中考数学复习 第4单元 图形的初步认识与三角形 第18课时 三角形与等腰三角形课件
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A．1 B．5 C．7 D．9 2．[八上 P59 习题 2.2 第 3 题改编] 下列命题是真命题 的是( C ) A．如果 a＋b＝0，那么 a＝b＝0 B．有公共顶点的两个角是对顶角 C．两直线平行，同旁内角互补 D．三角形的外角和为 180° 3．[八上 P49 习题 2.1 第 6 题改编] 如果一个等腰三角形的 两 边 长 分 别 是 5 cm 和 6 cm ， 那 么 此 三 角 形 的 周 长 是 _1_6_c_m_或__1_7__c．m
考点5 等腰三角形的性质(xìngzhì)与判定
定义 两条__边__相__等(xiāng_dě_n的g) 三角形叫作等腰三角形，相等 的两边叫作腰，另外一边叫作底边
(1)定理：等腰三角形的两底角相等(简称“等
边对等角”)．
(2) 对 称 性 ：等 腰 三 角 形是 轴 对 称图 形 ，有 性质 ____1____条对称轴．
考向探究
第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
|针对训练| 1．【2017·株洲】如图 18－5，在△ABC 中，∠BAC＝x，∠ B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD 的度数是( B ) A．145° B．150° C．155° D．160°
A．6 B．3 C．2 D．11 2.[2016·怀化] 等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 8 cm， 则它的周长为( C )
A．16 cm B．17 cm C．20 cm D．16 cm 或 20 cm
[方法模型]
涉及三角形三边的不等关系(guān xì)时，常常根据三边的不等关系
(guān xì)定理建立不等式(组)，通过解不等式(组)求出其中字母的取值
图 18－1
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第三页，共三十九页。
考向探究
第四单元┃ 图形的初步(chūbù)认识与三角形
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考点 1 三角形的分类 1．按角分：
直角三角形 三角形斜三角形钝锐角角三三角角形形 2．按边分：
不等边三角形 三角形 等腰三角形底 等边 边和 三腰 角不 形相等的等腰三角形
1．定义：三边都相等(xiāngděng)的三角形叫作等边三角形． 2．性质：等边三角形的各角都______，相并等且每一个角都等于________
；等边6三0°角形是轴对称图形，有________条对称轴． 3 3．判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
图 18－3 |针对训练| [2017·达州]△ABC 中，AB＝5，AC＝3，AD 是△ABC 的中 线，设 AD 长为 m，则 m 的取值范围是__1＜__m_＜__4_．
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第四单元┃ 图形的初步(chūbù)认识与三角形
[解析] 如图，延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 EC，∵BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ ABD≌△ECD，∴CE＝AB，∴在△ACE 中，AC＝3， CE＝5，设 AD＝m，则 AE＝2m，∴2＜2m＜8，∴ 1＜m＜4，故答案为 1＜m＜4.
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
考点7 命题(mìng tí)、定义、定理、基本事实
定义 命题 定理
对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规 定的语句叫作这个概念的定义 (1)命题的概念：一般地，对某一件事情作出判 断的语句(陈述句)叫作命题． (2)命题的真假：正确的命题称为真__命_题__(_mì_ng_t_í)_； 错误的命题称为___假_命__题____． (3) 命 题 的 组 成 ： 每 个 命 题 都 由 __条__件____ 和 ____结_论___两个部分组成 除公理以外，其他真命题的正确性都要经过推理 的方法证实，推理的过程称为__证__明____．经过证 明的真命题称为___定_理____
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
考点 4 三角形的内角和定理及推论
定理 推论 拓展
三角形的内角和等于___1_8_0°___ (1)三角形的一个外角等于和它不_相_邻__的__两_个(liǎnɡ ɡ_è)_内_角
的和 (2)三角形的一个外角大于任何一个和不它相__邻__(x_i_ān_ɡ _lín)
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图18－4
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第四单元┃ 图形的初步(chūbù)认识与三角形
解：(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°，
1 ∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE＝2∠BAC＝40°； (2)∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°， 而∠ADE＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－70 °＝20°， ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°；
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
(3)能．∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C，
∵AE 平分∠BAC，
1
1
1
∴ ∠ BAE ＝ 2 ∠BAC ＝ 2 (180 ° － ∠B － ∠C) ＝ 90 ° － 2
[方法模型]中位线的作用主要有两个：(1)用于证明直线(线段)的
平行关系；(2)用于证明线段的数量关系(一半)．已知条件中有中点这 一信息时，要考虑连接中线或中位线，而有中线这一信息时，要考虑将 中线延长一倍．我们可以(kěyǐ)归纳为“见中点，连中线；见中线，长一 倍”．
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范围或确定构成三角形的个数．
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第四单元┃ 图形(túxíng)的初步认识与三角形
探究2 三角形中的重要线段 命题角度： 1. 识别三角形的中线、角平分线、高线； 2. 利用三角形的中位线、中线、高、角平分线的性质 进行计算． 例 2 (1)[2015·长沙] 如图 18－2，过△ABC 的顶点 A， 作 BC 边上的高，则以下作法正确的是( A )
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第四单元┃ 图形(túxíng)的初步认识与三角形
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探究1 三角形三边的关系
命题角度 (1)根据线段的长度判断能否构成三角形； (2)利用三角形三边的关系建立不等式判断第三边的取 值范围； (3)利用三角形三边关系求等腰三角形的周长． 例 1 【2017·金华】下列各组数中，不可能成为一个三角 形三边长的是( C ) A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
探究3 三角形的内角和与外角的性质
命题角度： 1．利用内角和和外角进行角度的计算； 2．根据条件判断三角形的形状．
例 3【2017·常德模拟】如图 18－4，在△ABC 中，AD⊥BC， AE 平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.求： (1)∠BAE 的度数； (2)∠DAE 的度数； (3)探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成 ∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE 的度数，你认为能吗？ 若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
[解析] ∵5＋6＜12，∴长为5，6，12的三条线段(xiànduàn)不能组成一个 三角形．
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
|针对(zhēnduì)训练|
1.[2016·长沙] 一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三 边长可能是( A )
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图 18－2
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
(2)[2015·衡阳] 如图 18－3 所示，小明为了测量学校里一 池塘的宽度 AB，选取可以到达 A，B 两点的点 O，再分别取 OA，OB 的中点 M，N，量得 MN＝20 m，则池塘的宽度 AB 为 ____4_0 ___m.
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
4．[八上 P63－练习第 2 题改编] 如图 18－1，点 P 为等 边三角形 ABC 的 BC 边上一点，且∠APD＝80°，AD＝AP，则∠CPD 的度数是___2_0_°___．
的内角 (3)直角三角形的两个锐角___互__余___ (4)三角形的外角和等于____3_60_°__
在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两 个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角
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回归教材Leabharlann 考点聚焦第八页，共三十九页。
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
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第四单元┃ 图形(túxíng)的初步认识与三角形
考点 2 与三角形有关的重要线段
重要线段
三角形 的内角 平分线
图形
性质 三角形的三条内角平分 线相交于三角形内一点， 它到三角形三__边_(_s_ān_b_iā_n的 ) 距离相等，这点叫作三角 形的内心，内心与任意一 顶点的连线平分该内角
角形____外____部 (1)三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半； (2)经过三角形一边的中点，平行于
另一边的直线必然平分第三边
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第四单元┃ 图形的初步(chūbù)认识与三角形
考点 3 三角形三边的不等关系 定理：(1)三角形的任意两边之和__大__于____第三边；三角 形的任意两边之差___小__于___第三边． (2)直角三角形中，斜边___大_于____任何一条直角边．
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
(续表) 三角形 的中线
三角形 的高
三角形 的中位
线
(1)三角形的任何一条中线都平分三 角形的面积；
(2)三角形三条中线相交于三角形内 一点，这点叫作三角形的重心
(1)锐角三角形三条边上的高相交于 三角形___内___部；(2)直角三角形三 边的高相交于直_角__(_zh_íj_iǎ_o)_顶__点；(3)钝角 三角形三条高所在的直线相交于三
第四单元 图形(túxíng)的初步认识 与三角形
第18课时(kèshí) 三角形与等腰三角形
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第四单元┃ 图形的初步(chūbù)认识与三角形
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1．[八上 P97 复习题 2 第 1 题] 若某三角形的两边长分 别为 3 和 4，则下列长度的线段能作为其第三边的是( B )
【提示】 不要混淆(hùnxiáo)等腰三角形的性质与判定，由边相等 得到角相等是等腰三角形的性质，由角相等得到边相等是等腰 三角形的判定．
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
考点6 等边三角形的性质(xìngzhì)与判定
(3)三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底
边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分
线、底边上的中线、底边上的高互相重合
判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角
等角对等边
所对的边也相等，简称______ __
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第四单元┃ 图形(túxíng)的初步认识与三角形
(∠B＋∠C)，
∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝90°－∠B，
1 ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－2(∠B＋∠C)－(90
1 °－∠B)＝2(∠B－∠C)，
1 ∵∠B－∠C＝40°，∴∠DAE＝2×40°＝20°.
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考点5 等腰三角形的性质(xìngzhì)与判定
定义 两条__边__相__等(xiāng_dě_n的g) 三角形叫作等腰三角形，相等 的两边叫作腰，另外一边叫作底边
(1)定理：等腰三角形的两底角相等(简称“等
边对等角”)．
(2) 对 称 性 ：等 腰 三 角 形是 轴 对 称图 形 ，有 性质 ____1____条对称轴．
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|针对训练| 1．【2017·株洲】如图 18－5，在△ABC 中，∠BAC＝x，∠ B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD 的度数是( B ) A．145° B．150° C．155° D．160°
A．6 B．3 C．2 D．11 2.[2016·怀化] 等腰三角形的两边长分别为 4 cm 和 8 cm， 则它的周长为( C )
A．16 cm B．17 cm C．20 cm D．16 cm 或 20 cm
[方法模型]
涉及三角形三边的不等关系(guān xì)时，常常根据三边的不等关系
(guān xì)定理建立不等式(组)，通过解不等式(组)求出其中字母的取值
图 18－1
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第四单元┃ 图形的初步(chūbù)认识与三角形
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考点 1 三角形的分类 1．按角分：
直角三角形 三角形斜三角形钝锐角角三三角角形形 2．按边分：
不等边三角形 三角形 等腰三角形底 等边 边和 三腰 角不 形相等的等腰三角形
1．定义：三边都相等(xiāngděng)的三角形叫作等边三角形． 2．性质：等边三角形的各角都______，相并等且每一个角都等于________
；等边6三0°角形是轴对称图形，有________条对称轴． 3 3．判定：(1)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(2)有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形．
图 18－3 |针对训练| [2017·达州]△ABC 中，AB＝5，AC＝3，AD 是△ABC 的中 线，设 AD 长为 m，则 m 的取值范围是__1＜__m_＜__4_．
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第四单元┃ 图形的初步(chūbù)认识与三角形
[解析] 如图，延长 AD 至点 E，使 DE＝AD，连接 EC，∵BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ ABD≌△ECD，∴CE＝AB，∴在△ACE 中，AC＝3， CE＝5，设 AD＝m，则 AE＝2m，∴2＜2m＜8，∴ 1＜m＜4，故答案为 1＜m＜4.
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第四单元(dānyuán)┃ 图形的初步认识与三角形
考点7 命题(mìng tí)、定义、定理、基本事实
定义 命题 定理
对一个概念的含义加以描述说明或作出明确规 定的语句叫作这个概念的定义 (1)命题的概念：一般地，对某一件事情作出判 断的语句(陈述句)叫作命题． (2)命题的真假：正确的命题称为真__命_题__(_mì_ng_t_í)_； 错误的命题称为___假_命__题____． (3) 命 题 的 组 成 ： 每 个 命 题 都 由 __条__件____ 和 ____结_论___两个部分组成 除公理以外，其他真命题的正确性都要经过推理 的方法证实，推理的过程称为__证__明____．经过证 明的真命题称为___定_理____
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考点 4 三角形的内角和定理及推论
定理 推论 拓展
三角形的内角和等于___1_8_0°___ (1)三角形的一个外角等于和它不_相_邻__的__两_个(liǎnɡ ɡ_è)_内_角
的和 (2)三角形的一个外角大于任何一个和不它相__邻__(x_i_ān_ɡ _lín)
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图18－4
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第四单元┃ 图形的初步(chūbù)认识与三角形
解：(1)∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－70°－30°＝80°，
1 ∵AE 平分∠BAC，∴∠BAE＝2∠BAC＝40°； (2)∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°， 而∠ADE＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝90°－∠B＝90°－70 °＝20°， ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝40°－20°＝20°；
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(3)能．∵∠B＋∠C＋∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C，
∵AE 平分∠BAC，
1
1
1
∴ ∠ BAE ＝ 2 ∠BAC ＝ 2 (180 ° － ∠B － ∠C) ＝ 90 ° － 2
[方法模型]中位线的作用主要有两个：(1)用于证明直线(线段)的
平行关系；(2)用于证明线段的数量关系(一半)．已知条件中有中点这 一信息时，要考虑连接中线或中位线，而有中线这一信息时，要考虑将 中线延长一倍．我们可以(kěyǐ)归纳为“见中点，连中线；见中线，长一 倍”．
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探究2 三角形中的重要线段 命题角度： 1. 识别三角形的中线、角平分线、高线； 2. 利用三角形的中位线、中线、高、角平分线的性质 进行计算． 例 2 (1)[2015·长沙] 如图 18－2，过△ABC 的顶点 A， 作 BC 边上的高，则以下作法正确的是( A )
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探究1 三角形三边的关系
命题角度 (1)根据线段的长度判断能否构成三角形； (2)利用三角形三边的关系建立不等式判断第三边的取 值范围； (3)利用三角形三边关系求等腰三角形的周长． 例 1 【2017·金华】下列各组数中，不可能成为一个三角 形三边长的是( C ) A．2，3，4 B．5，7，7 C．5，6，12 D．6，8，10
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探究3 三角形的内角和与外角的性质
命题角度： 1．利用内角和和外角进行角度的计算； 2．根据条件判断三角形的形状．
例 3【2017·常德模拟】如图 18－4，在△ABC 中，AD⊥BC， AE 平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.求： (1)∠BAE 的度数； (2)∠DAE 的度数； (3)探究：小明认为如果条件∠B＝70°，∠C＝30°改成 ∠B－∠C＝40°，也能得出∠DAE 的度数，你认为能吗？ 若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．
[解析] ∵5＋6＜12，∴长为5，6，12的三条线段(xiànduàn)不能组成一个 三角形．
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|针对(zhēnduì)训练|
1.[2016·长沙] 一个三角形的两边长分别为 3 和 7，则第三 边长可能是( A )
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(2)[2015·衡阳] 如图 18－3 所示，小明为了测量学校里一 池塘的宽度 AB，选取可以到达 A，B 两点的点 O，再分别取 OA，OB 的中点 M，N，量得 MN＝20 m，则池塘的宽度 AB 为 ____4_0 ___m.
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4．[八上 P63－练习第 2 题改编] 如图 18－1，点 P 为等 边三角形 ABC 的 BC 边上一点，且∠APD＝80°，AD＝AP，则∠CPD 的度数是___2_0_°___．
的内角 (3)直角三角形的两个锐角___互__余___ (4)三角形的外角和等于____3_60_°__
在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两 个锐角，最多有一个钝角，最多有一个直角
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考点 2 与三角形有关的重要线段
重要线段
三角形 的内角 平分线
图形
性质 三角形的三条内角平分 线相交于三角形内一点， 它到三角形三__边_(_s_ān_b_iā_n的 ) 距离相等，这点叫作三角 形的内心，内心与任意一 顶点的连线平分该内角
角形____外____部 (1)三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半； (2)经过三角形一边的中点，平行于
另一边的直线必然平分第三边
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考点 3 三角形三边的不等关系 定理：(1)三角形的任意两边之和__大__于____第三边；三角 形的任意两边之差___小__于___第三边． (2)直角三角形中，斜边___大_于____任何一条直角边．
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(续表) 三角形 的中线
三角形 的高
三角形 的中位
线
(1)三角形的任何一条中线都平分三 角形的面积；
(2)三角形三条中线相交于三角形内 一点，这点叫作三角形的重心
(1)锐角三角形三条边上的高相交于 三角形___内___部；(2)直角三角形三 边的高相交于直_角__(_zh_íj_iǎ_o)_顶__点；(3)钝角 三角形三条高所在的直线相交于三
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1．[八上 P97 复习题 2 第 1 题] 若某三角形的两边长分 别为 3 和 4，则下列长度的线段能作为其第三边的是( B )
【提示】 不要混淆(hùnxiáo)等腰三角形的性质与判定，由边相等 得到角相等是等腰三角形的性质，由角相等得到边相等是等腰 三角形的判定．
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考点6 等边三角形的性质(xìngzhì)与判定
(3)三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底
边并且垂直于底边，即等腰三角形的顶角平分
线、底边上的中线、底边上的高互相重合
判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角
等角对等边
所对的边也相等，简称______ __
12/9/2021
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考向探究
第四单元┃ 图形(túxíng)的初步认识与三角形
(∠B＋∠C)，
∵AD⊥BC，∴∠ADE＝90°，
而∠ADE＝∠B＋∠BAD，∴∠BAD＝90°－∠B，
1 ∴∠DAE＝∠BAE－∠BAD＝90°－2(∠B＋∠C)－(90
1 °－∠B)＝2(∠B－∠C)，
1 ∵∠B－∠C＝40°，∴∠DAE＝2×40°＝20°.
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