湖北省襄阳市第五中学2016届高三数学5月模拟考试试题(二)文(含解析)

湖北省襄阳市第五中学2016届高三数学5月模拟考试试题（二）文（含
解析）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.若集合{|||1,}A x x x R =≤∈，2{|,}B y y x x R ==∈，则A
B =（ ）
A.{|11}x x -≤≤
B.{|0}x x ≥
C. {}|01x x ≤≤
D.φ 【答案】C 【解析】
试题分析：由题得:{}{}{}|11,|0,|01A x x B y y A B x x =-≤≤=≥∴=≤≤，故选C.
考点：1、集合的表示；2、集合的交集.
2.在面积为S 的ABC ∆内部任取一点P ，则PBC ∆面积大于4
S
的概率为（ ） A ．14 B ．3
4 C ．49
D ．916
【答案】D
考点：几何概型概率公式.
【方法点睛】本题題主要考查“面积”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类
型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题题的总面积以及事件的面积 ；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本裏件对应的区域测度把握不准导致错误 ；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误. 3.设x ,y ,z 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ）
A.22
11
x x x x
+
+≥C.1
||2x y x y
-+-≥ D.||||||x y x z y z --+-≤ 【答案】C
考点：1、基本不等式证明不等式；2、单调性证明不等式及放缩法证明不等式. 4.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=b ，6
π
=B ，4
π
=
C ，则A B C
∆的面积为（ ）
A. 232+
B.13+
C.232-
D.13- 【答案】B 【解析】
试题分析：
2,,,6
4
b B C π
π
==
=
∴由正弦定理
sin sin b c
B C
=
得
2sin 72,1sin 122
b C
c A B
π=
===
sin sin cos cos 21212344A πππππ⎛⎫⎛⎫
=+==-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
11
sin 222ABC S bc A ∆==⨯⨯
1=,故选B.
考点：1、正弦定理；2、三角形面积公式.
5.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λα＋μb （λ，μ∈R），则λμ
＝（ ） A ．－8 B ．－4
C
． 4
D ．2
【答案】C
考点：1、向量的几何运算；2、向量的坐标运算.
6.设∈x R,则“b a =”是“b x a x x f ++=)()(为奇函数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
第5题
【答案】B 【解析】
试题分析：因为1a b ==时，()()11f x x x =++，()()f x f x =-不恒成立，“b x a x x f ++=)()(为奇函数”，则必有()()f x f x =-，可得0a b ==，所以“b a =”是“b x a x x f ++=)()(为奇函数”的必要而不充分条件，故选B. 考点：1、函数的奇偶性；2、充分条件与必要条件.
7.设当x ＝θ时，函数f （x ）＝2cosx －3sinx 取得最小值，则tan θ等于（ ） A ．23 B ．－23 C ．－3
2
D ．
32
【答案】C 【解析】
试题分析：因为当x θ=时，函数 ()2cos 3sin f x x x =-取得最小值，所以
222cos 3sin 23θθ=-+
=()2
3cos 2sin 0θθ+= ，3tan 2
θ=-，故选C.
考点：1、三角函数的有界性；2、同角三角函数之间的关系.
8.已知双曲线122
22=-b y a x （0,0>>b a ）的左、右焦点分别为21F F 、,其一条渐近线为
02=+y x ,点M 在双曲线上,且x MF ⊥1轴,若2F 同时为拋物线x y 122=的焦点,则1F 到直线M F 2的距离为（ ）
A. 563
B.665
C.
65
D.5
6
【答案】D
考点：1、双曲线的几何性质；2、双曲线的定义.
9.设点(),a b 是区域4000x y x y +-≤⎧⎪
>⎨⎪>⎩内的任意一点，则使函数()223f x ax bx =-+在区间
1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
上是增函数的概率为（ ） A.13 B.23 C.
1
2
D.
14
【答案】A
考点：1、二次函数的性质；2、线性规划及几何概型概率公式. 10.已知数列{}n a 满
*3
12ln ln ln ln 32....()258312
n a a a a n n N n +⋅⋅⋅=∈-,则10a =（ ） A ．26e B ．29e C ．32e D ．35e 【答案】C 【解析】
试题分析：数列
{}
n a 满足
()3
12ln ln ln ln 3n 2 (258312)
n a a a a n N n *+=∈-,可知3
112ln ln ln ln (25834)
n a a a a n --
3n 12-=
，两式作商可得:ln 23n 2313131
2
n a n n n +==---, 可得32
10ln 32,n a n a e =+=,故选C. 考点：数列通项公式的应用.
11.某四面体的三视图如图，则该四面体四个面中最大的面积是（ ）
A.2 B
．
C.D
．
【答案】D
考点：1、几何体的三视图；2、三角形的面积公式.
【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，有时还需要将不规则几何体补形成常见几何体，来增加直观图的立体感.
12.已知函数2
(),()ln(1),f x x ax g x b a x =-=+-存在实数(1),a a ≥使()y f x =的图像与
()y g x =的图像无公共点，则实数b 的取值范围为（ ）
A.(],0-∞
B.3,
ln 24⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭ C.3ln 2,4⎡⎫
++∞⎪⎢⎣⎭
D.31,
ln 24⎡⎫
+⎪⎢⎣⎭
【答案】B
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.
【方法点晴】本题主要考查利用导数函数的单调性、求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数()a f x ≤恒成立(min ()a f x ≤即可)或
()a f x ≥恒成立
（max ()a f x ≥即可）；②数形结合；③讨论最值min ()0f x ≥或max ()0f x ≤恒成立；④讨论参数.本题是利用方法①求得b 的取值范围的.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．） 13.若
11z i
i i
+=
-（i 为虚数单位），则复数z 的值为 . 【答案】2i - 【解析】 试题分析：因为
11z i
i i +=-，所以()()2
11222i i i z i i i i
-+====-，故答案为2i -. 考点：复数的运算.
14.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 .
【答案】6-
考点：1、程序框图；2、循环结构.
15.将高三（1）班参加体检的36名学生编号为：1,2,3,
,36，若采用系统抽样的方法抽取
一个容量为4的样本，已知样本中含有编号为6号、24号、33号的学生，则样本中剩余一名
学生的编号是 . 【答案】15 【解析】
试题分析：因为33249,24618-=-=，所以样本中剩余一名学生的编号在6,24之间，设其编号为x ，则 246,15x x x -=-=，故答案为15. 考点：系统抽样的应用.
【方法点晴】本题主要考查等差数列的应用以及系统抽样方法的应用，属于中档题.系统抽样是总体较大时抽取样本的主要方法，基本步骤是：（1）先将总体编号；（2）确定分段间隔k ；（3）在第一段用简单随机抽样确定第一个个体编号l ；（4）按照一定的规则抽取样本，通常是将l 加上间隔k ，得到第二个个体编号l k +…,依次进行下去，直到获取整个样本. 16.已知球O 的表面积为25π，长方体的八个顶点都在球O 的球面上，则这个长方体的表面积的最大值等于______. 【答案】50
考点：1、基本不等式的应用；2、长方体及球的表面积.
【方法点晴】本题主要考查多面体的外接球的性质 、长方体的表面积、球的表面积公式及基本不等式求最值，属于难题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.本题求长方体的表面积取得最大值，正是利用不等式等号成立的条件得到其为正方体时最大的.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分12分）已知函数)4
tan()(π
ω+=x x f （0>ω）的最小正周期为
2
π
. （1）求ω的值及函数)(x f 的定义域；
（2）若3)2
(=α
f ，求α2tan 的值.
【答案】（1）2ω=,,28k x k Z ππ≠+∈；
（2）3
4
. 【解析】 试题分析：（1）由
2ππω=可得2ω=，由242x k πππ+≠+，得定义域为,28
k x k Z ππ≠+∈；（2）由()32
f α
=得1
tan 2
α=
，再由正切函数的二倍角公式可得α2tan 的值. 试题解析：因为函数)(x f 的最小正周期为
2
π，
所以2πωπ==T ，解得2=ω.令πππk x +≠+242，Z k ∈，所以28ππk x +≠，Z k ∈，
所以
)(x f 的定义域为R x ∈{|2
8
ππ
k x
+
≠
，}Z k ∈； （2）解：因为3)2(=αf ，即3)4tan(=+πα，3tan 11tan =-+αα，解得21tan =α，α2tan 3
4=.
考点：1、正切函数的性质；2、正切函数的二倍角公式.
18.(本题满分12分) 某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5月的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下数据：
（1）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为n m ,，求事件“n m ,均不小于25”的概 率；
（2）请根据3月2日至3月4日的三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x b y
ˆˆˆ+=； （3）若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归
方程是可靠的，试用3月1日与3月5日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：(
)()
()
1
2
1
b i n
i i i i n
i
i x x y y
x x ====-⋅-=
-∑∑或2
1
21
ˆx
n x y
x n y
x b
n
i i n
i i
i --=∑
∑==，x b y a
-=ˆ） 【答案】（1）
310；（2）5
32
y x =-；（3）可靠 .
试题解析：（1）n m ,的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个 设“n m ,均不小于25”为事件A ，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26） 所以103)(=
A P ，故事件A 的概率为10
3 （2）由数据得27,12x ==y ，9723=y x ，9773
1
=∑=i i i y x ，4343
1
2=∑=i i x ，43232
=x
由公式，得25432434972977ˆ=--=b
，3122
5
27ˆ-=⨯-=a
所以y 关于x 的线性回归方程为325ˆ-=x y （3）当10=x 时，22ˆ=y ，|22-23|2<，当8=x 时，,17ˆ=y |17-16|2<， 所以得到的线性回归方程是可靠的。

考点：1、古典概型概率公式；2、回归方程的求法.
19.（本题满分12分）如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2=AB ，11==CC BC ，点P 是棱CD 上的一点，λ=DP ． （1）当2
3
=
λ时，求证：⊥C A 1平面1PBC ； （2）当直线C A 1与平面1PBC 所成角的正切值为22时，求λ的值．
【答案】（1）证明见解析；（2）1=λ.
A
B
C
D P
1
A 1
B 1
C 1
D
考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、直线与平面所成的角.
20.(本题满分12分)
定圆22:(16,M x y +=动圆N
过点0)F 且与圆M 相切,记圆心N 的轨迹为.E （1）求轨迹E 的方程；
（2）设点,,A B C 在E 上运动，A 与B 关于原点对称，且AC BC =,当ABC ∆的面积最小时，求直线AB
A
1
A
的方程.【答案】（1）2
214
x y +=；（2）y x =或y x =-. 【解析】
将上式中的k 替换为1k
-，得22
24(1).4k OC k +=
+
2
4(121ABC AOC
S S OA OC ∆∆====
2222
(14)(4)5(1)8
(14,225
ABC k k k k S ∆+++++=≥，
当且仅当22
144k k +=+，即1k =±时等号成立，此时ABC ∆面积最小值是
85
. 8
2,5
ABC >∴∆面积最小值是85，此时直线AB 的方程为y x =或.y x =-
考点：1、定义法求轨迹方程；2、三角形面积公式基本不等式求最值.
【方法点晴】本题主要考查定义法求轨迹方程、三角形面积公式基本不等式求最值，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标(),x y ，根据题意列出关于,x y 的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把,x y 分
别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将()()00
x g x y h x =⎧⎪⎨=⎪⎩代入()00,0f x y =.本题（1）
就是利用方法②求轨迹E 的方程的.
21.(本题满分12分) 函数2
()ln ,(),f x x g x x x m ==-- （1）若函数()()()F x f x g x =-，求函数()F x 的极值；
（2）若2()()(2)x
f x
g x x x e +<--在(0,3)x ∈恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】（1）极大值为m ，无极小值；（2）)
3
ln33,e ⎡+-+∞⎣.
考点：1、利用导数研究函数的极值及最值；2、不等式恒成立问题.
【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性、求函数的极值以及不等式恒成立问题，属于难题.求函数()f x 极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()f x '；(3)解方程()0,f x '=求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查()f x '在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()f x 在0x 处取极小值.
请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图，正方形ABCD 边长为2，以A 为圆心，DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连
结BF 并延长交CD 于点E . （1）求证：E 为CD 的中点； （2）求FB EF ⋅的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）4
5
. 【解析】
试题分析：（1）分别利用切割线定理可得2ED EF EB =⋅，2EC EF EB =⋅，进而可得
EC ED =即E 为CD 的中点；（2）由射影定理得2EF FB CF ⋅=，再由面积相等得
BC CE BE CF ⨯=⨯，进而得CF =
，即可得结果.
考点：1、切割线定理；2、三角形面积公式. 23.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
平面直角坐标系xOy 中，曲线1)1(:2
2
=+-y x C .直线l 经过点)0,(m P ，且倾斜角为6
π.以O 为极点，
以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.
（1）写出曲线C 的极坐标方程与直线l 的参数方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于B A ,两点，且1=⋅PB PA ，求实数m 的值.
【答案】（1）22cos ρρθ=
，12
x m y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；（2）1
，1+
1 【解析】
试题分析：（1）2
2
2
2
(1)1,2,x y x y x -+=+=再利用2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===，
即可得曲线C 的极坐标方程，根据直线l 经过点)0,(m P ，且倾斜角为6
π
直接写出直线l 的参数方程；（2）可利用直线参数方程中的参数t 的几何意义求解.
试题解析：C 曲线的普通方程为:2222(1)1,2,x y x y x -+=+=即即2
2cos ρρθ=,
:2cos C ρθ=即曲线的极坐标方程为
，2().12
x m l t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩直线的参数方程为为参数 (2)12,,,A B t t l 设两点对应的参数分别为将直线的参数方程代入2
2
2,x y x +=中
2220,t t m m ++-=得2122t t m m =-所以
, 2|2|1,1,11m m m -==+由题意得得
考点：1、直角坐标方程化极坐标方程；2、直线的参数方程及其几何意义. 24.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数)(6)(R m x m x x f ∈--+=. （1）当3=m 时，求不等式5)(≥x f 的解集；
（2）若不等式7)(≤x f 对任意实数x 恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）{}|1x x ≥；（2）[13,1]-.
考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值.。