第3章：离散时间信号的傅里叶变换教学幻灯片

X ( j ) x ( t ) e j t dt
将 离 散 信s号 变 换 子 集 s j进 行 自 变 量 代 换 ：
X(s) sj X( j) x(nTs)ejnTs n
Ts x(n)ejn X1( j) n
DTFT的性质
线性： 若 x 1 ( n ) X 1 ( e j ), x 2 ( n ) X 2 ( e j )，则 x1 (n ) x 2 (n ) X 1 (e j ) X 2 (e j )
w0 =0.6283(f0=20) Aw0 =499.4717 Pw0 =1.2795 w0N =-0.6283(f=-20) Aw0N =0.1354 Pw0N =0.4922 Elapsed time is 7.619203 seconds.
其他分量 泄漏
250 200 150 100
50 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1
0
5
10
15
20
25
30
w/rad
0
200
400
600
800
1000
f/Hz
的确出现了原信号频率分量。 问题: (1)-f0处未出现频率分量
(2)出现2pi(或fs)周期性 (3)其他分量
Input sine wave signal Amplitude:1 Input sine wave signal Frequency:20 Input sine wave signal Phase:1.2 Input sampling Frequency:200 Input sampling length:500 Input starting w for viewing:-1 Input ending w for viewing:30 Input deltw:0.001
q ( t ) ( t nT ) n
抽样：
0 s / N 2 /( NT s ) 2 / T
N 1
[ x ( n ) e j n ][ 0 ( k 0 ) ]
n0
k
{ x ( t )[ T s ( t nT s ) ]d ( nT s )} * q ( t ) ~x ( nT s ) n
n
n
X ( ) x (n)e jn x (n)(cos( n) j sin( n))
n
n
X ( ) X ( ) ( x (n) cos( n))2 ( x (n) sin( n))2
n
n
x (n) sin( n)
( ) ( ) arctan
n
x (n) cos( n)
能量信号自相关函数的 傅里叶变换是信号傅里 叶变换的模的平方
Parseval （巴塞 伐）定理 ：若
x 2 x ( n ) 2 1 X (e j ) 2 d
2 n
2
Wiener Khinchin (维纳 辛钦 ）定理 :
lim Px (e j )
rx (m )e jm
第3章 离散时间信号的傅里叶变换
3.1 连续时间信号的傅里叶变换 3.2 离散时间信号的傅里叶变换(DTFT) 3.3 连续时间信号的抽样 3.4 离散时间周期信号的傅里叶级数 3.5 离散傅里叶变换(DFT) 3.6 用DFT计算线性卷积 3.7 与DFT有关的几个问题 3.8 关于正弦信号抽样的讨论 3.9* 二维傅里叶变换 3.10 希尔伯特变换 3.11 与本章内容有关的MATLAB文件
x N (nT s ) x s (nT s )d (nT s ) [ xa (t ) (t nT s )]d (nT s ) n
X
N
(e
j
)
1 [ Ts
X a ( j
k
jk s )] * D (e j )
Ts X (e j ) * D (e j )
自然加窗：矩形窗 P113 图3.2.6~7 汉宁窗、汉明窗
e e e j0n
j 0 nT s
j 0 t
(t nTs )
n
X (e j ) 2 ( 0 2k), k Z k
x(n) 1
2
2
( 0 2k )e jnd
k
(
0 )e
jnd
e
j0n
sin(0n) j [(0 2k)(0 2k)],kZ k
cos( 0n) [(0 2k)(0 2k)],kZ k
频 域 卷 积 定 理 ： 若 y ( n ) x ( n ) h ( n ), 则 Y ( e j ) X ( e j ) * H (e j ) 1 X (e j ) H (e j ( ) )d
2
时 域 相 关 定 理 ： 若 y ( m ) x ( n ) h ( n m ) x ( m ) * h ( m ), 则 Y (e j ) X * (e j ) H (e j ) n rx ( m ) x ( m ) * x ( m )，则 E x ( e j ) X * ( e j ) X (e j ) X ( e j ) 2
离散时间信号傅里叶变换(DTFT)的定义
当限定 z ej时，离散信Z号 变的 换变为 傅立叶变换 DT（FT),如下：
复变函数X(e j)， 关于e j的幂级数
X(z) zej X(ej） x(n)ejn n
X(e j)是以2为周期
X(e j)是连续信号
傅立叶变换 r即 z1 限 单定 位在 圆 Z变 上换 的。e jn X(ej)e jnX(e j)
主瓣宽度对离散信号矩形窗分辨率主瓣宽度dtaeidftdft为奇数为偶数性质是分别正交的性质的频谱幅度不发生变化hilbert变换的性质实因果信号傅里叶变换的实部与虚部对数幅度与相位之间的关系是希尔伯特变换关系实因果信号傅里叶变换中的希尔伯特变换关系实因果信号傅里叶变换的实部与虚部不独立实因果信号傅里叶变换的对数幅度谱与相位谱不独立cepstrumcomplex定义对数幅谱hilbert变换的应用wc2pi400
100
w0 =0.6283 rad (f0 =20Hz)
0 -200
0
200
400
600
800
1000 Aw0 =249.7494
f/Hz
Pw0 =1.2797
的确出现了原信号频率分量。
w0N =-0.6283 rad(f0=-20Hz)
问题: (1)-f0处出现频率分量 (2)出现2pi(或fs)周期性
200
150
100
50
0
10
15
20
25
30
35
Hale Waihona Puke 500400300
200
100
0
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
500
400
300
200
100
0
10
15
20
25
30
DTFT结果是否出现-f0的解释
对实信号 x (n)的傅立叶变换（ DTFT )有：
X ( ) x (n)e jn x (n)(cos( n) j sin( n))
x ( n ) e j n
n
n
解释 2：
x ( n ) x s ( nT s ) x a ( t ) ( t nT s ) n
X s (e j ) X a ( j ) * P ( j )
2 X a ( j ) * [ T s
(
k
k
s )]
1 2
2 Ts
X a ( j ) ( k s )d k
m
N
1
Px 2
Px
(e
j
)d
X 2 N (e j ) 2 2N 1
能量谱、功率谱始终为 能量谱、功率谱都是自
的实函数，失去了相位 信息。 相关函数的傅里叶变换 ，只是自相关函数的定
义略有不同。
一些典型信号的DTFT
(n)X(ej)1,所有 幅频响1， 应相 为频响 0 应为
(nm)X(ej) (nm)ejnejm,所有 幅频响1， 应为 n 相频响 （ 应 ）arctaX XnR I((eejj))arctacnso[i sn(m (m))]m
u(n)
11ej
(2k),
k
kZ
DTFT的物理意义
看频率组成、看频率响应
300
200
100
0
-5
0
5
10
15
20
25
w/rad
300
200
X(ej） x(n)ejn n
x ( n ) a c2 o f 0 n s s ( T ) a co 0 n s )(
Input sine wave signal Amplitude:1 Input sine wave signal Frequency:20 Input sine wave signal Phase:1.2 Input sampling Frequency:200 30 Input sampling length:500 Input starting w for viewing:-1 Input ending w for viewing:30 Input deltw:0.001
d(n)
1 0
n0,1,, N1 n为 其 它 值
X~(k) X(ej)
N1
j2 nk
x(n)e N
2k/ N
n0
X(k) X(ej)
N1
j2 nk
x(n)e N
2k/ N
n0
k ,, k 0,, N1
离散傅里叶变换DFT
离散傅里叶变换（DFT）的数学模型
频域抽样函数：
Q ( j ) 0 ( k 0 ) k
x ( n ) 1
0
X
R (e
j
) cos(
n)d
(8) x (n )再为奇函数时，
X R ( e j ) 0 ; X I ( e j ) 2 x ( n ) sin n ; n 1
x ( n ) 1
0
X
I
(e
j
) sin(
n)d
时域卷积定理： 若 y ( n ) x ( n ) * h ( n ), 则 Y (e j ) X (e j ) H (e j )
即有：
X~ ( k )
N
1
~x
(
n
)
e
j
2 N
nk
n0
~x ( n )
1
N
1
X~
(k
)e
j 2 N
nk
N k 1
k , n ,
DFT对
离散周期序列的傅立叶级数DFS
N1
j2nk
X(k) x(n)e N
k0,N1
n0
1 N1
j2nk
x(n)
X(k)e N
n0,N1
N k1
FT :
（ 4） X ( e j ) X ( e j ) ;
(5 ) arctan
X X
I (e j ) R (e j )
(
);
( 6 ) x ( n ) 1
[X
0
R (e
j ) cos(
n)
X
I (e
j ) sin(
n )]d
(7 ) x (n )再为偶函数时，
X R ( e j ) x ( 0 ) 2 x ( n ) cos( n ), X I ( e j ) 0 ; n 1
时移：若 x ( n ) X ( e j )，则 x ( n n 0 ) e j n 0 X ( e j )
奇偶虚实对称：
若 x ( n ) 为实信号，则（ 1） X R ( e j ) X R ( e j );
（ 2） X I ( e j ) X I ( e j ); ( 3 ) X * ( e j ) X ( e j );
1
Ts
X a ( j
k
jk s )
T s X ( e j )
卷积与周期延拓 P116，图3.3.1
DTFT结果与离散信号的加窗
d
(n)
1
0
n 0,1, , N 1 n为其它值
D (e j ) e j ( N 1) / 2 sin( N / 2) sin( / 2)
Aw0N = 249.7494 Pw0N = -1.2797
(3)其他分量
Elapsed time is 7.574711 seconds.
x(n)a[co 2fs0n ( sT)jsin 2f(0nsT)]
ae j(2f0nsT) aje(0n)
600 400 200
0 -5 600 400 200 0 -200
j(0nTs )
j(0t)
(t nTs)
n
X(ej) 2ej (0 2k),kZ k
只有在 0处有值
DTFT结果周期性的解释
解释 1： X ( e ) j ( 2 ) X ( e j e 2 ) X ( e j )
X ( e j )
2
x ( n )e j( 2 )n
起到了平滑作用，降低了谱峰分辨能力，主瓣宽度B=4*pi/N; 但使某些不存在的DTFT变得存在。
DTFT结果每个周期按窗长点数离散化—— 离散傅里叶变换（DFT）
抽样信号由于加窗的原因，DTFT必然是一个连续谱， 但计算机只能获得谱的一些离散值。如何离散化？ 一种方法是一个周期2pi内离散出N点。
n
实信号DTFT会出现-f0成分：反相、同幅值。
复 信x号(n)co（ s 0n) jsi（ n 0n)ej(0n)的
傅 立 叶 变D换T（ F)： T
X() x(n)ejn [cos(0n) jsin(0n)](cosn() jsin(n))
n
n
ej((0-)n)
n
引入函数
e e e j(0n)