ABFD所成的角, 由PE·PF=EF·PH,所以PH2=3 2 3，
提示:要证AB∥FG要先证AB∥平面PDE,再用线面平行的
性质证明AB∥FG.以点A为原点,
uuur uuur uuur AM，AE，AP
的方向分别
为x轴,y轴,z轴的正方向建系.求线面角时先求直线BC
的方向向量和平面ABF的法向量,再依据公式求解.依据
AF⊥PE,F为PE的中点求AP的长,得点P,F的坐标.依据
(0其, ]，
2
(2)×.直线与平面所成角的范围是 [0, ].
2
(3)×.直线与平面所成的角的余角等于直线的方向向
量与平面的法向量所成的角或其补角.
2.已知平面α内的角∠APB=60°,射线PC与PA,PB所成 的角均为45°,则PC与平面α所成角的余弦值是
()
A. 6 3
C. 3 3
2. 3
所以直线DE与平面AB1C1所成角的正弦值为32 .
2.如图,在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°, AC⊥BD,BC=1,AD=AA1=3.
(1)证明:AC⊥B1D. (2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.
【解析】(1)易知,AB,AD,AA1两两垂直.如图,以A为坐 标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空 间直角坐标系.
uuur
所以sin α=|cos<n,
Ouu>Pur |=
｜ngOuPu|ur ｜n｜｜OP|

1 m 3 1 m2
2(1 m)2 3(1 2m2 )
[
6 ，1]. 3
2
2.(1)在正方形中,因为B是AM的中点, 所以AB∥DE. 又因为AB⊄平面PDE,所以AB∥平面PDE, 因为AB⊂平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,所以 AB∥FG.
(1)当l∥α或l⊂α时,<s,n>= ，
2
所以θ=0.
(2)当l⊥α时,显然<s,n>=0或π, 所以θ= .
2
(3)当l与α斜交时,有如下情形: ①当s,n与l,α的关系如图所示时,
θ= -<s,n>,所以sinθ=cos<s,n>.
2
②当s,n与l,α的关系如图所示时,
θ=<s,n>- ，所以sinθ=-cos<s,n>.

1 2
uuuur AA1

uuuur AA1

1 2
uuuur AB1

uuuur AC1.
(2)如图所示,建立空间直角坐标系,
则点B1(1,0,1),C1(0,1,1),
D( 1 ,0,1), E(0,1, 1).
2
2
设n=(x,y,z)为平面AB1C1的法向量,
uuuur
则 ngAuuBuur1 0,
(2)因为PA⊥底面ABCDE,所以PA⊥AB,PA⊥AE. 因为AF⊥PE,F为棱PE的中点, 所以AP=AE=2, 如图建立空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),
P(0,0,2),F(0,1,1), =BuuC(ur1,1,0). 设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则
(1)证明:平面PEF⊥平面ABFD. (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
【解题探究】作投影时,需要判断线面垂直,则判断线 面垂直的常用方法有哪些? 提示:(1)线面垂直的判定定理. (2)面面垂直的性质定理.
【解析】(1)由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF,PF∩EF=F, 所以BF⊥平面PEF. 又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⊥平面ABFD.
3.2.3 直线与平面的夹角
【自我预习】 1.直线与平面所成的角
2.最小角定理
(1)线线角、线面角的关系式: 如图,AB⊥α,则图中θ,θ1,θ2之间的关系是_c_o_s__θ__ _=_c_o_s__θ__1·__c_o_s__θ__2_.
(2)最小角定理: 斜线和它在平面内的_射__影__所成的角,是斜线和这个平面 内所有直线所成角中_最__小__的__角__.
6
设点H的坐标为(u,v,w).因为点H在棱PC上,所以可设
uuur PH
=λ PuuC(r0<λ<1),即(u,v,w-2)=λ(2,1,-2).所以u=2λ,
v=λ,w=2-2λ.
因为n是平面ABF的法向量,所以n·AuuHur=0,
即(0,-1,1)·(2λ,λ,2-2λ)=0.
解得λ= 2 所, 以点H的坐标为
设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),
B1(t,0,3),C(t,1,0),C1(t,1,3),D(0,3,0),D1(0,3,3). 从而 Buu1uDu=r (-t,3,-3), =Au(utCur,1,0), =(-tB,u3uDur,0). 因为AC⊥BD,所以AuuCur gBuuDu=r -t2+3+0=0.
uuuur B1C1
(0,1,0).设n=(x,y,z)是平面ACD1的一个法向量,
uuur 则ngAC 0, 即 3x y 0,
ngAD1 0, 3y 3z 0.
令x=1,则n=(1,- 3, )3.
设直线B1C1与平面ACD1所成角为θ,则sin θ=
uuuur
【解题探究】1.典例1中角α与角<n,
uuur OP
>有什么关系
(其中n是平面A1BD的法向量)?
提示:sin
α=|cos<n,
uuur OP
>|.
2.典例2(1)中要证AB∥FG需先证什么?(2)中如何建立 空间直角坐标系?求直线BC与平面ABF所成角的步骤是 什么?如何确定点P,F,H的坐标?
D.[ 2 2 ,1] 3
2.如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点, 在五棱锥P-ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱 PD,PC分别交于点G,H.
(1)求证:AB∥FG. (2)若PA⊥底面ABCDE,且AF⊥PE,求直线BC与平面ABF所 成角的大小,并求线段PH的长.
2
综上,sinθ=|cos<s,n>|.
【自我检测】 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)两条异面直线所成的角的余弦值一定是非负值.
() (2)直线与平面所成角的范围是（0, ]. ( )
2
(3)直线与平面所成的角就是直线的方向向量与平面的 法向量所成的角. ( )
提示:(1)√.两条异面直线所成的角的范围是 余弦值非负.
4
因为PD=4,所以sin∠PDHP=H 3，
PD 4
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为3 .
4
【方法技巧】 1.定义法求直线与平面夹角的基本思路 (1)用定义法求直线与平面夹角的关键是:寻找直线与 平面的夹角,即准确确定直线在平面内的投影.
(2)思路:①若直线与平面平行或直线在平面内,则直线 与平面的夹角为0; ②若直线与平面垂直,则直线与平面的夹角为 ；
解得t= 3或t=- (舍3 去).
于是 Buu1uDu=r (- 33,,-3), =(AuuCur 1,0). 3,
因为 AuuCur gBuu=1uDur-3+3+0=0,所以
uuur uuuur AC B1D，
即AC⊥B1D.
(2)由(1)知, AuuD=uur1(0,3,3), =(AuuCur 1,0),3, =
2
③若直线与平面相交但不垂直,设直线与平面的交点为 O,在直线上任取异于O点的另一点P,过P作平面的垂线 PA,A为垂足,则OA即为直线在平面内的投影,∠AOP即为 直线与平面的夹角,然后通过解三角形求出直线与平面 夹角的大小.
3
( 4 , 2 , 2). 333
所以PH= ( 4 )2 ( 2 )2 =(24.)2
33
3
【方法技巧】
利用向量法求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量
uuur AB
.
(3)求平面的法向量n.
uuur
(4)计算:设线面角为θ,则sin θ= | n·AuuBur| .
2
答案: 2
2
类型一 用向量法解决直线与平面所成的角问题 【典例】1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点O为线段 BD的中点.设点P在线段CC1上,直线OP与平面A1BD所成 的角为α,则sin α的取值范围是 ( )
A.[ 3 ,1] 3
C.[ 6 , 2 2 ] 33
B.[ 6 ,1] 3
值.
【解析】(1)
uuur uuuur uuuur uuur DE DA1 A1C1 C1E

1 2
uuuur B1A1

uuuur (AC1

uuuur AA1 )

1 2
uuuur AA1

1 2
uuuur (AA1

uuuur AB1 )

uuuur (AC1

uuuur AA1 )
uuur PH
与
uur PC
共线和
uuur AH
与平面ABF的法向量垂直求点H的坐标.
【解析】1.选B.设棱长为1,分别以 CuuDur，CuuBur为，CuuxCuur,1y,z
轴正方向建立坐标系,设P(0,0,m),m∈[0,1],
则O
(
1 2
,
1 2
,
0B),(0,1,0),D(1,0,0),A1(1,1,1),
| n || AB |
【补偿训练】 1.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A⊥底面ABC,AB⊥AC, D,E分别是A1B1,CC1的中点.
(1)用基向量
uuuur uuuur uuuur AA1, AB1, AC1
表示向量
uuur DE
.
(2)若AB=AC=AA1=1,求直线DE与平面AB1C1所成角的正弦
【思考】 思考下列问题: (1)直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是 直线和平面的夹角吗? 提示:不是.直线与平面的夹角为 | 〈s,n〉|.
2
(2)直线与平面的夹角不是锐角就是直角吗? 提示:不对.角的度数有可能是零.
【自我总结】 直线的方向向量与平面的法向量的夹角和直线与平面 的夹角的关系 设直线l的方向向量为s,平面α的法向量为n,直线l与平 面α的夹角为θ.
uuur
ngAB uuur ngAF

00，，即xy

0, z
0.
令z=1,则y=-1.所以n=(0,-1,1),
设直线BC与平面ABF所成角为α,
uuur
则sin α=|cos<n, Buu>Cur |=
| ngBCuuur | 1 . ｜n｜｜BC｜ 2
因此直线BC与平面ABF所成角的大小为 .
ngAC1 0.
因为 AuuBu=ur1 (1,0,1), =Auu(Cu0ur1,1,1),
则
x1,则n=(1,1,-1).
因为
uuur DE
( 1 ,1, 1),
22
uuur
则cos<DuuEur ,n>=
| uDuuEr gn | |DE||n |
|cos<n,Buu1uCu>r1 |=
| ngBuu1Cuu1r |＝ | n || B1C1 |
3 ＝ 21 . 77
即直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值为721 .
类型二 用定义法解决直线与平面的夹角问题 【典例】(2018·全国卷Ⅰ)如图,四边形ABCD为正方 形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把△DFC折起, 使点C到达点P的位置,且PF⊥BF. 世纪金榜导学号
B. 6 3
D. 3 3
【解析】选B.由三角余弦公式知 cos 45 coscos 30，所
以cos θ= 6 . 即PC与平面α所成角的余弦值为 6 .
3
3
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中直线AC1与平面ABCD的夹角 的正切值为__________.
【解析】由直线和平面的夹角的定义知∠C1AC即为直 线AC1与平面ABCD的夹角,所以tan∠C1AC=2 .