【高中数学】立体几何(线线、线面、面面成角)解答题C

C
1.在四棱锥V －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD ⊥底面ABCD ．
（Ⅰ）证明AB ⊥平面VAD ．
（Ⅱ）求面VAD 与面VDB 所成的二面角的大小．
1．证明：（Ⅰ）作AD 的中点O ，则VO ⊥底面ABCD ．
建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为1，
则A （
12，0，0），B （12，1，0），C （－12
，1，0）， D （－
1
2
，0，0），V （0，0
，
∴
1(0,1,0),(1,0,0),(2AB AD AV ===-由
(0,1,0)(1,0,0)0AB AD AB AD ⋅=⋅=⇒⊥
13
(0,1,0)(,0,)022
AB AV AB AV ⋅=⋅-=⇒⊥
又AB ∩AV ＝A
∴AB ⊥平面VAD
（Ⅱ）由（Ⅰ）得(0,1,0)AB =是面VAD 的法向量
设(1,,)n
y z =是面VDB
的法向量，则
110(1,,)(,1,0(1,1,230(1,,
)(1,1,0)0x n
VB y z n z
n BD y z =-⎧⎧⎧⋅=⋅-=⎪⎪⎪
⇒⇒⇒=-⎨⎨⎨=⋅=⎪⎪⎪⎩⋅
--=⎩⎩
∴(0,1,0)(1,cos ,7AB n ⋅-<>=
=-
，
又由题意知，面VAD 与面VDB 所成的二面角，所以其大小为arccos
7
2.如图1，已知ABCD 是上、下底边长分别是2和6，高为3的等腰梯形．将它沿对称轴OO 1折成直二面
角，如图2．
（Ⅰ）证明AC ⊥BO 1；
（Ⅱ）求二面角O －AC －O 1的大小． 2．解法一
（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，
OB ⊥OO 1.
所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角， 即OA ⊥OB. 故可以O 为原点，OA 、OB 、OO 1
所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系， 如图3，则相关各点的坐标是A （3，0，0），
B （0，3，0），
C （0，1，3） O 1（0，0，3）. 从而.0333),3,3,0(),3,1,3(11=⋅+-=⋅-=-=BO AC BO AC
所以AC ⊥BO 1.
（II ）解：因为,03331=⋅+-=⋅OC BO 所以BO 1⊥OC ，
由（I ）AC ⊥BO 1，所以BO 1⊥平面OAC ，1BO 是平面OAC 的一个法向量. 设),,(z y x n =是0平面O 1AC 的一个法向量， 由,3.
0,033001=⎩⎨⎧==++-⇒⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅z y z y x C O n AC n 取 得)3,
0,1(=n .
设二面角O —AC —O 1的大小为θ，由n 、1BO 的方向可知=<θn
所以cos <=cos θn ，1BO .43||||1=⋅BO n BO n
即二面角O —AC —O 1的大小是.4
3arccos
解法二
（I ）证明 由题设知OA ⊥OO 1，OB ⊥OO 1，所以∠AOB 是所折成的直二面角的平面角， 即OA ⊥OB. 从而AO ⊥平面OBCO 1， OC 是AC 在面OBCO 1内的射影.
A
B
O
C
O 1
D
图3
因为3tan 1
1
==∠OO OB B OO 3
3tan 1
11==∠OO C O OC O ，
所以∠OO 1B=60°，∠O 1OC=30°，从而OC ⊥BO 1 由三垂线定理得AC ⊥BO 1.
（II ）解 由（I ）AC ⊥BO 1，OC ⊥BO 1，知BO 1⊥平面AOC.
设OC ∩O 1B=E ，过点E 作EF ⊥AC 于F ，连结O 1F （如图4），
则EF 是O 1F 在平面AOC 内的射影，由三垂线定理得O 1F ⊥AC. 所以∠O 1FE 是二面角O —AC —O 1的平面角. 由题设知OA=3，OO 1=3，O 1C=1，
所以13,3221212121=+==+=C O A O AC OO OA A O ，
从而13
32111=
⋅=
AC C O A O F O ， 又O 1E=OO 1·sin30°=23
，
所以.4
13
sin 111==
∠F O E O FE O 即二面角O —AC —O 1的大小是.43arcsin 3.如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2． （1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；
（2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；
（3）在BC 边上是否存在一点G ，使得D 点到平面PAG 的距离为1，若存在，求出BG 的值；若不存
在，请说明理由．
3．解：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为x 轴、y 轴，AP 所在直线为z 轴建立空间直角坐标
系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(12，0，)，D(0，2，0)，E(0，1，1
2)，P(0，0，1)．
∴CD ＝(－1，0，0)，AD ＝(0，2，0)，AP ＝(0，0，1)，AE ＝(0，1，1
2
) ，PC ＝(1，2，－1)，
(1) 00CD AD CD AD CD PAD CD AP CD AP CD PDC AP AD A ⎫
=⇒⊥⎪⊥⎫⎪=⇒⊥⇒⇒⎬⎬⊂⎭
⎪
=⎪⎭平面平面平面
PDC ⊥平面PAD (2)∵
cos ,||||AE PC
AE PC AE PC 〈〉=＝2－121+14
·6
＝3010，
P
A B D
E
∴所求角的余弦值为
3010
． (3)假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，令BG ＝x ，则G(1，x ，0)，作DQ ⊥AG ，则DQ ⊥平面PAG ，即DQ ＝1．∵2S △ADG ＝S 矩形ABCD ，
∴||||||||AG DQ AB AD ＝2∴||AG ＝2，又AG ＝x 2
+1，∴x ＝3<2，
故存在点G ，当BG ＝3时，使点D 到平面PAG 的距离为1．
4.如图，已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，侧棱A 1A 与AB 、AC 均成45°角，且A 1E ⊥B 1B 于E ，A 1F ⊥CC 1于F ．
⑴求证：平面A 1EF ⊥平面B 1BCC 1； ⑵求直线AA 1到平面B 1BCC 1的距离；
⑶当AA 1多长时，点A 1到平面ABC 与平面B 1BCC 1的距离相等．
4．解：⑴CC 1∥BB 1，又BB 1⊥A 1E ，∴CC 1⊥A 1E ，而CC 1⊥A 1F ，∴CC 1⊥平面A 1EF ，∴平面A 1EF ⊥平面B 1BCC 1 ⑵作A 1H ⊥EF 于H ，则A 1H ⊥面B 1BCC 1，∴A 1H 为A 1到面B 1BCC 1的距离，在△A 1EF 中，A 1E ＝A 1F ＝2，
EF ＝2，∴△A 1EF 为等腰Rt △且EF 为斜边，∴A 1H 为斜边上中线，可得A 1H ＝1
2EF ＝1
⑶作A 1G ⊥面ABC 于G ，连AG ，则A 1G 就是A 1到面ABC 的距离，且AG 是∠BAC 的角平分线，A 1G ＝1 ∵cos ∠A 1AG ＝cos45°cos30°＝63，∴sin ∠A 1AG ＝33，∴A 1A ＝1
3
3
＝1
5.如图，甲、乙是边长为4a 的两块正方形钢块，现在将甲裁剪焊接成一个正四棱柱，将乙裁剪焊接成
一个正四棱锥，使它们的全面积等于一个正方形的面积（不计焊接缝的面积） （1）将你的裁剪方法用虚线标示在图中，并作简要的说明；
（2）试比较你所制作的正四棱柱与正四棱锥体积的大小，并证明你的结论。

、
5．（1）将正方形甲按图中虚线剪开，以两个正方形为底面，四个长方形为侧面，焊接成一个底面边长为2a ，高为a 的正四棱柱。

将正方形乙按图中虚线剪开，以两个长方形焊接成边长为2a 的正方形为底
面，三个等腰三角形为侧面，两个直角三角形合拼成为一个侧面，焊接成一个底面边长为2a ，斜高为3a 的正四棱锥。

A B C A 1
C 1 F
E B 1 乙
（2）∵正四棱柱的底面边长为2a ，高为a ，∴其体积为V 柱=2
3(2)4a a a ⋅=，
又∵正四棱锥的底面边长为2a ，高长=
22(3)22a a a -=，
∴其体积为V 锥=23182(2)2233a a a ⋅⋅=， 2282128164(
)160399-=-=>，即8243>， 33
8243
a a ∴>
，即V 柱>V 锥 故所制作的正四棱柱的体积比正四棱锥的体积大。

6.已知a =（cosα，sinα）,b =（cosβ,sinβ）(0<α<β<π)，
（1）求证： a +b 与a -b 互相垂直；
（2）若k a +b 与a -k b 的大小相等(k ∈R 且k ≠0)，求β－α 6（1）证法一：∵a =（cosα，sinα）,b =（cosβ,sinβ）
∴a +b ＝（cosα+cosβ，sin α+ sinβ）, a -b ＝（cosα-cosβ，sinα- sinβ） ∴(a +b )·(a -b )=（cosα+cosβ，sinα+ sinβ）·（cosα-cosβ，sinα- sinβ）
=cos 2α-cos 2β+sin 2α- sin 2
β=0
∴(a +b )⊥(a -b )
证法二：∵a =（cosα，sinα）,b =（cosβ,sinβ） ∴|a |＝1，|b |＝1
∴(a +b )·(a -b )= a 2-b 2=|a |2-|b |2
=0 ∴(a +b )⊥(a -b ) 证法三：∵a =（cosα，sinα）,b =（cosβ,sinβ）∴|a |＝1，|b |＝1,
记OA ＝a ，OB ＝b ，则|OA |＝|OB |=1, 又α≠β，∴O 、A 、B 三点不共线。

由向量加、减法的几何意义，可知以OA 、OB 为邻边的平行四边形OACB 是菱形，其中OC ＝a +b ，BA ＝a -b ，由菱形对角线互相垂直，知(a +b )⊥(a -b ) （2）解：由已知得|k a +b |与|a -k b |,
又∵|k a +b |2＝(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=k 2
+1+2kcos (β－α),
|k a +b |2＝(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=k 2
+1-2kcos (β－α), ∴2kcos (β－α)= -2kcos (β－α) 又∵k ≠0 ∴cos (β－α)＝0
∵0<α<β<π ∴0<β－α<π, ∴β－α=
2
π 7.已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，⊥=∠PA DAB ,90
底面ABCD ，且PA=AD=DC=
2
1
AB=1，M 是PB 的中点。

（Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ； （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角；
（Ⅲ）求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小。

7、方案一：
（Ⅰ）证明：∵PA ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ， ∴由三垂线定理得：CD ⊥PD.
因而，CD 与面PAD 内两条相交直线AD ，PD 都垂直， ∴CD ⊥面PAD.
又CD ⊂面PCD ，∴面PAD ⊥面PCD.
（Ⅱ）解：过点B 作BE//CA ，且BE=CA ， 则∠PBE 是AC 与PB 所成的角.
连结AE ，可知AC=CB=BE=AE=2，又AB=2，
所以四边形ACBE 为正方形. 由PA ⊥面ABCD 得∠PEB=90° 在Rt △PEB 中BE=2，PB=5， .5
10
cos ==
∠∴PB BE PBE .5
10
arccos
所成的角为与PB AC ∴ （Ⅲ）解：作AN ⊥CM ，垂足为N ，连结BN. 在Rt △PAB 中，AM=MB ，又AC=CB ， ∴△AMC ≌△BMC,
∴BN ⊥CM ，故∠ANB 为所求二面角的平面角. ∵CB ⊥AC ，由三垂线定理，得CB ⊥PC ， 在Rt △PCB 中，CM=MB ，所以CM=AM. 在等腰三角形AMC 中，AN ·MC=AC AC CM
⋅-2
2
)2
(
， 5
6
2
5223
=⨯=∴AN . ∴AB=2，32
2cos 222-=⨯⨯-+=
∠∴BN AN AB BN AN ANB 故所求的二面角为).3
2
arccos(-
8.如图，在底面是菱形的四棱锥P —ABC Ｄ中，
∠ABC=600
，PA=AC=a ，PB=PD=a 2,点E 在PD 上，且PE:ED=2:1.
（1）证明PA ⊥平面ABCD ；
（2）求以AC 为棱，EAC 与DAC 为面的二面角θ的大小；
（3）在棱PC 上是否存在一点F ，使BF//平面AEC ？证明你的结论.
8.证明： （Ⅰ） 因为底面ABCD 是菱形，∠ABC=60°，
P
A
E
所以AB=AD=AC=a ， 在△PAB 中， 由PA 2
+AB 2
=2a 2
=PB 2
知PA ⊥AB.
同理，PA ⊥AD ，所以PA ⊥平面ABCD （Ⅱ）解 作EG//PA 交AD 于G ， 由PA ⊥平面ABCD.
知EG ⊥平面ABCD.作GH ⊥AC 于H ，连结EH ，则EH ⊥AC ，∠EHG 即为二面角θ的平面角. 又PE : ED=2 : 1，所以.3
360sin ,32,31a AG GH a AG a EG =︒===
从而 ,3
3
tan ==
GH EG θ .30︒=θ （Ⅲ） 当F 是棱PC 的中点时，BF//平面AEC ，证明如下， 证法一 取PE 的中点M ，连结FM ，则FM//CE. ① 由 ,2
1
ED PE EM ==
知E 是MD 的中点. 连结BM 、BD ，设BD ⋂AC=O ，则O 为BD 的中点. 所以 BM//OE. ②
由①、②知，平面BFM//平面AEC. 又 BF ⊂平面BFM ，所以BF//平面AEC. 证法二因为 )(2
1
21DP CD AD CP BC BF ++=+
= .2
123)
(2
3
)(212321AC AE AD AE AC AD AD DE CD AD -=-+-+=++=
所以 BF 、AE 、AC 共面. 又 BF ⊄平面ABC ，从而BF//平面AEC.
9.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，给定两点A （1，0）、B （0，
－2），点C 满足αβα其中,OB OA OC +=、12,=-∈βαβ且R
（1）求点C 的轨迹方程；
（2）设点C 的轨迹与双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 交于两点M 、N ，且以MN 为直径的圆过原点，
求证：
为定值221
1b
a -. 9.解答：（1）解：设)2,0()0,1(),(,),,(-+=+=βαβαy x OB OA OC y x C 则因为
1122=+∴=-⎩⎨
⎧-==∴y x y x βαβ
α
即点C 的轨迹方程为x+y=1
10.两个全等的正方形ABCD 和ABEF 所在平面相交于AB ，M ∈AC ，N ∈FB ，且AM =FN ，求证：MN ∥平面BCE .
证法一：作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，则MP ∥AB ，NQ ∥AB . ∴MP ∥NQ ，又AM =NF ，AC =BF ， ∴MC =NB ，∠MCP =∠NBQ =45°
∴Rt △MCP ≌Rt △NBQ ∴MP =NQ ,故四边形MPQN 为平行四边形 ∴MN ∥PQ
∵PQ ⊂平面BCE ，MN 在平面BCE 外， ∴MN ∥平面BCE .
证法二：如图过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH ∥BC ， ∴
AB
AH
AC AM =
连结NH ，由BF =AC ，FN =AM ，得
AB
AH
BF FN =
∴MN ∥平面BCE .。