2019届新疆自治区北京大学附属中学新疆分校高三10月月考数学(理)试题

北大附中新疆分校2018—2019学年第一学期10月月考
高三年级理科数学试题
时间：120分钟 满分：150分
一． 选择题（本大题共12个小题，每小题5分,共60分）
1设集合{}1,2,3A =，{}34x B x =>，则A B =（ ）
A ．{1，2}
B ．{2，3}
C ．{1，3}
D ．{1，2，3} 2. 函数()
()()1ln 23x x f x x --=-的零点有 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3. 下列判断正确的是（ ）
A. 若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p q ∧”为真命题
B. 命题“,20x x ∀∈>R ”的否定是“ 00,20x x ∃∈≤R ”
C. “1sin 2α=”是“ 6
πα=”的充分不必要条件 D. 命题“若0xy =，则0x =”的否命题为“若0xy =，则0x ≠”
4.）
A C ．1 5.设0.1392,1,log 210a b g c ===，则a,b,c 的大小关系是 A. b c a >> B. a c b >> C. b a c >> D. a b c >>
6.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()()21ln f x xf x '=+，则()1f '=
A. e -
B. 1-
C.1
D.e
7.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(2)()f x f x +=-，若(1)1f =，
则(3)(4)f f -=
A ．1-
B ．1
C ．2-
D ．2
8.已知a b >，则下列不等式一定成立的是
A.11a b <
B.1122a b
⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C.ln ln a b >
D.33a b >
9. 由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )
A.103 B ．4 C.163
D ．6 10. 不等式(ax －2)(x －1)≥0(a <0)的解集为( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ，1
B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，2a
C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2a ∪[1，＋∞) D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2a ，＋∞ 11．函数1()=-x f x a a
的图象可能是
A B C D
12. 设函数3()f x x x =+，x R ∈．若当02πθ<<
时，不等式0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，
则实数m 的取值范围是 A ．(,1]-∞ B ．[1,)+∞ C ．1(,1)2 D ．1(,1]2
二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，那么1
2
x =__________. 14.已知函数2lg ,0,(),0.x x f x x x ->⎧=⎨<⎩
若0()1f x =，则0x 的值是 ． 15．已知4sin cos (0)34
πθθθ+=<<，则sin cos θθ-= ． 16. 已知函数()f x 与()g x 的定义域为R ，有下列5个命题：
①若(2)(2)f x f x -=-，则()f x 的图象自身关于直线y 轴对称；
②(2)y f x =-与(2)y f x =-的图象关于直线2x =对称；
③函数(2)y f x =+与(2)y f x =-的图象关于y 轴对称；
④()f x 为奇函数，且()f x 图象关于直线12x =对称，则()f x 周期为2； ⑤()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()1g x f x =-，则()f x 周期为2。

其中正确命题的序号是
三.解答题(17题10分，18-22题每题12分，共70分
)
17.已知集合{}{}22log 8,0,14x A x x B x C x a x a x +⎧⎫=<=<=<<+⎨⎬-⎩⎭
. （I ）求集合A B ⋂；
（II ）若B C B ⋃=，求实数a 的取值范围.
18.已知函数)10)(3(log )1(log )(<<++-=a x x x f a a
（1）求函数)(x f 的定义域；
（2）求函数)(x f 的零点；
（3）若函数)(x f 的最小值为-4，求a 的值．
19.已知函数f (x )＝e x (ax ＋b )－x 2－4x ，曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝4x ＋4.
(1)求a ，b 的值；
(2)讨论f (x )的单调性，并求f (x )的极大值．
20.已知函数2()()f x x x a b =-+在2x =处有极大值．
（1）求a 的值；
（2）当[2,4]x ∈-时，函数()y f x =的图象在抛物线21459y x x =+-的下方，求b 的取值范围．
21. 已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15
. (1)求sin A ·cos A ；
(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；
(3)求tan A 的值．
22.已知()ln 1f x ax b x =+-，设曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线为0y =。

（1）求实数,a b 的值；
（2)设函数2()()2
x g x mf x mx =+-，其中13m <<求证：当[1,]x e ∈时，3()(1ln 3)2g x >-+
高三理科数学参考答案：
1-5 BABCD 6-10 BADCA 11-12CA
- 16.①②③④13.或10 15.
3
17.(1)(0,4) ; (2)[]3,2-
18.解：（1）要使函数有意义：则有，解之得：-3＜x＜1，则函数的定义域为：（-3，1）
（2）函数可化为f（x）=log a（1-x）（x+3）=log a（-x2-2x+3）
由f（x）=0，得-x2-2x+3=1，
即x2+2x-2=0，
∵，∴函数f（x）的零点是
（3）函数可化为：
f（x）=log a（1-x）（x+3）=log a（-x2-2x+3）=log a[-（x+1）2+4]
∵-3＜x＜1，∴0＜-（x+1）2+4≤4，
∵0＜a＜1，∴log a[-（x+1）2+4]≥log a4，
即f（x）min=log a4，由log a4=-4，得a-4=4，
∴
19.
20（Ⅰ）232222()()2()34f x x x a b x ax a x b f x x ax a '=-+=-++⇒=-+，
2(2)12802f a a a '=-+=⇒=或6a =，
当2a =时，函数在2x =处取得极小值，舍去；
当6a =时，2()324363(2)(6)f x x x x x '=-+=--，函数在2x =处取得极大值，符合题意，∴6a =．（5分）
（2）∵当[2,4]x ∈-时，函数()y f x =的图象在抛物线21459y x x =+-的下方，∴
32212361459x x x b x x -++<+-在
[2,4]x ∈-时恒成立， 即32391b x x x <-+++在[2,4]x ∈-时恒成立，令32()391h x x x x =-+++，则
2()3693(3)1)h x x x x x '=-++=--+，由()0h x '=得，121,3x x =-=．
∵(2)3h -=，(1)4h -=-，(3)28h =，(4)21h =，
∴()h x 在[2,4]-上的最小值是4-，b 4<-．（12分）
21解 (1)∵sin A ＋cos A ＝15，
∴两边平方得1＋2sin A ·cos A ＝125.
∴sin A ·cos A ＝－1225.
(2)由(1)sin A ·cos A ＝－1225＜0，且0＜A ＜π，
可知cos A ＜0，∴A 为钝角，∴△ABC 是钝角三角形．
(3)∵(sin A －cos A )2
＝1－2sin A cos A ＝4925， sin A ＞0，cos A ＜0，∴sin A －cos A ＝75.
∴sin A ＝45，cos A ＝－35.
∴tan A ＝－43.
22.（1）1,1a b ==-；（2）见解析；
【解析】
试题分析：（1）利用导数的几何意义可得在(1,(1))f 处的切线斜率为0及()11=f 联立方程解得
1,1a b ==-；（2）将()x f 代入2
()()2
x g x mf x mx =+-得()x g 的解析式，解析式中含有参数m ，所以对m 进行分类讨论，再利用求导数来讨论函数()x g 的单调性，求出()x g 在[1,]x e ∈的最小值和最大值即可；
试题解析：解：（1）()b f x a x
'=+， 2分 依题意(1)0f =，且(1)0f '=。

3分
所以10,0a a b -=+=。

解得1,1a b ==-。

4分
（2）由（1）得()ln 1,0f x x x x =-->。

所以2
()ln ,02
x g x m x m x =-->。

2()m x m g x x x x
-'=-=。

6分
当0m >时，由()0g x '>得x >，由()0g x '<得0x <
所以()g x 在区间上是减函数，在区间)+∞上是增函数，x 是()g x 的极小值点。

8分
当13m <<，[1,]x e ∈[1,]e ，
所以()g x 的最小值为g ，最大值为max((1),())g g e 。

9分
设()ln 22
m m h m g m ==--，则1()1ln 2h m m '=--， 因为13m <<，所以ln 0,()0m h m '><。

所以()h m 在13m <<上单调递减， 所以，333()(3)ln 3(1ln 3)222
h m h >=--=-+。

12分 所以，当13m <<，[1,]x e ∈时，3()(1ln 3)2
g x >-+。

综上，当13m <<，[1,]x e ∈时，。

14分
考点：1、导数的几何意义；2、运用导函数讨论函数单调性的应用；3、运用导函数讨论函数最值的应用；。