直线与方程说课设计

课题：直线与方程章末小结
说课教师：崇州市崇庆中学王小东
一、教材分析
教材内容
直线与方程章末小结是人教A版必修2 第三章的内容。

本章首先探究确定直线位置的几何要素和它们在平面直角坐标系中的表示，建立直线的方程，然后通过方程，用代数方法研究有关的几何问题：包括判定两直线的位置关系、求两条直线的交点坐标、计算点到直线的距离、解决简单的线性规划问题（教材整合内容）等。

代数方法研究直线问题的基本思路是在平面直角坐标系中建立直线的方程，通过方程，用代数方法解决几何问题。

教材地位和作用
解析几何研究问题的主要方法是坐标法，直线与方程是平面解析几何初步的第一章，用坐标法研究平面上最简单的图形——直线。

直线与方程的学习为后面学习直线与圆，直线与圆锥曲线奠定基础。

教学目标
章末小结的目的在于回顾本章学习的主要内容，形成系统的知识结构，总结思想方法等。

教学重点：能用直线方程的几种形式解决两条直线的位置关系、点到直线的距离、线性规划等相关问题。

教学难点:分类讨论、数形结合、化归与转化等数学思想的应用。

二、学情分析
学生在初中已经学习过一次函数，高中学习了直线与方程的相关知识，能够解决两直线位置关系、交点坐标、点到直线距离的基本问题;具备了一定的抽象概括、推理论证、运算求解、和数据处理能力。

三、学法和教法：
确定依据：根据教学内容和课标要求，结合我校思问课堂教学模式
学习方法：自主学习，合作探究，交流展示，总结评价。

教学方法：巡视发现问题，参与学生讨论，点拨引导，总结完善。

四、教学过程设计
确定依据
根据课标要求，现代数学课堂教学的特点以及我校思问课堂教学模式，我设计了以下教学流程：
设计意图:学生提前预习，完成基础自测和学案知识整理填空，有利于了解本堂课的学习目标，做到心里有数。

（二）、勤学篇
学生展示预学成果：
解决方法：小组成员之间用2分钟相互对照整理结果，形成小组统一的结果，在课堂上随机抽两个小组的学案用实物投影仪展示，再随机抽取一个小组进行评价，评分。

用时3分钟设计意图：通过随机抽取展示，各小组都会认真准备，因为要评价，评分，其他组都会认真分析展示小组总结的情况。

.
（三）、思学问学悟学篇（交叉进行）
(2) 与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋C 1＝0.
(3) 与直线y ＝kx ＋b 平行的直线方程可设为y ＝kx ＋b 1.
(4)与y ＝kx ＋b (k ≠0)垂直的直线方程可设为y ＝－1
k x ＋b 1.
设计意图：
学生从具体问题中归纳总结出一般问题的解决方法，便于今后再遇到此类问题时能用通性通法解决。

自由
举手发言，师生共用时2分钟 分别计1至3分 教师点评，评分
二）、线性规划问题
例2、已知,x y 满足线性约束条件124126x y x y x y +=⎧⎪
+≥⎨⎪-≥-⎩
，
求目标函数5=-z x y 的最大值和最小值
约束条件：124126x y x y x y +=⎧⎪
+≥⎨⎪-≥-⎩
，是关于,x y 的一个二元一次不等式组；
目标函数：5z x y =-，是关于,x y 的一个二元一次函数；
可行域：是指由直线1x y +=被直线26x y -=-和241x y +=所夹的一条线段AB （如图）；
可行解：所有满足(),x y AB ∈（即线段上的点的坐标）实数,x y 都是可行解；
最优解：(),x y U ∈，即可行域内一点(),x y ，使得一组平行线
50x y z --=（z 为参数）中的z 取得最大值和最小值时，所对应的点
的坐标(),x y 就是线性规划的最优解。

3分钟时间小组讨论并形成统一意见，展示在小黑板上，请一个小组抽取两组展示并进行点评，评分。

其他组可以补充，适当加分。

用1分钟时间根据学生展示和评价以及补充的情况简单分析点评，并给评价小组打分，
设计意图：这类问题的解决，关键在于能够正确理解线性约束条件所表示的几何意义，并画出其图形，利用简单线性规划求最优解方法求出最优解及目标函数的最大值或最小值，训练学生数形结合解决问题的能力。

变式训练2、实数,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≥⎩
，
求
1
1
y x -+的最小值 约束条件：00220y x y x y ≥⎧⎪
-≥⎨⎪--≥⎩
是一个关
于,x y 的一个二元一次不等式组； 目标函数：22448z x y x y =+--+是一个关于,x y 的一个二元函数，可以看作是一点(),x y 与点()1,1-的斜率；
可行域：是指由直线0y =，
0x y -=和220x y --=所围成的一个三角形区域（包括边界）U （如
图6）；
可行解：所有满足(),x y U ∈（即三角形区域（包括边界）内的点的坐标）实数,x y 都是可行解；
最优解：(),x y U ∈，即可行域内一点(),x y ，使得它与点()1,1-的斜率取得最小值，此时所对应的点的坐标(),x y 就是最优解。

设计意图：例题设计了一个线性约束条件下线性函数的最值问题，变式训练做一个线性约束条件下非线性目标函数所表示的几何意义，可以很好的训练学生的知识迁移能力。

快速
完成举手示意 师生共用时3分钟
巡视学生解答情况，解答学生疑问，学生举手后，拿学生答案在投影仪上展示根据完成速度与质量分别计1至3分
三）、点到直线，两平行线间的距离
例3、已知直线l 经过直线l 1：2x ＋y －5＝0与l 2：x －2y ＝0的交点． (1)若点A (5,0)到l 的距离为3，求l 的方程； (2)求点A (5,0)到l 的距离的最大值．
解 (1)经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0，
∴|10＋5λ－5|
2＋λ2＋1－2λ2
＝3，
3分钟时间起立讨论，小组统一后坐
巡视并参与小组讨论，待学生讨论完成
即2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2，或λ＝1
2， ∴l 方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.
(2)由⎩
⎪⎨⎪⎧
2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，如图，过P 作任一直线l ，设d
为点A 到l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时等号成立)．
∴d max ＝|PA |＝5－22＋0－12＝10
设计意图：此例第一问可以求出交点，分类讨论斜率存在和不存在时分别求出直线方程，也可用直线系方程避免讨论。

可以培养学生分类讨论的思想和化归与转化的思想。

下
其他组如有不同可举手展示自己的结果，师生2分钟
后，随机抽取一个小组的结果在投影仪上展示 根据学生展示及补充进行评价和评分
变式训练3、 (1)求直线2x ＋11y ＋16＝0关于点P (0,1)对称的直线方程． (2)两平行直线3x ＋4y －1＝0与6x ＋8y ＋3＝0关于直线l 对称，求l 的方程．
解 (1)所求直线与直线2x ＋11y ＋16＝0平行时，可设直线方程为2x ＋11y ＋C ＝0，
由于P 点到两直线的距离相等，即11＋1622＋112＝|11＋C |
22＋112
， 所以C ＝－
38.
所求直线的方程为2x ＋11y －38＝0.
(2)依题意可知直线l 的方程为6x ＋8y ＋C ＝0，则它到直线6x ＋8y －2＝0
的距离d 1＝|C ＋2|62＋82，到直线6x ＋8y ＋3＝0的距离d 2
＝|C －3|
62＋82，又d 1＝d 2，即|C ＋2|62＋82＝|C －3|
62＋82
，
所以C ＝1
2.
即l 的方程为6x ＋8y ＋1
2＝0.
设计意图：例题考查点到直线的距离公式，变式训练考查两平行线间的距离公式，尤其是系数不同情况下，学生容易犯错。

通过此练习，学生今后对易错点会更加注意。

快速完成举手示意
师生共用时3分钟
巡视
学生解答情况，解答学生疑问，学生举手后，拿学生答案在投影仪上展示根据完成速度与质量分别计1
（四）、课堂总结
解决方法：学生总结本堂课的收获，自由发言，能说出不同收获的每人次计2分，计入小组，教师最后总结点评各组得分情况，得分最高的3个小组上台接受同学们最热烈的掌声，并发给荣誉证书。

共用时2分钟
设计意图：总结有助于学生更清晰的理清本堂课所复习的重点内容，发言有利于培养学生语言表达能力，教师总结评分有利于培养学生竞争的意识以及团队合作精神。

（五）、固学篇 课后作业：
1、直线2x cos α－y －3＝0，α∈[π6，π
3]的倾斜角的变化范围是( ) A.[π6，π3]
B.[π4，π3]
C.[π4，π2]
D.[π4，2π3]
2、.直线),0,0(0:,0:21b a b a a y bx l b y ax l ≠≠≠=+-=+-在同一直角坐标系中的图形大致是（ ）.
A
1
B
2
3、若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y－1＝0互相垂直，则a的值是()
A．2 B．－3或1 C．2或0 D．1或0
4、设直线l经过点(－1,1)，则当点(2，－1)与直线l的距离最大时，直线l的方程为______________．
5、已知直线l经过点P(1，2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，求直线l 的方程.
6、（思考）已知,x y
满足y=
2
y
x+
的最大值和最小值
设计意图：思问课堂教学模式下，大部分问题是通过讨论，合作学习完成，学生可能课堂上觉得搞懂了，可能自己做的时候又会出现一些问题，课后练习可及时检查学生掌握情况。

思考问题可拓展学生思维，培养学生勇于探索的科学精神。

五、板书设计：
直线与直线的位置关系”教学设计说明
（1）本课数学内容的本质、地位、作用分析
本课数学内容是空间直线与直线的位置关系的分类，异面直线的定义、画法、成角定义，平行公理和等角定理。

本课地位是体现公理化思想的基础，作用在空间线面平行（垂直）、面面平行（垂直）的转化的基础。

设计以长方体为载体，让学生直观认识空间直线的位置关系和异面直线成角的定义，用空间四边形的模型来应用平行公理。

（2）教学目标分析
了解空间两直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理和等角定理，掌握两条异面直线成角的定义与垂直。

（3）教学问题诊断，应在具体说明本课内容的认知准备基础上，分析学习新知识中可能存在的困难
异面直线画法与成角问题上学生的认知上存在误区，可以借长方体模型突破难点。

（4）本节课的教法特点以及预期效果分析
借助长方体模型，发现和感知新知，也利用模型巩固新知，预期效果较好。

教学目标
［知识与技能］
通过学习能知道空间直线的三种位置关系；
初步理解异面直线的概念，会判断两直线的异面关系，初步理解异面直线的衬托画法，初步理解异面直线所成角的概念，运用平移的方法求异面直线所成的角；
初步理解与运用公理4解决问题，初步了解等角定理．
［过程与方法］
通过学习经历异面直线的概念的形成过程，借助平面的衬托，体会异面直线的直观画法，通过对等角定理的温故知新的探究，解决了异面直线的定义，并能求简单的异面直线所成的角；借助长方体的模型，发现与感知平行线的传递性质．
［情感、态度与价值观］
经历师生的教与学的互动活动，让学生初步体会化归思想与空间想象能力的养成意义，通过学习让学生获得对空间直线的位置关系有一个清晰的认识，把问题交给学生解决，让学生自主发现问题与解决问题，养成独立思考的习惯．
重点、难点与关键点
重点：异面直线的概念、异面直线所成的角与简单角的求法；公理4的运用．
难点：异面直线概念的理解与求法．
关键点：异面直线的衬托画法，找异面直线的角．
教学准备：空间四边形模型、长方体模型，直线、平面教具，教学课件．
教学过程设计：
思考问题：空间直线与直线的位置关系有几种？
设计意图：由教科书第44页“思考”中的问题，引起学生注意，诱发学生探知的欲望，养成思考问题的习惯．
师生活动：（虚拟）教师放课件图片，引导学生观察：日光灯所在直线与黑板左右两侧所在直线的位置关系，让学生发现，直线与直线有既不平行又不相交的位置关系．我们今天上课的内容是：
板书：空间中直线与直线的位置关系
观察：如图2．1-13，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，线段A 1B 1所在直
线与线段BC 所在直线的位置关系如何？
（虚拟）学生：既不相交，又不平行．教师：这种关系我们定义
为异面直线．
板书：1．异面直线的定义：
把不同在任何．．．．．
一个平面内的两直线叫做异面直线．（关键点：不同在任何一个平面内）．
概念辨析：
下列说法是否正确？请同学思考后回答：
如图，AD 1⊂平面1111A B C D ，BC ⊂平面ABCD ，问AD 1，BC 是否是异面关系。

教师：同学们要理解定义中关键词“不同在任何一个平面内”，虽然直线AD 1，BC 是不在同一底面上，但它们却在对角面A 1BCD 1内，因此，它们不是异面直线。

（虚拟）由学生归纳空间直线的位置关系有且仅有三种：
（幻灯片）：
2．空间直线的位置关系：
板书：
⎧⎫⎪⎬⎨⎭⎪⎩:相交直线共面平行直线异面直线不同在任何一个平面内的两条直线
板书：
3．异面直线画法：（幻灯片给出图形及小标题）：
（1）．一个平面衬托画法： （2）．两个平面衬托画法：
动画设置：（教师与学生互动）（虚拟）把衬托平面移走，再看直线a与直线b的位置的异面关系是否直观？很显然，当把衬托平面移走后，异面直线很不明显，所以异面直线的平面衬托是很重要的，注意下列关键点：
强调关键点：1）．（一个平面衬托法）直线b与平面α交点在直线a外；
2）．（两个平面衬托法）直线a，b与棱都相交，且交点不重合．师生活动：如图，长方体ABCD-A 1B1C1D1中，AA1∥BB1，CC1∥BB1，
那么AA1与CC1平行吗？
（虚拟互动）：由幻灯片闪烁AA1∥BB1，CC1∥BB1，再闪烁AA1∥CC1，
由学生观察得到结论．
板书（幻灯片）：
4．公理4 平行于同一直线的两直线互相平行．
即若AA1∥BB1，CC1∥BB1，则AA1∥CC1．
教师与学生共同探出：公理是判断空间直线平行的依据；平行线的性质是具有传递性．学以致用（1）：
例2 如图2．1-17，空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，
CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
师生互动：（虚拟）教师先给学生观察空间四边形的教具，分析与回顾平
行四边形定义，三角形中位线的性质，平行线与等式的传递性，要证明四边
形是平行四边形，需要什么条件？请学生口述，教师写板书．
（板书）：证明：连结BD，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，且EH=1
2 BD，
同理，FG∥BD，且FG=1
2 BD，
∴EH∥FG，且EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
更上一层楼，变式探究：在例2中，若加条件AC=BD，那么四边形EFGH又是什么图形？
温故而知新：“如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”．空间中，结论是否成立？教师提供图形，由学生在课后完成．
5．等角定理
完善体系：探究刻画异面直线的位置关系，引入异面直线所成的角的概念．
6．异面直线所成角的定义
引入：由幻灯片闪烁异面直线AA1和BC，B1D1和BC它们都是异面关系，但又有明显的区别，可以引入异面直线所成的角来刻画这种区别。

（幻灯片）：如图，已知两异面直线a，b，空间任取一点O，经
过点O作直线a'∥a，b'∥b，把a'与b'所成的锐角或直角叫做异
面直线a与b所成的角（或称夹角）．
特殊情形，若两异面直线成直角，则称两异面直线互相垂直，记
作a⊥b．
教师与学生共同探讨，得到结论：异面直线所成的角可以通过平移变换，把异面直线成角化归成相交直线成角．
学以致用（2）：（由幻灯给出）
例3 如图，已知正方体ABCD 1111A B C D -中．
（1） 哪些棱所在的直线与直线1BA 是异面直线？
（2） 求棱1AA 和BC 所成角；
（3） 求1A B 和1CC 所成的角。

（虚拟互动）先由学生独立思考，再让学生举手发言，教师作补充、订正和结论（按三维方向或三对面分类进行分析）．
课堂练习：
在例3中，直线1A B 和AC 所成的角是多少？
课后思考：
1．若a α⊄，b α⊄，则直线a 和b 是异面直线；（ ）
2．如图，则直线a 和b 是异面直线；（ ）
3．若a b ⊥，a c ⊥，则b ∥c ．（ ）
教科书第48页练习
课堂小结
1.异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
相交直线
平行直线
异面直线
3.异面直线的画法：平面衬托
4.公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
5．等角定理：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么它们相等或互补6．异面角的求法：一作（找）二说三求。

课后练习：
1．举出你生活环境中异面直线的实例两例；
2．完成教科书第48页上练习；
3．第47页探究问题：如图2．1-18，观察长方体ABCD-A1B1C1D1中，
（1）有没有两条棱所在的直线是互相垂直的异面直线？
（2）如果两条平行直线中的一条与另一条直线垂直，那么，另一条
直线是否也与这条直线垂直？
（3）垂直于同一直线的两条直线是否垂直？
设计意图：1．让学生养成借助长方体模型的判断问题的习惯；2．克服平面内两直线定势思维的影响．
课后研究：
（用泡沫纸做成教具）图2．1-15是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对．
（互动）：由一名学生上台把（教具）展开图还原成正方体，二名学生上台画还原图；教师与学生共同归纳规律：1．选取一个正对面，然后确定左右两侧面，上下底面，最后定对面；2．这些线段都是面对角线．
板书设计．
空间中直线与直线的位置关系
1．
⎧⎫
⎪⎬
⎨⎭
⎪
⎩:
相交直线
共面直线
平行直线
异面直线不同在任何一个平面内的两条直线
2．公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行
3．异面直线的画法
4．
例2 证明：连结BD，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，且EH=1
2 BD，
同理，FG∥BD，且FG=1
2 BD，
∴EH∥FG，且EH=FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．。