2018学年高中数学选修4-1课件：第二讲2.2圆内接四边形的性质与判定定理 精品

归纳升华 常用的判定四点共圆的方法有： 1．如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共 圆． 2．如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边 形的四个顶点共圆．
3．如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么这个四边形的四个顶点共圆．
[迁移探究 1] (改变问法)典例 2 条件不变，试证明 G，B，C，F 四点共圆．
[变式训练] 如图所示，已知四边形 ABCD 内接于圆，延长 AB 和 DC 相交于 E，EG 平分∠BEC，且与 BC、AD 分别 相交于 F、G.
求证：∠CFG＝∠DGF. 证明：因为四边形 ABCD 是圆内接四边形，
所以∠ECF＝∠EAG.
又因为 EG 平分∠BEC， 即∠CEF＝∠AEG， 所以△EFC∽△EGA. 所以∠EFC＝∠EGA. 而∠EGD＝180°－∠EGA， ∠CFG＝180°－∠EFC， 所以∠CFG＝∠DGF.
1．圆内接多边形的定义 如果多边形的所有顶点都在一个圆上，那么这个多 边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆． 2．圆内接四边形的性质定理 定理 1：圆内接四边形的对角互补． 定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．
3．圆内接四边形的判定定理 如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四 个顶点共圆． 4．判定定理的推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么 这个四边形四个顶点共圆． 温馨提示 圆内接四边形判定定理及推论为证明四
证明：如图所示，连接 EF，
因为四边形 ABCD 为平行 四边形，所以∠B＋∠C＝180°.
因为四边形 ABFE 内接于圆， 所以∠B＋∠AEF＝180°， 所以∠AEF＝∠C， 所以 C、D、E、F 四点共圆．
1．当题目中出现圆内接四边形时，首先利用圆内接 四边形性质定理，再结合其他条件进行推理和证明．
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知四边形 ABCD 是圆内接四边形，下列结论中
正确的有( )
①如果∠A＝∠C，则∠A＝90° ②如果∠A＝∠B，
则四边形 ABCD 是等腰梯形 ③∠A 的外角与∠C 的外
角互补 ④∠A∶∠B∶∠C∶∠D 可以是 1∶2∶3∶4
A．1 个
B．2 个
C．3 个
所以∠ACB＝∠CAD＋∠ADC＝2∠CAD.(4 分) 又因为 AB＝AC， 所以∠ABC＝∠ACB＝2∠CAD. 因为∠CAD＝∠EBC， 所以∠ABC＝2∠EBC， 所以 BE 平分∠ABC.(6 分)
(2)连接 EC，由(1)知 BE 平分∠ABC， 所以 E 是A︵C的中点， 所以 AE＝EC＝6， 又∠EBC＝∠CAD＝∠ADC， 所以 DE＝BE＝8.(8 分)
点共圆提供两个方法．
[思考尝试·夯基]
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意三角形都有外接圆，但可能不止一个．( ) (2)矩形有唯一的外接圆．( ) (3)菱形有外接圆．( ) (4)正多边形有外接圆．( )
解析：(1)错误，任意三角形都有唯一的外接圆，因 为三角形三条边的垂直平分线的交点只有一个；(2)正确， 因为矩形对角线的交点到各顶点的距离相等；(3)错误， 只有当菱形是正方形时才有外接圆；(4)正确，因为正多 边形的中心到各顶点的距离相等．
类型 2 判定定理的应用(互动探究)
[典例 2] 如图所示，在△ABC 中，AD＝DB，DF⊥ AB 交 AC 于点 F，AE＝EC，EG⊥AC 交 AB 于点 G.求证： D，E，F，G 四点共圆．
证明：连接 GF. 由 DF⊥AB，EG⊥AC，知∠GDF＝∠GEF＝90°， 所以 GF 的中点到 D，E，F，G 四点的距离相等， 所以 D，E，F，G 四点共圆．
证明：连接 DE.由 AD＝DB， AE＝EC，知 DE∥BC， 所以∠ADE＝∠B. 又由 D，E，F，G 四点共圆，
பைடு நூலகம்
所以∠ADE＝∠GFE， 所以∠GFE＝∠B， 所以 G，B，C，F 四点共圆．
[迁移探究 2] (变换条件，改变问法)如图所示，已知 四边形 ABCD 为平行四边形，过点 A 和 点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F， 求证：C、D、E、F 四点共圆．
3．圆内接四边形相关定理应用的重点是证明角相 等、四点共圆等典型问题．
4．判定四边形为圆内接四边形除应用定理及推论两 种方法外，也可以用这几个点到同一点的距离相等来证 明．
第二讲 直线与圆的位置关系
2．2 圆内接四边形的性质 与判定定理
[学习目标] 1.了解圆内接多边形和多边形外接圆的 概念． 2.理解圆内接四边形的性质定理 1 和性质定理 2(重点)． 3.理解圆内接四边形判定定理及其推论(重 点)． 4.能用定理和推论解决相关的几何问题(重点、难 点)．
[知识提炼·梳理]
(1)判断 BE 是否平分∠ABC，并说明理由． (2)若 AE＝6，BE＝8，求 EF 的长．
审题指导：(1)判断 BE 是否平分∠ABC，关键是判断 ∠ABC＝2∠EBC 是否成立．
(2)EF 的长可利用三角形相似来求． [规范解答] (1)BE 平分∠ABC.(2 分) 因为 AC＝CD， 所以∠CAD＝∠ADC，
2．判定四点共圆的方法： (1)如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共 圆． (2)如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的 四个顶点共圆．
(3)如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对 角，那么这个四边形的四个顶点共圆．
(4)如果两个直角三角形有公共的斜边，那么这两个 三角形的四个顶点共圆(因为四个顶点与斜边中点距离相 等)．
答案：B
3．在圆的内接四边形 ABCD 中，∠A 和它的对角∠C 的度数比为 1∶2，那么∠A 为( )
A．30° B．60° C．90° D．120° 解析：因为四边形 ABCD 为圆内接四边形， 所以∠A＋∠C＝180°， 又因为∠A∶∠C＝1∶2，所以∠A＝60°.
答案：B
4．如图所示，四边形 ABCD 为⊙O 内接四边形，已 知∠BOD＝60°，则∠BCD＝________．
失分警示：若不能利用(1)结论求出此处的结果，本 题最多得 7 分．
因为 A，B，C，E 四点共圆， 所以∠CED＝∠ABC＝∠ACB＝∠AEF， 所以△AEF∽△DEC.
失分警示：若漏掉此处的结论，则扣 1 分． 所以EEFC＝DAEE， 所以 EF＝AED·EEC＝92.(10 分)
归纳升华 圆内接四边形的性质即对角互补，一个外角等于其内 角的对角，这两个性质可用来作为三角形相似的条件，从 而证明一些比例式成立或证明某些等量关系．
答案：150°
5．若圆内接四边形中 3 个相邻的内角比为 5∶6∶4， 则这个四边形中最大的内角为________．
答案：120°
类型 1 性质定理的应用(规范解答)
[典例 1] 如图所示，⊙O 是等腰 三角形 ABC 的外接圆，AB＝AC， 延长 BC 到点 D，使 CD＝AC，连接 AD 交⊙O 于点 E，连接 BE 与 AC 交于点 F.
D．4 个
解析：(1)因为∠A＋∠C＝180°，∠A＝∠C，所以∠A ＝90°，故正确；(2)由∠A＝∠B 及∠A＋∠C＝180°，知 ∠B＋∠C＝180°，故 AB∥CD.因此四边形 ABCD 是等腰 梯形或矩形，故错误；(3)由∠A，∠C 互补，可知∠A， ∠C 的邻补角也互补，故正确；(4)由于∠A＋∠C＝∠B ＋∠D＝180°，而 1＋3≠2＋4，故错误．